混合型微分方程的加權(quán)偽概周期解

莊 嚴(yán)

?

混合型微分方程的加權(quán)偽概周期解

莊 嚴(yán)

（遼寧鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院鐵道工程系遼寧錦州 121000）

研究了帶有逐段常數(shù)變量的混合型微分方程的加權(quán)偽概周期解存在唯一性。首先針對(duì)具有強(qiáng)迫項(xiàng)的線性微分方程給出了加權(quán)偽概周期解存在唯一性的構(gòu)造性證明，然后利用所得結(jié)果再結(jié)合不動(dòng)點(diǎn)方法對(duì)非線性擾動(dòng)方程給出了加權(quán)偽概周期解存在唯一性證明。

逐段常數(shù)變量；混合型微分方程；加權(quán)偽概周期解

1994年張傳義[1]推廣概周期函數(shù)的概念，定義了偽概周期函數(shù)，并研究了這類函數(shù)在微分方程理論中的應(yīng)用。后來許多學(xué)者進(jìn)一步研究了這類函數(shù)在許多不同類型的方程中的應(yīng)用，得到了較豐富的成果，參見文獻(xiàn)[2-3]及其中的參考文獻(xiàn)。1999年，Yuan等[3]研究了帶逐段常變量的混合型線性微分方程：

(1)

和相應(yīng)的非線性方程：

(2)

的偽概周期解的存在唯一性問題。2006年，Diagana引進(jìn)了比偽概周期函數(shù)更廣泛的函數(shù)類，定義了加權(quán)偽概周期函數(shù)，并研究了這類函數(shù)在微分方程中的應(yīng)用，參見文獻(xiàn)[4-7]。本文的目的是當(dāng)是加權(quán)偽概周期函數(shù)，而關(guān)于是一致加權(quán)偽概周期函數(shù)時(shí)，證明方程(1)和(2)的加權(quán)偽概周期解存在唯一性。

下面簡(jiǎn)要介紹一些記號(hào)和定義。

定義1[8]稱是概周期的，如果對(duì)任意給定的，集合：在實(shí)軸上相對(duì)稠密，即對(duì)任意，存在，使得在每個(gè)長(zhǎng)度為的區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)，使得不等式對(duì)一切成立。所有這樣的函數(shù)構(gòu)成的集合記為。在上確界范數(shù)下構(gòu)成Banach空間。

定義2[8]稱關(guān)于是一致概周期函數(shù)，如果對(duì)任意與任給緊集，存在，使得在每個(gè)長(zhǎng)度為的區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)，使得不等式對(duì)一切成立。所有這樣的函數(shù)構(gòu)成的集合記為。

定義3[9]稱序列為概周期序列，如果的—移位集：為上相對(duì)稠密集。用記這樣序列的全體，其中是整數(shù)集。

定義4[1]稱函數(shù)是偽概周期的，如果可表為，其中分別稱和為的概周期部分和遍歷擾動(dòng)部分。

定義6[1]有界連續(xù)函數(shù)稱為關(guān)于是一致偽概周期的，如果可表為：其中。分別稱為一致偽概周期函數(shù)的概周期部分和遍歷擾動(dòng)部分

定義7[3]有界序列稱為偽概周期序列，如果可表為：其中為概周期序列，滿足：，分別稱為的概周期部分和遍歷擾動(dòng)部分。設(shè)，即定義在上取值為實(shí)數(shù)的有界連續(xù)函數(shù)的全體，則按最大模范數(shù)下是一個(gè)Banach空間。

定義8[6]有界連續(xù)函數(shù)稱為關(guān)于是一致權(quán)偽概周期的，如果可表為：其中。分別稱為一致權(quán)偽概周期函數(shù)的概周期部分和遍歷擾動(dòng)部分。

引理1[6]任意一個(gè)權(quán)偽概周期函數(shù)的分解式是唯一的，且。因此：

引理2[8]在最大模范數(shù)下為一個(gè)Banach空間。

(3)

