直擊數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)的核心視角

☉江蘇省如皋市第一中學(xué) 夏 雋

直擊數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)的核心視角

☉江蘇省如皋市第一中學(xué) 夏 雋

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)是體現(xiàn)教師設(shè)計(jì)能力、注重知識(shí)核心的總結(jié)性教學(xué)，對(duì)于學(xué)生知識(shí)掌握程度、深度、廣度有重要的聯(lián)系作用.但是復(fù)習(xí)教學(xué)又需要一定的層次性，這里的層次性復(fù)習(xí)對(duì)于學(xué)生而言是一種收獲較大的復(fù)習(xí)學(xué)習(xí).以往對(duì)于學(xué)生高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)，采用的是一輪二輪三輪這樣的普遍模式，在這一模式中一輪是全面梳理、二輪是專題復(fù)習(xí)、三輪是綜合卷反復(fù)，這樣的教學(xué)體現(xiàn)的是密集、集中的訓(xùn)練模式，學(xué)生在疲勞反復(fù)低效中提升自己，而且就筆者了解大多數(shù)學(xué)校采用依舊是市面上的教輔資料，而教輔資料的編寫者都是對(duì)五年模擬、三年真題進(jìn)行重組，談不上任何細(xì)化、分類，這樣的教學(xué)難免讓學(xué)生昏昏欲睡，提升效果緩慢.

從每年穩(wěn)中有變的考綱和試卷變化來看，復(fù)習(xí)教學(xué)也需要緊跟上述變化，做出合理的應(yīng)對(duì)，那種以往一成不變的三輪復(fù)習(xí)模式勢(shì)必要進(jìn)行合理的修正，否則，師生在教學(xué)中都是疲于奔命而且效果不佳.因此筆者認(rèn)為，重視試卷反饋的信息、直擊復(fù)習(xí)教學(xué)的核心視角、做出具備校本特色的復(fù)習(xí)是符合復(fù)習(xí)教學(xué)本質(zhì)的一種教學(xué)活動(dòng).

一、重通法，輔特技

以往的復(fù)習(xí)教學(xué)一直強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)的通性通法，而一味的批評(píng)特殊技巧、特殊性質(zhì)的使用.筆者認(rèn)為，這種看法是片面的.從學(xué)生實(shí)際情形來看，數(shù)學(xué)能力較強(qiáng)的學(xué)生不可能僅僅只會(huì)通性通法，而是依據(jù)其能力匹配合理的特殊技巧和性質(zhì)，這必定在一定程度上大大加快其問題解決的速度，所以通性通法要重視，但依據(jù)合理的學(xué)情，特殊技能也可以輔助教學(xué)，做到有能者為之.

問題1：定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)f（x）恒滿足f（1+x）=（f1-x），且x∈（-1，0）時(shí)，則（f4.5）=________.

分析：對(duì)于學(xué)生而言，若從通性通法的角度來說，其必定是將f（4.5）通過奇函數(shù)和f（1+x）=f（1-x）這兩個(gè)性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，但是這種化簡(jiǎn)學(xué)生比較生疏，而且若求f（145.5）怎么辦？是不是多次使用性質(zhì)？顯然這里涉及抽象函數(shù)的一些特技：

特技1：若函數(shù)f（x）在R上滿足f（a+x）=f（a-x），且f（b+x）=f（b-x）（其中a≠b），則函數(shù)y=f（x）以2（a-b）為周期.

特技2：若函數(shù)f（x）在R上滿足f（a+x）=-f（a-x），且f（b+x）=-f（b-x）（其中a≠b），則函數(shù)y=f（x）以2（a-b）為周期.

特技3：若函數(shù)f（x）在R上滿足f（a+x）=f（a-x），且f（b+x）=-f（b-x）（其中a≠b），則函數(shù)y=f（x）以4（a-b）為周期.

