對(duì)中證500指數(shù)波動(dòng)性的分析研究
——基于A RM A-G A RCH族模型

涂犁明，方 華

（上海理工大學(xué)管理學(xué)院，上海200093）

對(duì)中證500指數(shù)波動(dòng)性的分析研究
——基于A RM A-G A RCH族模型

涂犁明，方 華

（上海理工大學(xué)管理學(xué)院，上海200093）

以中證500指數(shù)收益率為研究對(duì)象，利用不同假設(shè)分布的GARCH族模型對(duì)收益率波動(dòng)性進(jìn)行分析。結(jié)果表明：收益率序列存在明顯的波動(dòng)集群現(xiàn)象，而且并非正態(tài)分布；基于t分布下的ARMA(1，1)-GARCH(1，1)模型可以較好的描述收益率序列的波動(dòng)集群現(xiàn)象；基于GED分布的ARMA(1，1)-EGARCH(1，1)模型則是最佳模型，同時(shí)說(shuō)明了中證500指數(shù)收益率存在杠桿效應(yīng)，且利空消息影響大于利好消息。

GARCH模型；EGARCH模型;AIC;t分布；GED分布

Abstract:This paper makes the return of the CSI 500 index as the research object and uses the GARCH model with different assumptions to analyze the volatility of returns.It shows obvious volatility clustering in return series,and it is not normal distribution.In this paper,the ARMA(1,1)-GARCH(1,1)model with t distribution can describe the volatility clustering of return series.The ARMA(1,1)-EGARCH(1,1)model based on the GED distribution is the best model,and shows that the return of the CSI 500 index exist leverage effect,and bad news always cause a large fluctuation than good news.

Key words:GARCH model;EGARCH model;AIC;t-distribution;GEDdistribution

1 引言

吳長(zhǎng)鳳[1]首次利用回歸-GARCH模型初步研究了上證指數(shù)和深證指數(shù)波動(dòng)性之間的關(guān)系。程千里，周少甫證明了我國(guó)股市收益存在尖峰厚尾特點(diǎn)，和波動(dòng)集群，同時(shí)證明存在不對(duì)稱性。陳健[2]則在GARCH模型中引入t分布代替正態(tài)分布假設(shè)進(jìn)行上證指數(shù)的實(shí)證。馬丹[3]對(duì)上證指數(shù)收益率進(jìn)行多個(gè)GARCH模型的分析說(shuō)明了我國(guó)股市杠桿效應(yīng)存在。魯萬(wàn)波[4]則運(yùn)用了非參數(shù)GRACH(1，1)模型來(lái)進(jìn)行研究，證明了在對(duì)我國(guó)股市的預(yù)測(cè)上，非參數(shù)模型更加精確。李杰和朱文俊[5]利用GARCH-M模型比較了上證指數(shù)和國(guó)外6個(gè)綜合指數(shù)，說(shuō)明了相對(duì)成熟市場(chǎng)，我國(guó)股市的波動(dòng)比較劇烈，而對(duì)于新興市場(chǎng)國(guó)家，我國(guó)股市的波動(dòng)屬于溫和。茹正亮，楊芝艷[6]等評(píng)價(jià)了各種利非對(duì)稱的GARCH模型對(duì)我國(guó)股市的預(yù)測(cè)能力。在直接對(duì)中證500指數(shù)的研究中，杜雨薇[7]利用GARCH模型和EGARCH模型對(duì)指數(shù)收益率進(jìn)行建模，并進(jìn)行了五個(gè)月的預(yù)測(cè)。

以上文獻(xiàn)直接對(duì)中證500指數(shù)進(jìn)行研究的文章較少，大多對(duì)上證指數(shù)，深證指數(shù)進(jìn)行研究，很少有學(xué)者關(guān)注中證500指數(shù)，本文試圖對(duì)這反映小市值公司股價(jià)的指數(shù)做一些初步研究。同時(shí)過(guò)往研究中均值模型和條件方差模型的選擇也比較模糊，本文試圖利用AIC信息準(zhǔn)則解決這個(gè)問(wèn)題。

2 實(shí)證模型簡(jiǎn)介

2.1 GARCH模型

GARCH模型也即是廣義自回歸條件異方差模型是由 Bollerslev（1986）在Engle提出的 ARCH模型基礎(chǔ)上發(fā)展而成的，該模型能夠較好地解決時(shí)間序列中由于波動(dòng)而產(chǎn)生的異方差現(xiàn)象。而且使得待估參數(shù)減少，對(duì)未來(lái)?xiàng)l件方差的預(yù)測(cè)更加準(zhǔn)確。GARCH(1,1)模型的具體形式為:

