恒溫浴缸的加熱策略研究

崔玉濤++杜海瑞++張浩偉

摘要：在一個(gè)不能二次加熱的普通浴缸中泡澡，過(guò)不久，浴水就會(huì)明顯地變涼，所以需要將熱水從水龍頭注入，以加熱洗浴水。

我們利用牛頓冷卻定律和能量守恒建立了熱傳輸模型，并確定了間歇性加水的策略，使浴水溫度在一個(gè)使人感到舒適的范圍內(nèi)浮動(dòng)，所以模型分為冷卻階段和加熱階段。在冷卻階段，本文根據(jù)牛頓冷卻定律得出了冷卻時(shí)間為420s；在加熱階段，取進(jìn)水口單位時(shí)間熱水流量為0.33L/s，解出加熱時(shí)間91.68s，加熱一次浪費(fèi)水30.26L。根據(jù)洗澡總時(shí)間，即可確定加水次數(shù)和浪費(fèi)的水的總量。

利用控制變量法，我們依次分析了浴缸的形狀、體積和浴缸中人的體積、運(yùn)動(dòng)狀態(tài)等因素對(duì)本文所采取的策略的影響，得出結(jié)果為：我們所采用的策略既不依賴(lài)于浴缸的形狀和體積，也不依賴(lài)于人的體積、運(yùn)動(dòng)狀態(tài)等因素。

本模型還可以應(yīng)用于其他需要保持恒溫的能量系統(tǒng)，例如恒溫游泳池等。

關(guān)鍵詞：熱傳導(dǎo)；牛頓冷卻定律；能量守恒；熱傳輸模型

一、問(wèn)題背景與概述

有人在一個(gè)不能二次加熱的普通浴缸中洗澡，過(guò)不久，洗澡水就會(huì)明顯地變涼，所以這個(gè)人需要將熱水從水龍頭注入，以加熱洗浴水。第一，要求考慮時(shí)間、空間等因素，建立一個(gè)浴缸的水溫模型，使浴缸中的水保持或接近開(kāi)始的溫度，同時(shí)不浪費(fèi)太多的水。第二，當(dāng)浴缸的形狀、體積和浴缸中人的體積、溫度、運(yùn)動(dòng)狀態(tài)改變的時(shí)候，確定你的模型能在多大程度上適應(yīng)這些因素的改變。

二、模型假設(shè)

（一）全局假設(shè)。

1.假設(shè)浴缸可以看作一個(gè)壁厚為零長(zhǎng)方體。

2.假設(shè)浴缸中的水溫分布是均勻的，不存在對(duì)流。

3.假設(shè)浴缸與浴缸中的水沒(méi)有熱量交換。

4.假設(shè)室溫恒定不變，保持在22℃。

（二）問(wèn)題一的假設(shè)。

1.假設(shè)浴缸中的水與人沒(méi)有熱量交換。

2.假設(shè)加入的熱水降溫到Ta后會(huì)全部留在浴缸中

三、模型的建立與求解

（一）問(wèn)題一模型的建立與求解。

1.模型的準(zhǔn)備。為簡(jiǎn)化和規(guī)范說(shuō)明問(wèn)題，對(duì)問(wèn)題一中的部分理論與參數(shù)進(jìn)行解釋?zhuān)?/p>

（1）牛頓冷卻定律[3]：當(dāng)熱源與周?chē)劫|(zhì)的溫度差不太大（約50℃以下）時(shí)，熱源向周?chē)鷤鬟f的熱量是與溫度差成正比的，其經(jīng)驗(yàn)公式就是牛頓冷卻定律：

式中T0為環(huán)境溫度，T為熱源溫度，A為與熱源接觸的表面積，h是一個(gè)與傳熱方式有關(guān)的常數(shù)，稱(chēng)熱適應(yīng)系數(shù)。

（2）單位時(shí)間、單位面積熱輻射散熱通量[4]為：

其中：T*=T+273，T為水的溫度，單位為℃；ε為水面發(fā)射系數(shù)，一般取0.56；

σ為玻耳茲曼常數(shù)，一般取5.6 *10-8。

（3）單位時(shí)間、單位面積蒸發(fā)散熱通量[5]：

2.模型的建立。我們根據(jù)能量守恒及牛頓冷卻定律等熱力學(xué)相關(guān)定律建立熱傳輸模型，整個(gè)模型可以分為兩個(gè)階段，即冷卻階段和加熱階段。

（1）冷卻階段。在整個(gè)熱傳輸過(guò)程中，蒸發(fā)、對(duì)流和熱輻射都屬于自然對(duì)流現(xiàn)象，將其綜合到一起考慮。根據(jù)我們的參數(shù)設(shè)定，水溫和空氣溫度相差最大時(shí)為16℃，滿(mǎn)足牛頓冷卻定律應(yīng)用的溫度限制。牛頓冷卻定律認(rèn)為單位時(shí)間從單位面積散失的熱量與溫度差成正比，整體的冷卻過(guò)程就可以用下面的式子來(lái)描述（所有表達(dá)式中的單位均為國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)單位）：