本題恰恰是特技3的使用，奇函數(shù)f（x）關(guān)于（0，0）中心對(duì)稱，且f（1+x）=f（1-x）表明函數(shù)f（x）有對(duì)稱軸x=1，因此函數(shù)f（x）是以T=4|1-0|=4為周期的函數(shù).因此f（4.5）=（f0.5）=-（f-0.5），由x∈（-1，0）時(shí)，可得（f4.5）.顯然與軸對(duì)稱、中心對(duì)稱、周期性相關(guān)的函數(shù)抽象表達(dá)式之間的一些特殊結(jié)論，是我們解決抽象函數(shù)的重要特技，有了這些特技對(duì)于學(xué)有余力的學(xué)生而言，自然是獲得了更高、更快的解決方式，提高了問題解決的效率.

問題2：與數(shù)量積相關(guān)的特技——向量的極化恒等式.設(shè)△ABC，P0是邊AB上一定點(diǎn)，滿足，且對(duì)于邊AB上任一點(diǎn)P，恒有.則下列命題中正確的為______________.

（1）∠ABC=90°；（2）∠BAC=90°；（3）AB=AC；（4）AC=BC.

分析：學(xué)生對(duì)于本題的第一反應(yīng)是

圖1

上述兩個(gè)問題，我們發(fā)現(xiàn)有些特技簡(jiǎn)化了問題的求解過程，省略了不少過程，如問題1；有些特技完全是高等數(shù)學(xué)中知識(shí)本質(zhì)的反饋，如問題2.在通性通法掌握的同時(shí)，若能擁有一定的特技，在復(fù)習(xí)教學(xué)的學(xué)習(xí)中勢(shì)必比他人擁有更為豐富的“武器”.在高考閱卷中，無論這些方法是中學(xué)數(shù)學(xué)教過的，還是各種高等數(shù)學(xué)的結(jié)論，筆者認(rèn)為根據(jù)學(xué)生自身能力掌握適合自己的是非常行之有效的.

二、思概念，歸教材

數(shù)學(xué)概念是復(fù)習(xí)教學(xué)中往往受忽視的，因?yàn)楦拍钤趺磸?fù)習(xí)？常規(guī)的復(fù)習(xí)工作恰恰是用一些不痛不癢的問題在概念表面簡(jiǎn)單梳理，這種復(fù)習(xí)可以說是對(duì)概念的淺表性層面進(jìn)行鞏固，但是難以在概念深處有著深刻的思考和理解.如何才能做好復(fù)習(xí)教學(xué)中的概念復(fù)習(xí)呢？這個(gè)問題需要教師層層遞進(jìn)的合理設(shè)計(jì).以函數(shù)概念為例，筆者設(shè)計(jì)了函數(shù)概念中兩大難點(diǎn)：定義域和概念的深度理解.

變式1：函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)椋?1，1］，求函數(shù)y=f（x+1）的定義域.

變式2：函數(shù)y=f（x-1）的定義域?yàn)椋?1，1］，求函數(shù)y=f（x+1）的定義域.

變式3：函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)椋?1，1］，求函數(shù)y=f（x+1）+f（x-1）的定義域.

變式4：函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)椋?1，1］，求函數(shù)y=f（x+a）+f（x-a）（a∈R）的定義域.

分析：為了凸顯函數(shù)概念中定義域部分的理解，筆者設(shè)計(jì)了問題3及其變式組，從具體函數(shù)入手，結(jié)合抽象函數(shù)的思考，讓我們理解定義域的真正含義.變式2對(duì)于學(xué)生而言是一個(gè)跨越，學(xué)生對(duì)于條件“函數(shù)y=f（x-1）的定義域?yàn)椋?1，1］”的理解，有助于其解決“函數(shù)y=f（x+1）的定義域”；有了變式2的理解，才有了學(xué)生函數(shù)概念中定義域真正的、更深的理解，即法則“f”的理解.

