矩形截面懸臂梁自由端受力三種力學(xué)方法解的對(duì)比*

鄭恒偉　袁玉興　田祖安　丁劍平　杜鵬飛　世嵬

摘要：材料力學(xué)在研究構(gòu)件的應(yīng)力和變形時(shí)通常引入一些相應(yīng)假設(shè)，而彈性力學(xué)研究相應(yīng)問(wèn)題時(shí)一般不必引用那些假設(shè)，因而得出的結(jié)果更為精確。本文主要對(duì)懸臂梁自由端受力的材料力學(xué)解采用彈性力學(xué)方法檢驗(yàn)其精確性，并對(duì)具體算例通過(guò)有限元數(shù)值解進(jìn)一步驗(yàn)證。

關(guān)鍵詞：懸臂梁，材料力學(xué)解，彈性力學(xué)解，有限元數(shù)值解

1、矩形截面懸臂梁自由端受力材料力學(xué)解和彈性力學(xué)解

矩形截面懸臂梁在自由端受有集中荷載F，體力不計(jì)，尺寸如圖所示。其彎曲應(yīng)力σx擠壓應(yīng)力σy和切應(yīng)力xy的材料力學(xué)表達(dá)式分別為[1]

（1）

下面采用彈性力學(xué)的方法檢驗(yàn)上述解是否為本問(wèn)題的精確解，即看上式是否滿(mǎn)足彈性力學(xué)應(yīng)力解法中的平衡微分方程、相容方程和應(yīng)力邊界條件[2]。將式（1）代入應(yīng)力平衡微分方程

2、矩形截面懸臂梁自由端受力材料力學(xué)解和有限元數(shù)值解

本文采用具體算例比較矩形截面懸臂梁自由端受力最大彎曲應(yīng)力值的材料力學(xué)解和Ansys有限元軟件數(shù)值解。如圖1所示，這里取梁長(zhǎng)l=100mm，截面為正方形且h=10mm，F(xiàn)=100N，下面給出Ansys計(jì)算出的梁彎曲正應(yīng)力云圖，如圖2所示。

3、結(jié)論

本文主要對(duì)矩形截面懸臂梁自由端受集中載荷作用時(shí)應(yīng)力的材料力學(xué)解、彈性力學(xué)解和有限元數(shù)值解進(jìn)行驗(yàn)證和對(duì)比，得到材料力學(xué)的解亦滿(mǎn)足彈力力學(xué)應(yīng)力解法正確解的條件，亦與有限元數(shù)值計(jì)算結(jié)果相等，這說(shuō)明此構(gòu)件應(yīng)力的材料力學(xué)解是其精確解。

參考文獻(xiàn)：

[1] 茍文選， 材料力學(xué)教與學(xué). 北京：高等教育出版社， 2013， p152-153.

[2] 徐芝綸， 彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程. 北京：高等教育出版社， 2013.endprint