函數(shù)極值點個數(shù)問題的解法探究

王東剛

【分類號】O174

2015年山東省高考數(shù)學(xué)理科導(dǎo)數(shù)試題的第一問考查了函數(shù)極值點個數(shù)的問題。研究發(fā)現(xiàn)考試院所提供的參考答案不易想到，對于學(xué)生來說在有限的時間內(nèi)解決這類問題是有困難的。筆者根據(jù)這類問題的特點嘗試使用了分離參數(shù)的方法，得到了比較簡捷的解法?，F(xiàn)將對這類問題的解法和思考與讀者進行分享，不當之處請批評指正。

對這類問題，我們可以先給出下述解題思路：

由此可見，“函數(shù)的零點、極值點及方程根的問題”是可以互相轉(zhuǎn)化的。此種解題思路主要用到了“函數(shù)與方程”、“化歸轉(zhuǎn)化”、“數(shù)形結(jié)合”等重要的數(shù)學(xué)思想方法。其解決問題比較簡單和易操作的原因在于通過分離參數(shù)實現(xiàn)了研究水平的動直線與固定的曲線之間的位置關(guān)系問題，非常直觀形象。其難點為研究固定函數(shù) 的圖象，很多時候函數(shù) 并不是基本初等函數(shù)，而是由基本初等函數(shù)復(fù)合或者加減乘除得到的新函數(shù)，因此研究圖象需要通過導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性、極值、最值、上下確界等性質(zhì)。

【例題】（2015年山東理）設(shè)函數(shù) ，其中 ，討論函數(shù) 極值點的個數(shù).

【解法一】因為 ，所以 ，

令 ，易見 不是函數(shù) 的極值點，

所以可得 ，

令 ，則 ，

所以 在 上遞減，在 和 上遞增，

所以當 時， ，

且當 時， ，當 時， ，

當 時， ，

所以 在定義域內(nèi)的圖象（如圖1）大致為：

所以當 時函數(shù) 僅有一個極值點，

當 時函數(shù) 無極值點，

當 時函數(shù) 有兩個極值點.

在這里特別需要強調(diào)的是導(dǎo)函數(shù) 的零點并不一定是函數(shù) 的極值點，而是導(dǎo)函數(shù) 的異號零點才對應(yīng)函數(shù) 的極值點。因此方程 =0的根及函數(shù) 與函數(shù) 圖象公共點，必須對應(yīng)導(dǎo)函數(shù) 的異號零點。

其實分離參數(shù)的實質(zhì)是分離參變量和主變量，等式左側(cè)可以是關(guān)于參數(shù)的一個函數(shù)表達式，右側(cè)是關(guān)于主變量的一個函數(shù)表達式。如果主變量的一個函數(shù)表達式不易研究，可以適當?shù)刈儞Q形式，以達到容易研究右側(cè)函數(shù)的性質(zhì)和便于畫出其圖像的目的。上述解法一分離參數(shù)后，右側(cè)的函數(shù)研究起來較為復(fù)雜，還涉及到函數(shù)的漸進線及趨向，對高中生來講還是有一定難度的?；诖艘?，我們可以給出以下解法：

【解法二】因為 ，

所以 ，

令 ，

則 ，令 ，

所以 在定義域 上的圖象（如圖2）大致為：

所以當 即 時函數(shù) 僅有一個極值點，

當 即 時函數(shù) 無極值點，

還易得：當 時函數(shù) 無極值點，

當 即 時函數(shù) 有兩個極值點.

筆者還要說明的是分離參數(shù)并不是適用解決所有函數(shù)零點和方程根的問題，例如2009年山東的一道填空題：（2009年山東）若函數(shù) （ 且 ）有兩個零點，則實數(shù) 的取值范圍是 .

本題如果分離參數(shù) 顯然是無法實現(xiàn)的，而此時可以轉(zhuǎn)化成方程 （ 且 ）有兩個不同的實根，再轉(zhuǎn)化成函數(shù) （ 且 ）與 的圖象有兩個不同的公共點，不難得到 .所以我們研究問題時要因題而異，辯證施治。

有的讀者可能會提出“研究非水平動態(tài)直線（定點直線系或者斜率不為0的平行直線系）與固定曲線的位置關(guān)系是否可行”，筆者仍然提出“因題而異，辯證施治”的觀點。舉一個簡單例子加以說明，例如：“若函數(shù) 與 的圖象在區(qū)間 內(nèi)有公共點，求實數(shù) 的取值范圍?！比绻嫼瘮?shù)圖像時不精確，很容易把 的最小值誤認為是圖3所示所對應(yīng)的 的值，其實是圖4所示所對應(yīng)的才是 的最小值，圖5所示對應(yīng) 的最大值。由此可以看出，導(dǎo)致出錯的原因是當函數(shù)的單調(diào)性確定后，容易忽略函數(shù)的凹凸性，即使注意到了函數(shù)的凹凸性，有些函數(shù)也難以研究凹凸的程度。

而如果令 ，通過分離參數(shù)得到 就比較簡單了，易得

所以筆者提出以下觀點，在解決函數(shù)的零點、極值點及方程根的關(guān)系問題時優(yōu)先考慮分離參數(shù)的方法，如果分離參數(shù)不容易實現(xiàn)或者分離后依然不好解決問題，再考慮以下解題思路：（1）研究函數(shù)圖象本身與 軸的位置關(guān)系問題；（2）研究非水平的動態(tài)直線（定點直線系或者斜率不為0的平行直線系）與固定（動態(tài)）函數(shù)曲線的位置關(guān)系問題；（3）研究動態(tài)曲線與固定（動態(tài)）曲線的位置關(guān)系問題?？偠灾覀儾荒芄袒匮芯磕骋活悊栴}，而要因題而異，辯證施治，采取簡捷有效的解策略。