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      數(shù)學(xué)解題有妙招

      2017-10-17 19:07:16劉長飛
      關(guān)鍵詞:外接圓平分線結(jié)論

      劉長飛

      提起數(shù)學(xué)教學(xué),每個老師都有不同的感觸,但有一點(diǎn)是相同的,即都認(rèn)為學(xué)生數(shù)學(xué)成績兩極分化現(xiàn)象非常嚴(yán)重。這種情況既不利于教學(xué),又加大了備課難度,課堂效果差。因此,我試以幾何教學(xué)為例,探討如何培養(yǎng)學(xué)生的解題能力。

      一、培養(yǎng)興趣,促進(jìn)成功

      心理學(xué)研究告訴我們:人都有想要達(dá)到目的的愿望,當(dāng)他愿望實(shí)現(xiàn)時,就會感到由衷的滿足,甚至盼望“舉一反三”。學(xué)習(xí)也不例外。只要教師在教法上多用心,因材施教,調(diào)好學(xué)生特別是差生的“胃口”,對學(xué)生的進(jìn)步給予及時的鼓勵,一定會有所收獲。

      二、強(qiáng)化記憶,把握特點(diǎn)

      如何充分利用大腦,讓裝進(jìn)大腦的東西留下永久的記憶,需要我們學(xué)會記憶。

      一般來說,人們?nèi)菀子涀∽约焊信d趣、有特點(diǎn)、易理解的東西,而對那些枯燥、抽象的東西不易記住。因此,對幾何的概念、公式要強(qiáng)化記憶、重復(fù)記憶。特別要注意幾何圖形和概念、公式的邏輯關(guān)系,不能死記硬背。

      記憶忘卻是有規(guī)律的,因此要反復(fù)記憶,最好把概念、公式運(yùn)用于實(shí)例中,強(qiáng)化記憶。

      三、培養(yǎng)邏輯思維和推理能力

      學(xué)生在幾何證明題中常遇到以下幾個問題:心里明白,但不會書面表達(dá);推理亂,證題過程繁瑣。究其原因,主要是對邏輯思維及推理能力的基本功訓(xùn)練較差。要提高這方面的能力,教師應(yīng)做好以下幾個方面的工作。

      1.分析已知條件,通過聯(lián)想,讓學(xué)生掌握由因索果的思維方法。

      題目的已知條件是完成結(jié)論的前提和基礎(chǔ),也是由已知向結(jié)論過渡的出發(fā)點(diǎn),“聯(lián)想”則是過渡的橋梁。經(jīng)常訓(xùn)練學(xué)生解析已知條件,聯(lián)想與其有關(guān)的定義、公理和定理,逐步引導(dǎo)學(xué)生推理論證,可有效克服證題入門難的缺陷。

      如題:已知在△ABC中,O是內(nèi)心,∠A的平分線和△ABC的外接圓相交于點(diǎn)D。求證:DB=DO=DC。

      學(xué)生審題后,教師引導(dǎo)學(xué)生邊想邊議,不斷解析已知條件,再通過聯(lián)想,向求證的結(jié)論靠攏:由內(nèi)心的定義知,三角形內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)O,進(jìn)而可聯(lián)想到∠A的平分線必過點(diǎn)O,則A、O、D三點(diǎn)在一條直線上,于是∠BAD=∠DAC的結(jié)果就可根據(jù)已知條件的解析推出。

      因∠A的平分線與△ABC的外接圓相交于點(diǎn)D,通過觀察就可想到A、B、D、C四點(diǎn)共圓,即可聯(lián)想出和圓有關(guān)的圓周角、圓心角以及這些角所對的弧、弦之間的關(guān)系定理,這樣首先可證出BD=DC。

      要證DB=DO,就得找過渡條件。如設(shè)法造出一個等腰三角形,再借助三角形內(nèi)心及外接圓的關(guān)系,可以想到連接BO,于是由三角形外角定理、圓周角定理推得∠OBD=∠BOD→DB=DO,從而使原題得證。