其中（1）式稱為GARH模型中的均值方程，其中Xt*為解釋變量向量，β為相應(yīng)的系數(shù)向量。εt為擾動(dòng)項(xiàng)，一般假設(shè)其服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，但金融數(shù)據(jù)往往存在尖峰厚尾現(xiàn)象，所以有時(shí)也使用t分布或者廣義誤差分布（GED分布）等；（2）式為GARCH模型中的條件方差方程，反映的是均值方程中殘差項(xiàng)的波動(dòng)情況。

2.2 TARCH模型

對(duì)資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)性的影響“壞消息”往往總是大于“好消息”，針對(duì)此，Glosten，Jagannathan and Runkle（1993）提出了非對(duì)稱的“門(mén)限 GARCH”模型，簡(jiǎn)記為GARCH模型，以TARCH(1,1)模型為例，均值方程不變，該模型中的條件方差被設(shè)定為：

其中，1(·)是一個(gè)示性函數(shù)，即當(dāng)均值方程中的εt＞0時(shí)，其值為1，反之，其值為0。λ1ε2t-1*1（εt-1＞0）即為非對(duì)稱效應(yīng)項(xiàng)，只要λ1顯著不為零，則存在非對(duì)稱效應(yīng)。否則不存在。

2.3 EGARCH模型

同樣，EGARCH模型也是針對(duì)非對(duì)稱效應(yīng)而推廣的，它是由Nelson（1991）提出的，同時(shí)在標(biāo)準(zhǔn)的GARCH模型中，對(duì)參數(shù)的取值有所限制，使MLE估計(jì)不便，EGARCH模型對(duì)參數(shù)沒(méi)有要求，從而更適合建模以一個(gè)EGARCH(1,1)模型為例，該模型相對(duì)于GARCH(1,1)模型均值方程不變，方差方程做了一定的改動(dòng)，即

3 實(shí)證分析

文章選取了中證500指數(shù)從2010年1月4日到2017年4月28日共1 777個(gè)交易日數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來(lái)源于東方財(cái)富網(wǎng)。為得到收益率數(shù)據(jù)，通過(guò)對(duì)中證500收盤(pán)價(jià)進(jìn)行對(duì)數(shù)差分，即：

從而得到1 776個(gè)對(duì)數(shù)收益率數(shù)據(jù)，本文利用軟件stata11[8]和eviews8進(jìn)行數(shù)據(jù)處理和模型建立。

3.1 統(tǒng)計(jì)性描述

由圖1可知，收益率序列圍繞0值上下波動(dòng)，沒(méi)有明顯的趨勢(shì)變化，但卻存在明顯的波動(dòng)性聚集現(xiàn)象，也即是方差大的觀測(cè)值聚集到一起，方差小的觀測(cè)值聚集到一起。初步判定中證500指數(shù)可能適合運(yùn)用GARCH族模型。

?

從圖2可以直觀看出收益率序列和正態(tài)分布存在很大差別，從表一的峰度 6.341 460＞3,偏度-0.941 577＜0可以更準(zhǔn)確的說(shuō)明收益率序列存在尖峰厚尾現(xiàn)象，而且左尾較厚。從JB統(tǒng)計(jì)量和P值則明確拒絕了收益率序列服從正態(tài)分布的假設(shè)。為了建模的準(zhǔn)確，可以使用t分布和GED分布等來(lái)描述尖峰厚尾。

3.2 平穩(wěn)性檢驗(yàn)

?

為了模型的有效，對(duì)時(shí)間序列數(shù)據(jù)在建模前必須檢驗(yàn)其平穩(wěn)性，本文采用廣泛使用的ADF單位根檢驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)中證500指數(shù)收益率序列的平穩(wěn)性。從上表的結(jié)果可得，無(wú)論是在10%，5%還是1%置信水平上ADF值都小于相應(yīng)的臨界值，從而拒絕了存在單位根的原假設(shè)，也即是收益率序列是平穩(wěn)的。

3.3 均值方程的選擇

r序列的自相關(guān)系數(shù)和偏相關(guān)系數(shù)滯后一階顯著不為零，其他不顯著，但也存在高階滯后系數(shù)顯著不為零的情況，由于文章篇幅，相關(guān)系數(shù)圖不給出?？紤]到建模的可操作性，本文在常用的幾種模型中根據(jù)信息準(zhǔn)則選擇最優(yōu)的ARMA模型，也即是garch模型中的均值方程。

