永磁軌道磁感應(yīng)強(qiáng)度計(jì)算方法*

李海濤葛玉梅孫睿雪鄧自剛

永磁軌道磁感應(yīng)強(qiáng)度計(jì)算方法*

李海濤1，2葛玉梅1孫睿雪2鄧自剛2

（1.西南交通大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院應(yīng)用力學(xué)與結(jié)構(gòu)安全四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，610031，成都；2.西南交通大學(xué)牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室超導(dǎo)技術(shù)研究所，610031，成都//第一作者，碩士研究生）

基于分子電流環(huán)模型，利用畢奧·薩伐爾定律建立了能夠?qū)崿F(xiàn)單塊永磁體磁感應(yīng)強(qiáng)度分布的三維模型；通過坐標(biāo)變換的方法，得到可描述任意大小永磁體組合的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布的模型。以Halbach型永磁軌道作為研究對(duì)象，建立了完整的三維計(jì)算模型。通過對(duì)比分析，得到磁感應(yīng)強(qiáng)度的解析解、實(shí)測(cè)值以及有限元解的一致性結(jié)果，肯定了模型的正確性。

永磁軌道；磁感應(yīng)強(qiáng)度；三維計(jì)算模型

AbstractBased on the molecular current cycle model，a 3D numerical model is built to describe the magnetic field distribution of a single permanent magnet by using Biot-Savart Law.Then,through coordinate transformation，a model to describe the magnetic field distribution for any sizes of permanent magnets and any combinations is obtained.According to the Halbach type track,a complete 3D numerical model is built,and correctional parameters are introduced into the model by comparison and analysis.The correctness of the model is further verified by the measured data and finite element simulation results.

Key wordspermanent magnet track； magnetic field distribution；3D numerical model

First-author′s address Applied Mechanics and Structure Safety Key Laboratory of Sichuan Province，Southwest Jiaotong University，610031，Chengdu，China

高溫超導(dǎo)磁浮系統(tǒng)具有穩(wěn)定、經(jīng)濟(jì)、環(huán)保等優(yōu)點(diǎn)，在城市軌道交通領(lǐng)域具有很大的發(fā)展?jié)摿?。目前，針?duì)該系統(tǒng)的重要組成部分永磁軌道的研究方法主要采用有限元法、實(shí)驗(yàn)測(cè)試法以及二維解析法。其中，有限元法較為精確，但由于計(jì)算量大，不適合對(duì)大型軌道進(jìn)行計(jì)算；實(shí)驗(yàn)測(cè)試法成本較高；二維解析法假設(shè)軌道磁場(chǎng)沿一個(gè)方向完全均勻，無法描述存在缺陷或磁場(chǎng)分布不均勻的軌道。故在計(jì)算大型軌道結(jié)構(gòu)時(shí)，需要尋求一種計(jì)算量更小、更經(jīng)濟(jì)的方法以提高效率。

本文根據(jù)畢奧·薩伐爾定律，利用分子電流環(huán)模型［1］建立了可求解單塊永磁體磁感應(yīng)強(qiáng)度的三維計(jì)算模型。此外，利用坐標(biāo)變換的方法簡(jiǎn)化了計(jì)算流程。在此基礎(chǔ)上建立了完整的Halbach型永磁軌道磁感應(yīng)強(qiáng)度計(jì)算模型，通過對(duì)該模型的解析解、實(shí)測(cè)值以及ANSYS Maxwell二維有限元解進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了該模型的正確性。

1 永磁體磁感應(yīng)強(qiáng)度表達(dá)式

1.1 單塊永磁體建模

根據(jù)畢奧·薩伐爾定律有：

式中：

d B ——磁感應(yīng)強(qiáng)度微量，T；

I——源電流，A/m2；

r ——電流源指向待求場(chǎng)點(diǎn)的矢量，m；

I d l——源電流的微小線元，A/m；

μ0——真空磁導(dǎo)率，其值為4π×10-7H/m。式中，d B的方向垂直于I d l與r所確定的平面（符合右手螺旋定則）。

圖1為長(zhǎng)方體永磁體示意圖。該永磁體長(zhǎng)為a，寬為b1-b0，高為h。由圖1可知，永磁體表面任意點(diǎn)P1（x1，y1，z1）（以微面ABDC上一點(diǎn)為例）處源電流在空間任意一點(diǎn) P（x，y，z）處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度可表示為：

