小議中學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng)

☉江蘇省南通中學(xué) 張 勤

小議中學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng)

☉江蘇省南通中學(xué) 張 勤

數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)不僅在于向?qū)W生傳授科學(xué)的知識(shí)，更重要的是在教學(xué)的過(guò)程中優(yōu)化學(xué)生的思想品質(zhì)，讓學(xué)生從“學(xué)會(huì)”到“會(huì)學(xué)”，即掌握數(shù)學(xué)思維方法，發(fā)展思維品質(zhì)，促使學(xué)生形成多種能力.

數(shù)學(xué)思維品質(zhì)具有四個(gè)方面的特征：靈活性、創(chuàng)造性、批判性和發(fā)散性.這四個(gè)方面是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)能力的基本標(biāo)準(zhǔn)，更是學(xué)生以后繼續(xù)學(xué)習(xí)和踏上社會(huì)所必需的基本能力.這就為我們指明了在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生能力的基本方向.

一、變式編題，培養(yǎng)思維的靈活性

數(shù)學(xué)思維的靈活性表現(xiàn)在對(duì)問(wèn)題題設(shè)的整體把握的基礎(chǔ)上靈活運(yùn)用已有知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題的能力.

課本知識(shí)比較固定單一，所以我們的教學(xué)在基于課本的前提下，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行深層次的剖析，可以根據(jù)自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)，建構(gòu)新問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)也加強(qiáng)了學(xué)生思維靈活性的培養(yǎng).

例如，一元二次不等式的恒成立問(wèn)題是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，又是教學(xué)的重點(diǎn).在課堂上先給出了一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的引例：

問(wèn)題1 若對(duì)一切x∈R，不等式x2-2ax+2-a≥0恒成立，求a的范圍.

引導(dǎo)學(xué)生分析，這個(gè)問(wèn)題是開(kāi)口向上的拋物線恒在x軸的上方，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述：函數(shù)f（x）=x2-2ax+2-a，只要對(duì)應(yīng)的判別式Δ≤0.鼓勵(lì)學(xué)生結(jié)合自己的學(xué)習(xí)和自己平時(shí)練習(xí)的反思總結(jié)，進(jìn)行變式編題，挖掘這類問(wèn)題還可能出現(xiàn)的形式及解題方法，加強(qiáng)靈活性訓(xùn)練.

（1）二次項(xiàng)系數(shù)帶字母：若對(duì)一切x∈R，不等式ax2-2ax+2-a≥0恒成立，求a的范圍.

分析：①a=0，2≥0成立；②a＞0，如上Δ≤0；③a＜0，根據(jù)圖形此時(shí)無(wú)解.

（2）函數(shù)定義域有限制條件：若對(duì)一切x≥-1，不等式x2-2ax+2-a≥0恒成立，求a的范圍.

分析：①函數(shù)f（x）=x2-2ax+2-a與x軸沒(méi)有公共點(diǎn)，即Δ＜0；

②函數(shù)f（x）=x2-2ax+2-a與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，即Δ=0；

③函數(shù)f（x）=x2-2ax+2-a與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，即

其他還可以改變函數(shù)的定義域，x可以用sinx等函數(shù)代換，最后要總結(jié)些問(wèn)題“萬(wàn)變不離其宗”，緊緊抓住函數(shù)在定義域上的單調(diào)性、最值，在解題的過(guò)程中要注意靈活運(yùn)用分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、方程思想等.通過(guò)這樣的自己變式編題，自己解決，對(duì)這類問(wèn)題有了一種整體的理解，便于以后靈活的處理.

二、獨(dú)辟蹊徑，培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性

數(shù)學(xué)思維的創(chuàng)造性是在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中，通過(guò)思維運(yùn)用新思想、新方法、新觀點(diǎn)，揭示問(wèn)題的本質(zhì).

問(wèn)題2 已知函數(shù)f（x）是定義在［-1，1］上的奇函數(shù)，且（f1）=1，若a，b∈［-1，1］，a+b≠0，有

（1）證明f（x）在［-1，1］上的單調(diào)性；

（2）若f（x）≤m2-2am+1對(duì)所有x∈［-1，1］，a∈［-1，1］恒成立，求m的取值范圍.