其 中 ，arma10、arma11、arma12、arma20、arma21和 arma22 分別表示模型 AR(1)、ARMA(1，1)、ARMA(1，2)、AR(2)，ARMA(2，1)和 ARMA(2，2)。L.ar和 L2.ar分別是滯后一階和滯后二階收益率前估計(jì)系數(shù)，L.ma和L2.ma則為對(duì)應(yīng)滯后一階和二階殘差項(xiàng)前估計(jì)系數(shù)。

由圖3可得，無(wú)論是考慮到信息準(zhǔn)則AIC還是估計(jì)系數(shù)的顯著性，ARMA(1，1)模型都是最優(yōu)，雖然AR(1)的 BIC 小于 ARMA(1,1)，但顯然 ARMA(1，1)模型對(duì)收益率序列擬合更加充分，綜上所述，均值方程選擇ARMA(1，1)，具體方程如下：

3.4 ARCH模型選擇

均值方程選擇好之后，可以通過(guò)均值方程的殘差檢驗(yàn)是否存在ARCH效應(yīng)，本文通過(guò)對(duì)殘差的平方進(jìn)行Q檢驗(yàn)（由于篇幅有限，Q檢驗(yàn)結(jié)果不給出），發(fā)現(xiàn)殘差平方存在高階的相關(guān)性，證明殘差存在明顯的ARCH效應(yīng)，需要建立ARCH模型。根據(jù)已有研究表明，對(duì)于金融時(shí)間序列的ARCH效應(yīng)，GARCH（1,1）模型便可以很好的描述。所以本文同樣選擇GARCH(1，1)模型?？紤]到對(duì)于股票指數(shù)數(shù)據(jù)可能存在非對(duì)稱性效應(yīng)，因此也試圖建立相應(yīng)的TARCH模型和EGARCH模型。同時(shí)由上文的正態(tài)性檢驗(yàn)可知，收益率序列存在尖峰厚尾現(xiàn)象，因此考慮用t分布假設(shè)和GED分布假設(shè)而非正態(tài)分布假設(shè)。盡管多數(shù)論文依然將正態(tài)假設(shè)給出作為比較模型，但設(shè)定本身就不正確，沒(méi)有什么參考價(jià)值，因此本文不再考慮此假設(shè)。

其中，L.tarch是TARCH模型非對(duì)稱項(xiàng)前估計(jì)系數(shù)，L.earch_a是EGARCH模型非對(duì)稱項(xiàng)前估計(jì)系數(shù)。

由圖4的結(jié)果，可以剔除兩個(gè)TARCH模型，因?yàn)門(mén)ARCH項(xiàng)的估計(jì)系數(shù)不顯著，說(shuō)明不存在非對(duì)稱效應(yīng)。從AIC信息準(zhǔn)則來(lái)看EGARCH(1，1)-GED模型最優(yōu)，而且EGARCH項(xiàng)前系數(shù)顯著不為零說(shuō)明了非對(duì)稱效應(yīng)是存在的。其次較好的模型是GARCH(1,1)-t，這個(gè)模型沒(méi)有考慮非對(duì)稱效應(yīng)是否存在。

最終 ARMA(1，1)-GARCH(1，1)-t模型方程為：

3.4 實(shí)證結(jié)果分析

分別對(duì)以上兩模型的殘差進(jìn)行ARCH-LM檢驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)殘差已經(jīng)不存在ARCH效應(yīng)，這說(shuō)明上述兩模型已經(jīng)很好的解決了收益率序列的ARCH效應(yīng)。從以上實(shí)證結(jié)果可以得出，基于不同分布假設(shè)的分析是非常有必要的的，因?yàn)椴煌募僭O(shè)所得模型的估計(jì)是不一樣的，也會(huì)影響估計(jì)的顯著性。從以上兩模型的均值方程來(lái)看，本時(shí)期的收益率與上一時(shí)期呈負(fù)相關(guān)關(guān)系，而與上時(shí)期的波動(dòng)呈正相關(guān)關(guān)系，而且正向關(guān)系大于負(fù)向相關(guān)系。從條件方差模型來(lái)看，在 ARMA(1，1)-EARGCH(1，1，1)-GED模型方程中，反映“非對(duì)稱”效應(yīng)的系數(shù)為 -0.029 6＜0,說(shuō)明了“非對(duì)稱”效應(yīng)存在，而且當(dāng)時(shí)，對(duì)條件方差的對(duì)數(shù)的作用是0.124-0.029 6=0.094 4倍，當(dāng)是對(duì)條件方差的對(duì)數(shù)的作用為 0.124- （-0.029 6）=0.153 6倍。這說(shuō)明負(fù)作用對(duì)波動(dòng)性的影響大于了正作用對(duì)波動(dòng)性的影響，也即是股市中所謂的“利空消息”的對(duì)股價(jià)的影響大于“利好消息”（杠桿效應(yīng)）。