Ta表示浴缸中的初始溫度，T0表示空氣溫度，k為冷卻系數(shù)，由3.1.1與3.1.5可得冷卻過(guò)程中浴缸中的水溫隨時(shí)間的變化關(guān)系如下：

（2）加熱階段。在第二階段即加熱階段，我們根據(jù)能量守恒定律，建立進(jìn)出浴缸的能量恒等式：

其中Qin為注入的熱水給浴缸中較涼的水帶來(lái)的熱量，Qz表示浴缸中的水因蒸發(fā)損失的熱量，Qf表示熱輻射損失的熱量，Ql表示浴缸中的水從使人體感到舒適的溫度下限上升到溫度上限所需要的熱量，Qc表示流出浴缸的水帶走的熱量。

計(jì)算Qin時(shí)可把浴缸中冷卻后的水的熱量視為零，通過(guò)比熱容公式表示如下：

其中Cp表示水的比熱容，ρ表示水的溫度，u表示熱水的流速，Th為注入浴缸中的熱水溫度，Tb為浴缸中的水在冷卻過(guò)程中的平均溫度。

Qc為時(shí)間t內(nèi)流出水帶走的熱量，同樣使用比熱容公式計(jì)算，其體積與流速與所加入熱水的體積與流速相等。由于流出的水的溫度時(shí)刻在變化，為方便計(jì)算，假設(shè)流出水的溫度均為T(mén)a，即人體感到舒適的上限溫度。給出計(jì)算公式：

綜合以上五個(gè)熱量表達(dá)式， 得到：

（3.1.7）

到這里問(wèn)題一的模型已經(jīng)建立了，能量守恒定律保證了水溫的變化區(qū)間在人感到舒適的范圍內(nèi)，同時(shí)我們將在模型的求解中根據(jù)V與u、t的關(guān)系確定單位時(shí)間水流量的大小與所浪費(fèi)的水量的關(guān)系，進(jìn)而確定出最佳的進(jìn)水速度，達(dá)到盡量減少水的浪費(fèi)的目的。

3.模型的求解。

（1）冷卻階段。將表1中參數(shù)的取值代入式3.1.6，得到在冷卻過(guò)程中，浴水溫度與時(shí)間的關(guān)系：

（3.1.8）

畫(huà)出浴水溫度隨時(shí)間的變化曲線如下圖所示：

浴水的初始（t=0時(shí)）溫度為38℃，當(dāng)浴水溫度降低到設(shè)定的最低溫度37.5℃時(shí)，t=7min。這時(shí)，冷卻階段結(jié)束，立即打開(kāi)進(jìn)水閥門(mén)，開(kāi)始注入熱水，進(jìn)入加熱階段。

（2）加熱階段

將表1中參數(shù)的取值代入到是3.1.9中，化簡(jiǎn)得到熱水流速與注水時(shí)間的關(guān)系式：

畫(huà)出熱水流速隨注水時(shí)間變化的曲線圖3.1.2.

由圖可知熱水流速與注水時(shí)間呈反比關(guān)系，即當(dāng)設(shè)定的注水時(shí)間較長(zhǎng)的時(shí)候，注水流速相對(duì)較低，為了更好地設(shè)定注水時(shí)間及注水速度我們作出浪費(fèi)的水量與注水時(shí)間的圖像3.1.3如下：

由圖3.1.3可以看出，浪費(fèi)的水量與注水時(shí)間成線性關(guān)系，注水時(shí)間越短，浪費(fèi)的水量越小，但是由圖3.1.2可知：注水時(shí)間短也就意味著單位時(shí)間的熱水流量大，理論上單位時(shí)間熱水流量達(dá)到無(wú)窮大，而注水時(shí)間達(dá)到任意短時(shí)，浪費(fèi)的水體積最小，但是考慮現(xiàn)實(shí)因素明顯無(wú)法達(dá)到該條件，我們通過(guò)查閱有關(guān)水龍頭流量的GB18145，得到浴缸水龍頭的單位時(shí)間最大流量為0.33L/s。根據(jù)以上分析，我們決定將題中單位時(shí)間的熱水流量定為0.33L/s，由式5.1.13解得每次的注水時(shí)間t為91.68s，再由式3.1.10得到一次加熱浪費(fèi)的水量為30.26L。這樣冷卻和加水過(guò)程就構(gòu)成一個(gè)加水周期，其中冷卻時(shí)間為420s，加水時(shí)間為91.68s，整個(gè)周期的長(zhǎng)度為511.68s，根據(jù)洗浴時(shí)間的長(zhǎng)短可以確定周期的個(gè)數(shù)。比如一個(gè)人洗浴20分鐘，則包含的加水周期個(gè)數(shù)為2.34，浪費(fèi)的水量為60.52L。

4.結(jié)果分析。熱傳輸模型首先控制了浴缸中水的溫度在37.5℃-38℃之間，通過(guò)間歇性加水的策略，達(dá)成了問(wèn)題一中使浴缸中的水溫盡量保持或接近開(kāi)始的溫度的要求，最終給出的結(jié)果是一個(gè)加水周期（包含冷卻階段和加熱階段）的長(zhǎng)度和一個(gè)加水周期浪費(fèi)的水量，根據(jù)洗澡時(shí)間的長(zhǎng)短可以很快地算出在本文給出的條件下浪費(fèi)的最少水量。