式（3）中，x1，j代表微面 ABDC 上某點(diǎn)的 x 坐標(biāo)值；z1，j代表微面ABDC上某點(diǎn)的z坐標(biāo)值。

圖1 長(zhǎng)方體永磁體示意圖

同理可得，微面ABHG、HGEF及EFDC上的電流在任意點(diǎn) P（x，y，z）處的磁感應(yīng)強(qiáng)度 d Bxi、d Byi、d Bzi（i=2，3，4）。為簡(jiǎn)化表達(dá)式，引入以下記號(hào)及函數(shù)表達(dá)式［2］。經(jīng)過積分計(jì)算，可得圖1中永磁體x，y，z方向的磁感應(yīng)強(qiáng)度：

1.2 Halbach型永磁軌道建模

不同磁化方向、不同位置及尺寸的永磁體，可通過坐標(biāo)變換得到其磁感應(yīng)強(qiáng)度。本文以西南交大牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室高溫超導(dǎo)磁懸浮環(huán)形試驗(yàn)線所選用的Halbach型軌道（以下簡(jiǎn)稱“試驗(yàn)軌道”）為例進(jìn)行計(jì)算。試驗(yàn)軌道結(jié)構(gòu)如圖2所示，圖中箭頭為各單塊永磁體的磁化方向。

圖2 試驗(yàn)軌道結(jié)構(gòu)示意圖

由圖2可知，試驗(yàn)軌道在軌道截面上由5塊永磁體組成，永磁體編號(hào)從左到右分別為1、2、3、4、5號(hào)。設(shè)各塊永磁體x，y，z方向的磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為Bxk、Byk及 Bz（kk=1，2，3，4，5）。 其中，1 號(hào)永磁體即為圖1所示永磁體，5號(hào)永磁體可由1號(hào)永磁體平移得到，3號(hào)永磁體可由1號(hào)永磁體經(jīng)過坐標(biāo)對(duì)稱得到［3］，2號(hào)和4號(hào)永磁體可由1號(hào)永磁體經(jīng)過坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)得到。永磁體尺寸不同時(shí)，只需帶入不同的a，b，h值即可。對(duì)各永磁體的磁感應(yīng)強(qiáng)度求和，得到Halbach型軌道的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：

計(jì)算中所需的電流，可由以下2種方法得到。方法1：針對(duì)已知磁感應(yīng)強(qiáng)度的永磁體可直接給出電流I；方法2：確保模型正確時(shí)，可測(cè)得空間中任意一點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度，將其代入式中可反推出電流I。本文采用上述方法2來計(jì)算電流。

本文建模實(shí)質(zhì)是對(duì)各單塊永磁體的磁感應(yīng)強(qiáng)度進(jìn)行矢量疊加，由于忽略了各永磁體的相互作用對(duì)磁感應(yīng)強(qiáng)度的影響，勢(shì)必會(huì)導(dǎo)致誤差。因此，本文引入修正參數(shù) η，修正后的Bz′如式（12）所示。

式中：

z0——以軌道上表面為零點(diǎn)的垂向位置。

2 結(jié)果分析

2.1 解析解與實(shí)測(cè)值對(duì)比

由圖2可知，所有永磁體的磁化方向均垂直于y方向。由圖1可知，該軌道磁感應(yīng)強(qiáng)度分量By沿y=平面兩側(cè)對(duì)稱分布。對(duì)于沿y方向延伸足夠長(zhǎng)的軌道，其磁感應(yīng)強(qiáng)度分量By=0。故只需求解磁感應(yīng)強(qiáng)度的分量Bx和Bz。圖2所示試驗(yàn)軌道尺寸及電流參數(shù)如表1所示。

表1 試驗(yàn)軌道尺寸及電流參數(shù)表

本文采用Hall Generator 3020型高斯計(jì)來測(cè)量試驗(yàn)軌道的磁感應(yīng)強(qiáng)度。于磁極處測(cè)得一組法向磁感應(yīng)強(qiáng)度Bz隨z的變化數(shù)據(jù)，并與解析解作對(duì)比，結(jié)果如圖3所示。由圖3可知，Bz的解析解與實(shí)測(cè)值一致性較高。

圖4為試驗(yàn)軌道橫截面方向法向磁感應(yīng)強(qiáng)度Bz的解析解與實(shí)測(cè)值對(duì)比圖。鑒于試驗(yàn)軌道磁場(chǎng)沿中軸線呈對(duì)稱分布［4］，本文只測(cè)量（計(jì)算）并對(duì)比了軌道的左半部分。由圖4可知，解析解與實(shí)測(cè)值有較高的吻合度。值得注意的是，軌道邊緣處的解析解的絕對(duì)值要小于實(shí)測(cè)值。