4 結(jié)論

在對(duì)中證500指數(shù)收益率的統(tǒng)計(jì)性分析中可得，收益率存在尖峰厚尾現(xiàn)象，正態(tài)假設(shè)在此不合適，這和上證指數(shù)和滬深300等指數(shù)有著一樣的結(jié)論，同時(shí)從收益率的時(shí)序圖也可以看到，收益率存在波動(dòng)集群現(xiàn)象，和大盤(pán)指數(shù)也一樣。也即是從一般統(tǒng)計(jì)角度看，反映小市值公司的股價(jià)指數(shù)與反映大指數(shù)公司的股價(jià)指數(shù)形態(tài)大致一樣。說(shuō)明我國(guó)股市指數(shù)變動(dòng)存在一致性。

在眾多模型中，ARMA(1，1)-EGARCH(1，1)-GED是選擇的最優(yōu)的模型，而 ARMA(1，1)-GARCH(1，1)-t模型次優(yōu)，但卻忽略了可能存在的杠桿效應(yīng)。還可以看出即使同樣的模型，當(dāng)殘差的分布假設(shè)不同時(shí)，模型的擬合程度也不一樣，這說(shuō)明在模型的建立要考慮充分，不可遺漏。

最優(yōu)的模型說(shuō)明了中證500指數(shù)收益率存在杠桿效應(yīng)，利空消息的影響是0.153 6倍，而利好消息的影響是0.094 4倍。這和我國(guó)股市現(xiàn)狀是相吻合的，側(cè)面說(shuō)明模型建立是正確的。本文結(jié)論說(shuō)明了為了我國(guó)股市的良好發(fā)展，對(duì)于投資者而言，要加強(qiáng)自身專業(yè)水平，不可人云亦云推波助瀾。對(duì)于市場(chǎng)監(jiān)督者來(lái)說(shuō)必須預(yù)防虛假消息對(duì)投資者的誘導(dǎo)，只有這樣我國(guó)股市才能逐漸走向成熟。

[1]吳長(zhǎng)鳳.利用回歸-GARCH模型對(duì)我國(guó)滬深股市的分析[J].預(yù)測(cè),1999(4):47-48.

[2]陳健.ARCH類(lèi)模型研究及其在滬市A股中的應(yīng)用[J].數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理,2003(3):10-13,26.

[3]馬丹.上證指數(shù)收益率GARCH模型族分析[J].財(cái)經(jīng)科學(xué),2003(S1):33-36.

[4]魯萬(wàn)波.基于非參數(shù)GARCH模型的中國(guó)股市波動(dòng)性預(yù)測(cè)[J].數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理,2006(4):455-461.

[5]李杰,朱文俊.關(guān)于中國(guó)股市波動(dòng)“劇烈”的實(shí)證分析[J].價(jià)格月刊,2010(1):87-91.

[6]茹正亮,楊芝艷,朱文剛,高安力.不同分布下非對(duì)稱GARCH模型波動(dòng)率預(yù)測(cè)評(píng)價(jià)[J].西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2012(11):19-23.

[7]杜雨薇.對(duì)中證500的實(shí)證研究與趨勢(shì)預(yù)測(cè):基于GARCH模型和EGARCH模型[J].商,2016(18):200-201.

[8]陳強(qiáng).高級(jí)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)及Stata應(yīng)用(第二版)[M].北京:高等教育出版社，2010.

［責(zé)任編輯：路 實(shí)］

A Study on Volatility of CSI 500 Index Based on ARMA——GARCH Model

TULi-ming，F(xiàn)ANGHua
(College ofManagement，UniversityofShanghai for Science and Technology，Shanghai 200093，China)

F830.9

A

1673-5919（2017）04-0093-04

10.13691/j.cnki.cn23-1539/f.2017.04.032

2017-06-23

涂犁明（1993-），男，四川南充人，碩士研究生。