（1）是在已知區(qū)間上證明函數(shù)單調(diào)性，學(xué)生一般都會(huì)利用定義法證明該函數(shù)在［-1，1］上單調(diào)遞增（為第（2）問(wèn)作鋪墊）.

（2）要使f（x）≤m2-2am+1對(duì)所有x∈［-1，1］，a∈［-1，1］恒成立，即m2-2am+1≥fmax，因?yàn)閒（x）≤f（1）=1，所以m2-2am+1≥1，即m2-2am≥0，a∈［-1，1］.

按照一般的方法是進(jìn)行變式用m表示a，再對(duì)a的范圍進(jìn)行討論，得到m的范圍，整個(gè)過(guò)程比較煩瑣.引導(dǎo)學(xué)生是否能用其他的方法解決，比如函數(shù)思想：一次函數(shù)的保號(hào)性.

令g（a）=-2ma+m2≥0在［-1，1］上恒成立.

三、錯(cuò)題反思，培養(yǎng)思維的批判性

數(shù)學(xué)思維的批判性是在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中思維嚴(yán)謹(jǐn)而不疏漏，能準(zhǔn)確地辨別和判斷，善于覓錯(cuò)、糾錯(cuò)，以批判的眼光觀察事物和審視思維的活動(dòng)，具有這種思維品質(zhì)的學(xué)生，就會(huì)善于發(fā)現(xiàn)矛盾，一針見(jiàn)血地指出問(wèn)題的癥結(jié)，然后采取直接有效的途徑，解決問(wèn)題.

一方面，在教學(xué)中，我們可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的細(xì)微差異的辨析.例如，在平面內(nèi)任意一條直線都有傾斜角；在平面內(nèi)任意一條直線都有斜率.在深刻理解斜率概念的基礎(chǔ)上，敢于發(fā)現(xiàn)思維中的漏洞，并加以糾正.

另一方面，可以通過(guò)典型錯(cuò)誤問(wèn)題的分析，提高學(xué)生的辨析能力.

問(wèn)題3已知f（x）=1+log2x（1≤x≤4），求g（x）=f2（x）+f（x2）的最值.

錯(cuò)解：因?yàn)閒（x）=1+log2x，所以

因?yàn)?≤x≤4，令log2x=t，t∈［0，2］，

所以g=（t+2）2-2在［0，2］上單調(diào)遞增，所以當(dāng)t=0時(shí)，有最小值，g（x）min=2；當(dāng)t=2時(shí)，有最大值，g（x）max=14.

初見(jiàn)解題過(guò)程時(shí)，看似沒(méi)問(wèn)題.要引導(dǎo)學(xué)生在思考函數(shù)問(wèn)題時(shí)，還是抓住函數(shù)的定義域等性質(zhì).再經(jīng)過(guò)思考后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)到g（x）=（1+log2x）2+1+log2x2，此時(shí)定義域已經(jīng)改變?yōu)?≤x≤2，令log2x=t，t∈［0，1］，所以g=（t+2）2-2在［0，1］上單調(diào)遞增，所以當(dāng)t=0時(shí)，有最小值，g（x）min=2；當(dāng)t=1時(shí)，有最大值，g（x）max=7.

在解題后的反思時(shí)，重現(xiàn)剛才的思維過(guò)程，注重隱含條件的運(yùn)用，還可以引申到相關(guān)的方程、不等式中，注重此類情況的應(yīng)用遷移.

數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的各個(gè)方面是相互聯(lián)系、相互滲透，更是相互促進(jìn)的.所以在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，要基于學(xué)生已有的數(shù)學(xué)水平和數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題的特征，啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生不斷的嘗試、探索，將各種思維品質(zhì)在整個(gè)教學(xué)活動(dòng)中有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，這樣才能更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維的層次.