（二）問(wèn)題二模型的建立與求解。

1.模型的準(zhǔn)備。問(wèn)題二要求我們考慮問(wèn)題一中所采用的策略對(duì)多種因素的依賴(lài)程度，我們認(rèn)為應(yīng)當(dāng)在問(wèn)題一建立的熱傳輸模型的基礎(chǔ)上利用控制變量法來(lái)對(duì)問(wèn)題中要求考慮的因素進(jìn)行一一研究。

2.模型的建立。沿用問(wèn)題一中的熱傳輸模型，得到浪費(fèi)的水量與熱水流速與注水時(shí)間的關(guān)系：

（3.2.1）

3.模型的求解。

（1）對(duì)浴缸上表面積的依賴(lài)程度。

要研究我們的策略對(duì)浴缸上表面積的影響，就要固定除了上表面積之外的所有因素，把上表面積作為一個(gè)單一變量來(lái)研究，首先通過(guò)合并化簡(jiǎn)式3.2.1得到浪費(fèi)的水量P與浴缸上表面積A及注水時(shí)間t的關(guān)系：

對(duì)于體積固定的浴缸，我們作出幾種不同的上表面積對(duì)應(yīng)的浪費(fèi)水量與注水時(shí)間的關(guān)系如圖5.2.1所示。我們可以看出，隨著同體積浴缸上表面積的增大，其蒸發(fā)散熱速率增大，相應(yīng)地，在注水時(shí)間相同的情況下，出水口熱水流量就要更大，因而要浪費(fèi)更多的水，但是，不論其上表面積是大是小，所浪費(fèi)的水量與注水時(shí)間之間的線性關(guān)系沒(méi)有變，注水時(shí)間與熱水流量之間的反比例關(guān)系也沒(méi)有變，所變化的只是在不同表面積下所能達(dá)到的最小浪費(fèi)量，所以說(shuō)浴缸上表面積的大小并不影響我們盡可能快地注水的策略，即我們的策略不依賴(lài)于浴缸的上表面積。

（2）對(duì)浴缸體積的依賴(lài)程度。

要研究我們的策略對(duì)浴缸體積的影響，就要固定除了體積之外的所有因素，把體積作為一個(gè)單一變量來(lái)研究，首先通過(guò)合并化簡(jiǎn)式3.2.1得到浪費(fèi)的水量P與浴缸體積V及注水時(shí)間t的關(guān)系：

對(duì)于表面積固定的浴缸，同時(shí)畫(huà)出不同體積浴缸對(duì)應(yīng)的所浪費(fèi)的水量與注水時(shí)間的圖像如下：

從圖3.2.2容易看出：相同表面積的情況下，浴缸的體積越大，所浪費(fèi)的水越多。與對(duì)表面積的依賴(lài)程度的情況相同，所浪費(fèi)的水量與注水時(shí)間的線性關(guān)系以及注水時(shí)間與熱水流速的反比例關(guān)系都沒(méi)有變化，所以，我們的策略仍然是盡可能快地加水，浴缸的體積并未對(duì)我們的策略造成影響，也即我們的策略不依賴(lài)于浴缸的體積。

4.結(jié)果分析。問(wèn)題二中要考慮我們?cè)趩?wèn)題一中采取的策略對(duì)浴缸的形狀、體積和浴缸中人的體積、溫度、運(yùn)動(dòng)狀態(tài)等因素的依賴(lài)程度。然而在求解過(guò)程中我們通過(guò)簡(jiǎn)單的分析發(fā)現(xiàn)：我們所采用的策略不依賴(lài)于浴缸的形狀、體積，也不依賴(lài)于浴缸中人的體積、溫度、運(yùn)動(dòng)狀態(tài)等因素，具有較為良好的適應(yīng)性。

四、模型的評(píng)價(jià)與改進(jìn)

（一）模型的評(píng)價(jià)。

1.模型的優(yōu)點(diǎn)。

（1）通過(guò)牛頓冷卻定律和能量守恒方程建立了熱傳輸模型，基本實(shí)現(xiàn)了把溫度控制在一個(gè)令人感到舒適的范圍，并盡可能減少了因維持溫度而浪費(fèi)的水量。

（2）采用間歇性加熱水的策略使得解出的結(jié)果具有較強(qiáng)的可操作性。

（3）模型簡(jiǎn)單易理解，實(shí)用性較強(qiáng)

2.模型的缺點(diǎn)。

（1）未考慮浴缸中的水與人體的熱量交換。

（2）也未考慮浴缸與水的熱量交換，可能造成了計(jì)算結(jié)果精度下降。

（二）模型的改進(jìn)與推廣。

我們的模型還有許多需要完善的地方，例如可以將人與水及浴缸與水的熱量交換考慮進(jìn)去，想辦法將人體吸收的能量量化、將浴缸的散失熱量量化。

本模型還可以應(yīng)用于其他需要保持恒溫的能量系統(tǒng)，例如恒溫游泳池等。

參考文獻(xiàn)

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