問題4：存在函數(shù)f（x）滿足，對(duì)任意x∈R都有_____________.（填寫符合題意的函數(shù)）

分析：作為中學(xué)數(shù)學(xué)最重要的概念，函數(shù)概念已經(jīng)有了很多簡(jiǎn)單的表面考查，但是直擊概念深度的考查是少之又少，給出問題4從函數(shù)概念更深的層次去思考.不少學(xué)生對(duì)于本題的第一反應(yīng)是題意似乎沒有講完整，根本未能理解題意.這就需要在復(fù)習(xí)教學(xué)中直擊概念的核心——函數(shù)中法則“f”到底怎么理解（圖2）？這里的每一個(gè)x∈R是不是法則“f”的定義域？在較為抽象的形態(tài)下，學(xué)生陷入一種茫然.讓我們直擊函數(shù)概念最本質(zhì)、最核心的部分：

圖2

以（4）為例，不妨令x=0和x=π，則f（0）=1及f（0）=π-1，顯然不存在這樣的法則“f”.其余依次可知正確性，只有（2）正確.思考概念，回歸教材是復(fù)習(xí)教學(xué)有效性的重要方向，切忌一味地在重復(fù)訓(xùn)練中盲目向前，以訓(xùn)練這些缺乏思維含量、僅僅提高熟練度的試題耗費(fèi)學(xué)習(xí)的積極性，破壞學(xué)生思考的深刻性，這是復(fù)習(xí)教學(xué)的重要視角.

三、要運(yùn)算，強(qiáng)算理

數(shù)學(xué)離不開運(yùn)算，但是恰恰在這一環(huán)節(jié)上學(xué)生失去了太多的得分可能性，往往有很多學(xué)生在試卷分析的時(shí)候強(qiáng)調(diào)這個(gè)會(huì)算、那個(gè)會(huì)算，但是在考場(chǎng)中每次都“失之毫厘，謬以千里”，這是什么原因呢？?jī)H僅是運(yùn)算錯(cuò)誤這么簡(jiǎn)單？顯然不是，從筆者觀察來看，學(xué)生復(fù)習(xí)中不重視運(yùn)算和算理是主要原因，這些運(yùn)算失分可以從算理角度上思考，因此強(qiáng)化算理是提升運(yùn)算質(zhì)量的關(guān)鍵.

圖3

問題5：如圖3，已知拋物線C：y2=-4x上橫坐標(biāo)為-3的一點(diǎn)，與其焦點(diǎn)的距離為4，設(shè)動(dòng)直線y=x+b（b＞3）與拋物線C相交于A、B兩點(diǎn)，問：在直線l：y=2上是否存在與b的取值無關(guān)的定點(diǎn)M，使得∠AMB被直線l平分？說明理由.

分析：解析幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算量最大的章節(jié)，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系則是重中之重.不少教師和學(xué)生對(duì)于其的認(rèn)知停留在只要會(huì)算、肯算就好，殊不知這一認(rèn)識(shí)的片面性.近年來愈來愈多的問題不僅僅是考查運(yùn)算，而是更從算法算理優(yōu)化的角度進(jìn)行先認(rèn)知，只有獲得合理的算法才能簡(jiǎn)化問題的運(yùn)算，這是復(fù)習(xí)教學(xué)需要教師引領(lǐng)的.本題中“∠AMB被直線l平分”這一條件如何轉(zhuǎn)換為合理的算法？在代數(shù)解決幾何問題中最快捷的方式是kAM=-kBM.給出簡(jiǎn)解：

不妨令A(yù)（x1，y1），B（x2，y2），設(shè)存在點(diǎn)M（a，2）滿足條件，由已知得kAM=-kBM，即有，整理得由得y2+4y-4b=0，即y1+y2=-4，y1y2=-4b，有-4b·（-4）+4a（-4）-2［（-4）2+8b］-16a=0，得a=-1，因此存在點(diǎn)M（-1，2），經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意.顯然，合理的算理簡(jiǎn)化了角平分線的處理.

總之，復(fù)習(xí)教學(xué)不再是以往一味的重復(fù)性操作，這樣只會(huì)久而久之降低復(fù)習(xí)的效率，我們要從更多的方面直擊復(fù)習(xí)教學(xué)的核心，從高考一再提醒的回歸教材、重視基本、強(qiáng)化算理、掌握特技等全新視角出發(fā)，讓學(xué)生的復(fù)習(xí)更上一層樓.

1.楊玉東.高中數(shù)學(xué)試題分析實(shí)施中的思維反饋［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2015（2）.

2.柴賢亭.數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的思維啟發(fā)設(shè)計(jì)［J］.教學(xué)與管理，2014（10）.

3.鄭毓信.解題教學(xué)理論的必要發(fā)展［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2016（1）.F