求解時變線性不等式離散算法的設(shè)計(jì)與分析

郭東生， 徐鳳

(華僑大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院， 福建 廈門 361021)

求解時變線性不等式離散算法的設(shè)計(jì)與分析

郭東生， 徐鳳

(華僑大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院， 福建 廈門 361021)

提出一種用于求解時變線性不等式的數(shù)值算法.通過引入一個時變向量(其每個元素都大于或等于零)，將時變線性不等式轉(zhuǎn)化為一個時變矩陣向量方程，并給出用于求解該方程的連續(xù)時間模型(即神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)).采用歐拉差分公式將其離散化，推導(dǎo)得到相應(yīng)的離散算法，并通過理論分析和數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該離散算法的有效性.結(jié)果表明：所提出的離散算法的穩(wěn)態(tài)誤差(SSRE)具有O(τ2)的變化規(guī)律，當(dāng)τ的數(shù)值減小10倍，算法的穩(wěn)態(tài)誤差可減小100倍.

線性不等式； 時變； 離散算法； 歐拉差分公式； 穩(wěn)態(tài)誤差

Abstract： A numerical algorithm for time-varying linear inequality solving is proposed. By introducing a time-varying vector (of which each element is greater than or equal to zero), we convert the time-varying linear inequality to a time-varying matrix-vector equation. A continuous-time model (i.e., the neural network) is then presented to solve such an equation. Using Euler′s difference formula to discretize the continuous-time model, we propose the corresponding discrete algorithm. Both theoretical analysis and numerical results further substantiate the efficacy of such algorithm. These results also indicate that the steady-state residual error (SSRE) of the proposed discrete algorithm changes in anO(τ2) manner with beingτthe sampling gap; when theτvalue decreases by 10 times, the SSRE reduces by 100 times.

Keywords： linear inequality； time-varying； discrete algorithm； Euler′s difference formula； steady-state residual error

近年來，不等式在科學(xué)研究和工程應(yīng)用領(lǐng)域扮演著越來越重要的角色[1-6].在不等式的研究中，如何有效求解形如Ax≤b的線性不等式是一個重要課題，且已受到廣泛關(guān)注.對于線性不等式，許多研究學(xué)者提出了相應(yīng)的求解方法[7-10]，如文獻(xiàn)[7]設(shè)計(jì)的迭代算法，開發(fā)的連續(xù)時間神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，文獻(xiàn)[8]展示的離散時間神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型.但是，這些方法都是針對時不變線性不等式進(jìn)行設(shè)計(jì)的，而對于時變線性不等式，采用前述方法進(jìn)行求解得到的結(jié)果會有明顯滯后誤差[11].針對時變線性不等式的求解，文獻(xiàn)[11]設(shè)計(jì)一種新型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，并通過對比來說明該模型的有效性和優(yōu)越性.文獻(xiàn)[12-13]分別開發(fā)以隱式動力學(xué)方程和顯式動力學(xué)方程描述的兩種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型.為了硬件(如數(shù)字電路)實(shí)現(xiàn)的目的，針對文獻(xiàn)[13]的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，本文設(shè)計(jì)開發(fā)相應(yīng)的數(shù)值算法,用以求解時變線性不等式.

1 問題和模型描述

不失一般性，所研究的時變線性不等式[11-13]為

式(1)中:A(t)∈Rn×n和b(t)∈Rn分別是光滑時變的系數(shù)矩陣和向量;x(t)∈Rn是需要求解(1)得到的未知向量.需要說明的是，式(1)是一個具有代表性的時變線性不等式，文中的設(shè)計(jì)方法可拓展求解其他類型的不等式(如時變李雅普諾夫矩陣不等式[14]).為了保證式(1)中x(t)的存在，文中僅考慮系數(shù)矩陣A(t)在時間t∈[0，+∞)內(nèi)是非奇異的情況.

文獻(xiàn)[13]展示了時變線性不等式(1)的求解可等價于時變矩陣向量方程的求解，即

式(2)中:Λ(t)=[λ1(t)，λ2(t)，…，λn(t)]T∈Rn是一個需要求解的未知向量;時變向量Λ2(t)=D(t)×Λ(t)∈Rn，其中,對角線矩陣D(t)∈Rn×n，D(t)=diag(λ1(t)，λ2(t)，…，λn(t)).

基于上述轉(zhuǎn)換，文獻(xiàn)[13]設(shè)計(jì)了如下的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，用以求解時變矩陣向量方程(2)及時變線性不等式(1)，即

定理1對于時變線性不等式(1)，給定一個光滑時變的非奇異系數(shù)矩陣A(t)∈Rn×n和一個光滑時變的系數(shù)向量b(t)∈Rn,則模型(3)的狀態(tài)向量y(t)從一個隨機(jī)產(chǎn)生的初始狀態(tài)y(0)∈R2n出發(fā)，收斂到時變矩陣向量方程(2)的一個精確解.該解的前n個元素組成時變線性不等式(1)一個精確的時變解.

2 新離散算法及其理論分析

式(4)中：h=τγ>0∈R為步長.式(4)便是文中所提出用以求解(1)的離散算法.

定理2所提出的離散算法是一個一致的和收斂的方法，且對于所有的時間tk∈[t0，tfinal]，以其截斷誤差O(τ2)的階數(shù)收斂.

顯然，去掉式(5)中的O(τ2)，正是文中所提出的離散算法(4).換言之，離散算法(4)的截斷誤差為O(τ2)，這表明該算法具有2階的一致性.