2.2 解析解與有限元解對(duì)比

為進(jìn)一步驗(yàn)證模型，采用ANSYS Maxwell建立了試驗(yàn)軌道的二維模型。矯頑力在該模型中取994 000 A/m，在解析解中I取1.09×105A/m3，其他參數(shù)與表1保持一致。試驗(yàn)軌道法向磁感應(yīng)強(qiáng)度Bz、切向磁感應(yīng)強(qiáng)度Bx的解析解與有限元解的對(duì)比圖如圖5、圖6所示。

圖3 磁極處法向磁感應(yīng)強(qiáng)度Bz解析解與實(shí)測(cè)值對(duì)比圖

圖4 試驗(yàn)軌道截面方向法向磁感應(yīng)強(qiáng)度Bz解析解與實(shí)測(cè)值對(duì)比圖

圖5 試驗(yàn)軌道法向磁感應(yīng)強(qiáng)度Bz的解析解與有限元解對(duì)比圖

圖6 試驗(yàn)軌道切向磁感應(yīng)強(qiáng)度Bx的解析解與有限元解對(duì)比圖

由圖5可知，兩者的吻合度整體較高。在試驗(yàn)軌道邊緣處，兩者有一定的差距，解析解略小于有限元解。這說明忽略各永磁體之間的相互影響將會(huì)導(dǎo)致誤差，并且在軌道表面附近表現(xiàn)更為明顯。由圖6可知，兩者吻合度亦較高，在試驗(yàn)軌道邊緣處以及距離軌道表面較近處未出現(xiàn)明顯的差距。

2.3 誤差分析

觀察對(duì)比結(jié)果，磁極上方法向磁感應(yīng)強(qiáng)度解析解與實(shí)測(cè)值誤差為2.5%；試驗(yàn)軌道截面方向法向磁感應(yīng)強(qiáng)度的解析解與實(shí)測(cè)值誤差為13.2%（若不包含左側(cè)軌道邊緣處的10個(gè)點(diǎn)，則誤差為5.5%）；試驗(yàn)軌道截面方向法向磁感應(yīng)強(qiáng)度的解析解與有限元解誤差為9.5%（若不包含左側(cè)軌道邊緣處的10個(gè)點(diǎn)，則誤差為2.6%）；軌道切向磁感應(yīng)強(qiáng)度的解析解與有限元解誤差為0.39%。法向磁感應(yīng)強(qiáng)度的解析解、實(shí)測(cè)值與有限元解對(duì)比均存在一定的誤差。這是由于計(jì)算解析解的過程中忽略了永磁體相互之間的磁力線擠壓作用；解析解與實(shí)測(cè)值的誤差大于解析解與有限元解的誤差，這是由于試驗(yàn)軌道是由小塊永磁體拼接而成，而每一塊永磁體的性能均可能存在差異；試驗(yàn)軌道邊緣處三個(gè)解的誤差較中心處較大，這是由于解析解忽略了試驗(yàn)軌道的邊緣效應(yīng)。試驗(yàn)軌道截面方向的切向磁感應(yīng)強(qiáng)度與有限元解相似度較高。

3 結(jié)語

本文利用分子電流環(huán)模型，建立了單塊永磁體模型，并通過坐標(biāo)變換的方法得到了完整的Halbach型永磁軌道模型。計(jì)算磁感應(yīng)強(qiáng)度時(shí)，由于忽略了各永磁體之間的影響，在試驗(yàn)軌道邊緣處存在一定的誤差。在與實(shí)測(cè)結(jié)果比對(duì)后，引入了修正參數(shù)。修正后的解析解與實(shí)測(cè)值以及 ANSYS Maxwell有限元解均有較高的吻合度。切向的磁感應(yīng)強(qiáng)度Bx的計(jì)算中，解析解與有限元法解吻合度較高。在環(huán)形試驗(yàn)線車體振動(dòng)范圍以及運(yùn)行速度內(nèi)，該模型計(jì)算可以滿足精度要求。

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Calculation of the Magnetic Field Distribution of Permanent Magnet Track

LIHaitao，GE Yumei，SUN Ruixue，DENG Zigang

TM153+.1：U237

10.16037/j.1007-869x.2017.09.005

2015-11-18）

*國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（51375404）