引理3[6]設(shè)滿足Lipschitz條件：

1 一些引理和主要結(jié)果

定義12[3]稱函數(shù)是微分方程(1)（或(2)）的解，則它滿足以一下3個(gè)條件：

,

令：

將上述等式代入方程（4），可得：

(6)

方程（6）對(duì)應(yīng)的齊次方程為：

(8)

現(xiàn)在可以敘述本文的主要結(jié)果。

為了證明上述主要定理，需要如下幾個(gè)引理。

引理4[3]如果是一個(gè)概周期函數(shù)，則序列：

是一個(gè)概周期序列。

證明 由：

立即得到所需結(jié)論。

由引理4知：

為概周期序列。另一方面：

2 主要結(jié)果的證明

定理1的證明 方程（8）是齊次方程而且它的所有根均為單根，因此：

令：

不失一般性，假設(shè)：

(10)

(12)

為差分方程（6）的一個(gè)解。

此時(shí)，易知（4）是微分方程（1）的1個(gè)解。

由文獻(xiàn)[9]中定理1的證明可知：

為概周期的，顯然：

定理2的證明 用不動(dòng)點(diǎn)方法證明這個(gè)定理。由定理1可知，對(duì)任意的，為一個(gè)權(quán)偽概周期函數(shù)?？紤]方程：

(13)

所以有：

其中：

進(jìn)而得到：

3 結(jié)束語

本文的結(jié)果說明，對(duì)于帶有逐段常變量的混合型微分方程來而言，強(qiáng)迫項(xiàng)的屬性決定了有界解的屬性。當(dāng)強(qiáng)迫項(xiàng)是加權(quán)偽概周期函數(shù)時(shí)，仍然能夠得到唯一的加權(quán)偽概周期解。

[1] Zhang C, Pseudo almost periodic solutions of some differential equations[J]. J Math Anal Appl, 1994, 181: 62-76.

[2] Yuan R, Hong J. Almost periodic solutions of differential equations with piecewise constant argument[J]. Analysis, 1996, 16: 171-180.

[3] Yuan R, Piao D. Pseudo almost periodic solutions of differential equation with piecewise constants argument[J]. Applicable Analysis, 1999, 73(3-4): 345-357.

[4] Diagana T. Weighted pseudo-almost periodic functions and applications[J]. C R Acad Sci Paris, Ser I, 2006, 343(10): 643-646.

[5] Diagana T. Weighted pseudo-almost periodic solutions to some differential equations[J]. Nonlin Anal TAM, 2008, 68: 2250-2260.

[6] Diagana T. Existence of weighted pseudo almost periodic solutions to some classes of hyperbolic evolution equations[J]. J Math Anal Appl, 2009, 350: 18-28.

[7] Diagana T. Weighted pseudo-almost periodic solutions to a neutral dalay integral equation of advanced type[J]. Nonlin Anal TAM, 2009, 70: 298-304.

[8] 何崇佑, 概周期微分方程[M]. 北京: 高等教育出版社, 1992: 1-53.

[9] Fink A M. Almost periodic differential equations[M]. Lecture Notes in Mathematics, 1974.

責(zé)任編校：孫 林

Weighted Pseudo Almost Periodic Solutions to Mixed Type Differential Equation

ZHUANG Yan

（Department of Railway Engineering, Liaoning Railway Vocational and Technical College, Jinzhou 121000, China）

In this paper, we study the existence and uniqueness of weighted pseudo almost periodic solutions to mixed type differential equations with piecewise constant arguments. We provide a constructing proof for the existence and uniqueness of weighted pseudo almost periodic solutions for a linear equation with forced terms, and then using fixed point method we prove the existence and uniqueness of weighted pseudo almost periodic solutions for the nonlinear perturbed equations.

piecewise constant arguments; mixed type differential equations; weighted pseudo almost periodic solutions

10.15916/j.issn1674-3261.2017.02.003

O175.1

A

1674-3261(2017)02-0079-06

2015-11-11

山東省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(ZR2013AM026)

莊嚴(yán)(1961-)，男(滿族)，遼寧沈陽人，副教授，本科。