綜合上述分析可得，離散算法(4)是零穩(wěn)定和一致的[19].因此，所提出的離散算法(4)是一個一致的和收斂的方法，且對于所有的時間tk∈[t0，tfinal]，以其截斷誤差O(τ2)的階數(shù)收斂.證畢.

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

對于時變線性不等式(1)，系數(shù)矩陣A(t)和向量b(t)為

當(dāng)τ=0.01和h=0.5時，采用所提離散算法求解變線性不等式(1)，其數(shù)值結(jié)果如圖1所示.

(a) xk的軌跡 (b) Λk的軌跡

(c) 計(jì)算誤差的軌跡 (d) 測試誤差的軌跡圖1 采用離散算法求解時變線性不等式(1)的數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果(τ=0.01， h=0.5)Fig.1 Numerical results of using discrete algorithm (τ=0.01， h=0.5) to solve time-varying linear inequality (1)

由圖1(a),(b)可知：基于5個隨機(jī)產(chǎn)生的初始狀態(tài)，由離散算法計(jì)算得到的xk和Λk的狀態(tài)軌跡是時刻變化的.圖1(c)顯示了計(jì)算誤差‖ek‖2=‖Qkyk-bk‖2的變化特點(diǎn)，即計(jì)算誤差快速減小并維持在一個小的數(shù)值范圍內(nèi)，且其最大穩(wěn)態(tài)誤差為1.056×10-3.這就意味著xk和Λk正是時變矩陣向量方程(2)的時變解.對于滿足式(2)的xk，這就是時變線性不等式(1)的一個時變解，即Akxk≤bk.

當(dāng)τ=0.001和h=0.5時，采用所提離散算法求解變線性不等式(1)，其數(shù)值結(jié)果如圖2所示.

(a) xk的軌跡 (b) 計(jì)算誤差的軌跡圖2 采用離散算法求解時變線性不等式(1)的數(shù)值結(jié)果(τ=0.001， h=0.5)Fig.2 Numerical results of using discrete algorithm (τ=0.001， h=0.5) to solve time-varying linear inequality (1)

由圖2(a)可知：由離散算法計(jì)算得到xk的狀態(tài)軌跡是時變的.由圖2(b)可知：計(jì)算誤差快速減小并維持在一個小數(shù)值范圍內(nèi)，且其最大穩(wěn)態(tài)誤差為1.059×10-5.顯然，這些結(jié)果再次表明離散算法能有效求解時變線性不等式(1).另外，對比圖1(c)和圖2(b)可知：隨著τ的減小(從0.01到0.001)，相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差也減小(從10-3到10-5).因此，離散算法的計(jì)算性能可以通過減小τ的數(shù)值來得到提高.

為了進(jìn)一步研究，采用不同的τ和h來對所提出的離散算法進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)，結(jié)果如圖3,4所示.

(a) τ=0.1 (b) τ=0.01 (c) τ=0.001圖3 不同τ值采用離散算法求解時變線性不等式(1)的誤差狀態(tài)軌跡(h=0.4)Fig.3 Error state trajectory of using discrete algorithm under different τ values (h=0.4) to solve time-varying linear inequality (1)

(a) τ=0.1 (b) τ=0.01 (c) τ=0.001圖4 不同的τ值下采用離散算法求解時變線性不等式(1)的誤差狀態(tài)軌跡(h=0.6)Fig.4 Error state trajectory of using discrete algorithm under different τ values (h=0.6) to solve time-varying linear inequality (1)

由圖3,4可知：對于固定τ的數(shù)值，采用不同的h的數(shù)值，離散算法的計(jì)算性能都有所不同(即相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差都不一樣).特別地，對于固定的h，減小τ的數(shù)值，離散算法的計(jì)算性能能夠得到更有效的提高.具體而言，當(dāng)τ的數(shù)值減小10倍，離散算法的穩(wěn)態(tài)誤差能夠減小100倍，即所提出的離散算法的穩(wěn)態(tài)誤差具有O(τ2)的變化規(guī)律.這也就意味著可通過合理地減小τ的值來有效地滿足應(yīng)用實(shí)踐中所需要的精度.總的來說，上述的數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果很好地表明了所提出離散算法的有效性.

4 結(jié)束語

為求解時變線性不等式(1)，結(jié)合歐拉差分公式推導(dǎo)得到一種離散算法，并給出相應(yīng)的理論結(jié)果來說明其計(jì)算性能.通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)，進(jìn)一步驗(yàn)證所提出的離散算法的有效性.結(jié)果表明，所提出的離散算法的穩(wěn)態(tài)誤差與采樣間隔τ具有O(τ2)的變化關(guān)系，可以有效地求解時變線性不等式(1).

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(責(zé)任編輯： 陳志賢英文審校： 黃心中)

DesignandAnalysisofDiscreteAlgorithmforTime-VaryingLinearInequalitySolving

GUO Dongsheng， XU Feng

(College of Information Science and Engineering， Huaqiao University， Xiamen 361021， China)

10.11830/ISSN.1000-5013.201612043

2016-12-21

郭東生(1987-)，男，副教授，博士，主要從事神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、數(shù)值算法和機(jī)器人方面的研究.E-mail:gdongsh@hqu.edu.cn.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61603143)； 福建省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2016J01307)； 華僑大學(xué)中青年教師科技創(chuàng)新計(jì)劃資助項(xiàng)目(ZQN-YX402)； 華僑大學(xué)高層次人才科研啟動項(xiàng)目(15BS410)

O 221.2; TP 183

A

1000-5013(2017)05-0732-05