四、多元探索，培養(yǎng)思維的發(fā)散性

思維品質(zhì)的發(fā)散性，是數(shù)學(xué)教學(xué)亟需培養(yǎng)的一種品質(zhì).我們知道，發(fā)散性是思維比較具備啟發(fā)的重要特性，對(duì)于學(xué)生后續(xù)的發(fā)展和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高有著重要的作用.培養(yǎng)發(fā)散性最好的方式，是對(duì)問(wèn)題進(jìn)行多元探索，從不同角度解決問(wèn)題去思考.

問(wèn)題4 當(dāng)a為何值時(shí)，不等式x2-ax+a+1＞0（x∈［0，1］）恒成立？

分析：對(duì)于本題學(xué)生往往以二次函數(shù)為根基進(jìn)行初步探索，通過(guò)對(duì)圖像的分析，發(fā)現(xiàn)該函數(shù)隨著字母參數(shù)a的變換需要進(jìn)行討論，這屬于分類思想的基本使用，是問(wèn)題解決的一種基本方式；有些能力較強(qiáng)的學(xué)生則將問(wèn)題通過(guò)變換主元的角度切入，通過(guò)變換主元，發(fā)現(xiàn)本題從一次函數(shù)入手，顯得非常容易，利用函數(shù)圖像解決；更有學(xué)生將問(wèn)題分解為兩個(gè)不同函數(shù)切入，從兩個(gè)函數(shù)圖像的角度思考，也不失為一種好方式；甚至有學(xué)生從純粹的代數(shù)角度思考，將不等式的解集中，尋找問(wèn)題解決的機(jī)會(huì)，盡管計(jì)算可能有些煩瑣，但是理論角度而言是可行的，而且是直覺(jué)性思維的一種體現(xiàn).

發(fā)散性1：令函數(shù)f（x）=x2-ax+a+1（0≤x≤1），則函數(shù)圖像的對(duì)稱軸為，然后分三種情況進(jìn)行討論，分別求出f（x）在各種情況下的最小值，只要使最小值大于0，即可求出a的取值范圍.

發(fā)散性2：當(dāng)x=1時(shí)，不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)a都成立，此時(shí)a∈R.當(dāng)x≠1時(shí)，不等式可轉(zhuǎn)化為恒成立.只需求函數(shù)上的最大值ymax，使a＞ymax即可.故a的范圍為（-1，+∞）.

發(fā)散性3：在同一坐標(biāo)系下作出函數(shù)y1=x2和y2=a（x-1）-1（恒過(guò)定點(diǎn)（1，-1））的圖像.要使y1＞y2在x∈［0，1］時(shí)恒成立，直線y2的斜率a應(yīng)大于-1，故a∈（-1，+∞）.

發(fā)散性4：設(shè)原不等式的解集為A，則問(wèn)題可化為：當(dāng)a的取值范圍為何時(shí)，［0，1］?A？當(dāng)Δ=a2-4（a+1）＜0，即時(shí)，A=R，滿足［0，1］?A；當(dāng)Δ=時(shí)，不 等 式 的 解 集 A 為時(shí)，要使［0，1］?A，必須有或，解得-1＜a≤2-或

綜上有a∈（-1，+∞）.

問(wèn)題的解決使用了多元的探索，解決問(wèn)題不僅僅是尋求問(wèn)題的答案，而是通過(guò)不同的思考去尋找、對(duì)比更合適的問(wèn)題的解決方法.有時(shí)我們對(duì)做過(guò)的題進(jìn)行溫故的時(shí)候，會(huì)發(fā)現(xiàn)其中所含的數(shù)學(xué)思想方法是非常具有典型性和代表性的，對(duì)這些思想方法的提煉、總結(jié)、歸納，提高學(xué)生思維的發(fā)散性，會(huì)給學(xué)生今后的解決問(wèn)題以及思維品質(zhì)帶來(lái)較大的幫助.

1.蘇小強(qiáng).例談數(shù)學(xué)教學(xué)中多解建構(gòu)探索與思考［J］.數(shù)理化學(xué)習(xí)，2014（6）.

2.楊建輝.新課程標(biāo)準(zhǔn)下教師教學(xué)設(shè)計(jì)中應(yīng)具備的幾種意識(shí)［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2011（2）.