求任意角三角函數(shù)值的一種簡(jiǎn)單方法

李中烘

筆者在多年的高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生按照人教版數(shù)學(xué)必修四中介紹的利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)值時(shí)，容易混淆誘導(dǎo)公式，從而導(dǎo)致求值出錯(cuò)。本文嘗試結(jié)合三角函數(shù)的定義，給出一個(gè)求三角函數(shù)值的簡(jiǎn)單方法。

我們先回顧人教版數(shù)學(xué)必修四給出的任意角的三角函數(shù)的定義。

任意角三角函數(shù)的定義：如圖1，設(shè)？琢是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)？妝（x，y），那么：

（1）y叫做？琢的正弦（sine），記做sin？琢，即sin？琢=y；

（2）x叫做？琢的余弦（cosine），記做cos？琢，即cos？琢=x；

（3）■叫做？琢的正切（tangent），記做tan？琢，即tan？琢=■（x≠0）。

下面給出本文用到的命題并給以證明。

命題：設(shè)？茁是任意角，且？茁與x軸的夾角為？琢（0≤？琢≤■），則有：

①sin？茁=±sin？琢；②cos？茁=±cos？琢；③tan？茁=±tan？琢；（此時(shí)？茁≠■+k？仔，k∈Z）。

其中，“±”取決于？茁終邊所在象限角（坐標(biāo)軸）所對(duì)應(yīng)原函數(shù)值的符號(hào)。

證明：下面只證明公式①（即正弦的情況），公式②、公式③可類(lèi)似的證明。

設(shè)任意角？茁的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P1（x，y），？茁與x軸的夾角？琢的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P2（x′，y′），根據(jù)三角函數(shù)單位圓的定義，則有：

sin？茁=y；cos？茁=x；tan？茁=■（x≠0）

sin？琢=y′；cos？琢=x′；tan？琢=■（x′≠0）

①若？茁終邊落在x軸上，則？茁與x軸的夾角？琢=0，此時(shí)y=y′=0，則有：sin？茁=sin？琢；

②若？茁終邊落在y軸上：

若？茁終邊落在y軸正半軸上，此時(shí)？茁與x軸的夾角？琢=■，？茁終邊與？琢終邊重合，P1（x，y）與P2（x′，y′）重合，故有y=-y′，即sin？茁=sin？琢；

若？茁終邊落在y軸負(fù)半軸上，此時(shí)？茁與x軸的夾角？琢=■，？茁終邊與？琢終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，P1（x，y）與P2（x′，y′）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故有y=-y′，即sin？茁=-sin？琢；

③若？茁終邊落在第一象限上，此時(shí)？茁終邊與？琢終邊重合，P1（x，y）與P2（x′，y′）重合，故有y=y′，即sin？茁=-sin？琢；

④若？茁終邊落在第二象限上，此時(shí)？茁終邊與？琢終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，P1（x，y）與P2（x′，y′）關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故有y=y′，即sin？茁=sin？琢；

⑤若？茁終邊落在第三象限上，此時(shí)？茁終邊與？琢終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，P1（x，y）與P2（x′，y′）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故有y=-y′，即sin？茁=-sin？琢；

⑥若？茁終邊落在第四象限上，此時(shí)？茁終邊與？琢終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，P1（x，y）與P2（x′，y′）關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，故有y=-y′，即sin？茁=-sin？琢；

綜上所述，若？茁是任意角，且？茁與x軸的夾角為？琢，則有sin？茁=±sin？琢，其中，“±”取決于？茁終邊所在象限角（坐標(biāo)軸）所對(duì)應(yīng)原函數(shù)值的符號(hào)。證畢。

接下來(lái)用本命題來(lái)巧求任意角的三角函數(shù)值：

例1.判斷下列角終邊落在第幾象限，并求出該角終邊與x軸的夾角。

（1）■ （2）-■

解：（1）由■=5？仔+■？仔，如圖2所示，要得到■終邊的位置，可以先找到5？仔的終邊所在的位置，然后將5？仔的終邊按照逆時(shí)針的方向旋轉(zhuǎn)■？仔就得到■終邊的位置，所以，■終邊落在第三象限，且■與x軸的夾角為■？仔；

（2）由-■=-8？仔-■？仔，如圖3所示，要得到-■終邊的位置，可以先找到-8？仔的終邊所在的位置，然后將-8？仔的終邊按照順時(shí)針的方向旋轉(zhuǎn)■？仔，就得到-■終邊的位置，所以，-■終邊落在第四象限，且-■與x軸的夾角為■？仔；

總結(jié)：求任意角？茁終邊落在第幾象限及其終邊與x軸的夾角可用如下方法：對(duì)于任意角？茁，總存在？琢∈[0，■]，k0∈Z，使得？茁=k0？仔±？琢。因此，要得到？茁終邊位置，可以先找到k0？仔的終邊位置，然后將k0？仔的終邊按照順（或者逆）時(shí)針旋轉(zhuǎn)？琢角度就得到？茁終邊位置，且？琢恰為？茁終邊與x軸的夾角。

例2.求下列三角函數(shù)值：

（1）sin■ （2）cos（-■）

解：（1）方法一：（用誘導(dǎo)公式）

sin■=sin（2×2？仔+■）=sin■=sin（？仔+■）=-sin■=-■

方法二：（用本文命題）

由■=5？仔+■，如圖4可知，■終邊落在第三象限，且與x軸的夾角為■。

故有：sin■=-sin■=-■。

（2）方法一：（用誘導(dǎo)公式）

cos（-■）=cos■=cos（7×2？仔+■）=cos■=cos（？仔-■）=-cos■=-■

方法二：（用本文命題）

由-■=-15？仔+■，如圖5可知，-■終邊落在第三象限，且與x軸的夾角為■，

故有：cos（-■）=-cos■=-■

總結(jié)：運(yùn)用本文命題求任意角？茁的三角函數(shù)值的方法如下：

（1）找出任意角？茁的終邊位置；

（2）找出任意角？茁與x軸的夾角？琢；

（3）運(yùn)用公式：sin？茁=±sin？琢；cos？茁=±cos？琢；tan？茁=±tan？琢；

（4）判斷“±”。

用本文方法求任意角的三角函數(shù)值，與應(yīng)用誘導(dǎo)公式求任意角的三角函數(shù)值相比，本文方法簡(jiǎn)潔易懂，省去了多次應(yīng)用誘導(dǎo)公式的繁瑣問(wèn)題，對(duì)于學(xué)生而言也較容易掌握，值得推廣。

編輯 李靜玲