      2.從分析結(jié)論產(chǎn)生聯(lián)想,培養(yǎng)由果追因的思維方法。

      通過分析結(jié)論產(chǎn)生聯(lián)想,由果索因是幾何證題中常用的另一種基本邏輯思維方法。

      如題:若O是△ABC的內(nèi)心,AO的延長線交這個三角形的外接圓于D,交弦BC于點(diǎn)E,求證:AB·AC-BE·EC=AE2。

      顯然,這里如果仍采用已知向結(jié)論順推, 就顯得關(guān)系較遠(yuǎn),不易思考。如果從結(jié)論出發(fā),通過對結(jié)論的解析,分析它是在怎樣的條件下成立的,就會讓問題變得容易。

      教師可提示學(xué)生要完成一個等式的證明,通??梢詮牡仁降囊贿呏郏ㄟ^解析向另一邊靠攏。如果從左邊入手可作如下解析:

      (1)等式左邊是一個“差”,其中含有AB·AC和BE·EC兩個積。

      (2)AB·AC是兩條線段的積,而積往往是比例線段的另一種表達(dá)形式,它必與另兩條線段之間有比例關(guān)系,只要通過證兩個三角形相似,即可建立一個比例式。教師在引導(dǎo)學(xué)生探求題中已知條件是否提供了△ABE∽△ADC時,就使結(jié)論與已知條件產(chǎn)生了有機(jī)的聯(lián)系,學(xué)生的思路得到打開。

      (3)同理解析BE·EC。

      (4)建立兩個關(guān)系式后,教師應(yīng)進(jìn)一步向?qū)W生指出,在論證過程中注意觀察原式的右邊,設(shè)法向右邊靠攏,這樣兩式相減即可推出右邊,完成結(jié)論證明。

      這種分析綜合的思維方法對解決復(fù)雜題很有幫助。一方面,用綜合法探求解題途徑,用遞推的方法使之逐漸接近結(jié)論;另一方面,用分析法設(shè)法先找一個包含舊結(jié)論而又容易從已知條件推出的新結(jié)論,以代替舊結(jié)論。這樣兩頭夾攻,可逐步縮短已知和求證之間的邏輯距離。

      3.教會學(xué)生用精練、簡明的書面語言敘述、表達(dá)的能力。

      書面表達(dá)論證題目的過程不僅是邏輯思維條理化的過程,而且是邏輯思維能力提高的過程。幾何證題不僅要求步驟簡明、精練,還要求圖形正確、格式合理。因此,怎樣畫圖、敘述、排列格式,甚至如何用“因?yàn)椤薄八浴钡确柖紝儆谶壿嬐评淼挠?xùn)練內(nèi)容。

      我從以下幾個方面對學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練。

      (1)嚴(yán)格要求、訓(xùn)練。從思維方法、邏輯語言、板書規(guī)范等方面給學(xué)生做出示范。

      (2)從課堂問答到課外作業(yè)都要求學(xué)生做到一絲不茍。

      (3)對于典型習(xí)題,要求學(xué)生先仿作,再過渡到獨(dú)立作業(yè),發(fā)現(xiàn)問題后及時點(diǎn)撥。

      (4)定期組織習(xí)題指導(dǎo)課,有計(jì)劃地進(jìn)行指導(dǎo)和訓(xùn)練。

      (5)及時肯定學(xué)生有創(chuàng)見的解題方法。

      4.多給學(xué)生想、練、問及討論的機(jī)會,調(diào)動學(xué)生的思維。

      課堂中有意識地啟發(fā)學(xué)生多想、多練、多問,并開展多種形式的討論。特別是幾何教學(xué)中,可提出如下問題,激發(fā)學(xué)生的思考和討論。

      (1)已知條件的命題有哪些?由已知條件可以聯(lián)想到哪些已學(xué)過的定理?這些聯(lián)想中哪些知識類似所求的結(jié)論?如果不能直接靠攏,可選擇怎樣的輔助線向結(jié)論靠攏?

      (2)學(xué)生提出某種思路時,可設(shè)問,為什么要選擇這種方法?還有別的方法嗎?如果有,它與哪些條件有關(guān)聯(lián)?

      (3)對于適宜用分析法的題,可設(shè)問,要完成這個結(jié)論的證明,必須具備什么條件?這些條件又與哪些知識有關(guān)?如何利用這些知識推出所證結(jié)論?

      綜上所述,數(shù)學(xué)教學(xué)中,只要教師通過合理的訓(xùn)練,使學(xué)生學(xué)會思考的方法,養(yǎng)成思考的習(xí)慣,掌握思考的規(guī)律和表達(dá)技巧,就能很好地完成培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維及推理能力的任務(wù)。endprint

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