由一道數(shù)列極限題的求解引發(fā)對(duì)海涅定理的思考

劉功偉　岳紅云

【摘要】 首先分析一道數(shù)列極限的兩種解法，并指出其中一種是錯(cuò)誤的，進(jìn)而指出聯(lián)系函數(shù)極限與數(shù)列極限的重要紐帶—海涅定理。最后通過(guò)實(shí)例介紹海涅定理在極限的判斷及求解中應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】海涅定理 數(shù)列極限 函數(shù)極限

【中圖分類號(hào)】 O171

一、引例

上述兩種方法中都用到了 的最小正周期為 。初學(xué)者可能認(rèn)為此兩種方法都沒(méi)有是沒(méi)問(wèn)題，從而得到兩個(gè)相互矛盾的結(jié)論，但是方法二中最后一步判定極限不存在是錯(cuò)誤的，因?yàn)檎`用了函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系—海涅定理。

二、海涅定理及推論

數(shù)列極限和函數(shù)極限是分別獨(dú)立定義的，但是兩者又是緊密聯(lián)系的，其聯(lián)系的紐帶就是海涅定理，也稱歸結(jié)原則。

定理 （ 海涅定理） 設(shè) 在 內(nèi)有定義。 存在的充分必要條件為：對(duì)于任何含于 且以 為極限的數(shù)列 ，極限 都存在且相等。

注：該定理對(duì)于 等情形都成立。

推論1 若存在某個(gè)數(shù)列 ，而數(shù)列 不存在極限，則函數(shù) 在 處也不存在極限。

推論2 若存在兩個(gè)數(shù)列 ，且 與 ，分別有 則函數(shù) 在 也不存在極限。

推論3 函數(shù) 在 內(nèi)無(wú)界等價(jià)于存在數(shù)列 ， 使得 。

如果函數(shù)在某一點(diǎn)的極限存在，那么由海涅定理對(duì)于收斂于這一點(diǎn)的任何子序列所對(duì)應(yīng)的函數(shù)序列必收斂到同一極限，但是一旦函數(shù)在某一點(diǎn)的極限不存在，收斂于這一點(diǎn)的子序列對(duì)應(yīng)的函數(shù)序列就有可能出現(xiàn)各種性態(tài)，甚至也可能是收斂的。比如極限 不存在，但是子函數(shù)列 。引例中的方法二就是典型的一個(gè)錯(cuò)誤，是沒(méi)有理論根據(jù)的，最后一步作為函數(shù)列而言其極限可能是存在的。

三、海涅定理的應(yīng)用舉例

3.1 利用函數(shù)性質(zhì)及海涅定理求數(shù)列極限

對(duì)于求數(shù)列的極限，有時(shí)直接求不好求，此時(shí)可先求與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)的極限，比如常見(jiàn)的三角函數(shù)的數(shù)列極限、帶積分的數(shù)列極限等。

例1 求極限

解 由洛必達(dá)法則得 所以由海涅定理知原式=1。

3.2 證明函數(shù)極限不存在

推論1、推論2為我們證明某些函數(shù)極限不存在提供了行之有效的方法。

例 2 證明極限 不存在。

解 取 ，符合推論2的條件，故此極限不存在。

3.3 判斷函數(shù)在某點(diǎn)的可導(dǎo)性

利用海涅定理，可求出函數(shù)差、商的極限，從而判斷函數(shù)在某點(diǎn)的可導(dǎo)性。

例 3 證明函數(shù) 在原點(diǎn)可導(dǎo)，而在其他

點(diǎn)不可導(dǎo)。

證明 因?yàn)?，即 在原點(diǎn)處可導(dǎo)且 當(dāng) 時(shí)，設(shè)有理序列 無(wú)理序列 于是當(dāng) 為非零有理數(shù)時(shí)

而 ， 由海涅定理可知， 在非零有理點(diǎn) 不可導(dǎo)；同理可證 在無(wú)理點(diǎn) 處也不可導(dǎo)， 因而命題得證。

3.4 利用海涅定理對(duì)函數(shù)極限的運(yùn)算法則、判斷定理等相關(guān)性質(zhì)的證明

若已知數(shù)列極限的運(yùn)算法則、判斷定理等相關(guān)性質(zhì)，則可利用海涅定理將函數(shù)轉(zhuǎn)化為數(shù)列來(lái)證明。我們僅舉一例，其它可以類似證明。

例 4 若極限 的存在，則此極限唯一。

證明 設(shè) 都是 的極限，作數(shù)列 且 ，由海涅定理知 ，由數(shù)列極限的唯一性知

四 結(jié)束語(yǔ)

以上是對(duì)海涅定理及應(yīng)用的一些總結(jié)，它給我們提供了在求解數(shù)列極限和函數(shù)極限問(wèn)題中一種轉(zhuǎn)換的思想，并指出運(yùn)用海涅定理時(shí)需注意的問(wèn)題。海涅定理適用范圍遠(yuǎn)不止于此，比如在判斷級(jí)數(shù)的斂散性中的作用等 ， 海涅定理在實(shí)變函數(shù)和泛函分析中的作用 。海涅定理還有許多作用需要我們?cè)诠ぷ骱蛯W(xué)習(xí)中挖掘和整理，實(shí)現(xiàn)對(duì)定理的全面、深刻的理解，以期在求解問(wèn)題時(shí)達(dá)到事半功倍的效果。

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