高中數(shù)學(xué)有關(guān)函數(shù)學(xué)習(xí)的易錯問題研究

莊濤濤

摘要：函數(shù)是高中數(shù)學(xué)課程的主線之一，是貫穿了高中數(shù)學(xué)的重中之重，它與高中數(shù)學(xué)的其他主線息息相關(guān)，密不可分。由于函數(shù)具有高度抽象性，對于剛?cè)敫咭坏膶W(xué)生而言，在學(xué)習(xí)的過程中，不可避免的出現(xiàn)錯誤。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)，易錯問題；函數(shù)

【中圖分類號】G633.6

為了幫助學(xué)生盡快適應(yīng)高中數(shù)學(xué)，本文分析了高中函數(shù)學(xué)習(xí)過程中學(xué)生易犯的錯誤，這些錯誤很可能是大多數(shù)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中都會經(jīng)歷的，同時也是老師在教學(xué)中容易忽略的。

張奠宙先生在他的《數(shù)學(xué)教育的中國道路》一文中，論述學(xué)科知識（SK）和教學(xué)知識（PK）的關(guān)系時寫道：“中國數(shù)學(xué)教育歷來關(guān)注教材教法的整體研究。”[1]這和西方 L.Schulman 教授提出的‘教學(xué)內(nèi)容知識（PCK）理論是一致的。因此，認識數(shù)學(xué)易錯問題對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重要性，對高中生數(shù)學(xué)易錯問題進行分類，對學(xué)生容易出錯的問題進行總結(jié)，從而減少高中生做錯題是有重大意義的。

一、合理分類，正確歸因

對學(xué)習(xí)過程中出現(xiàn)的錯誤分類研究國內(nèi)外已有不少。戴再平、羅增儒主要從認知的角度把學(xué)生的解題錯誤分為四類：①知識性錯誤；②邏輯性錯誤；③策略性錯誤；④心理性錯誤。[2]這種分類比較全面，也為一般的研究者所廣泛使用。由于產(chǎn)生錯誤的原因的復(fù)雜性和錯誤的表現(xiàn)形式的多樣性，因此按不同的標準，可以對錯誤作出不同的分類”。按個體發(fā)生解題錯誤的頻發(fā)程度，可以把解題錯誤分為一貫性錯誤和偶然性錯誤；按群體發(fā)生解題錯誤的范圍大小，可以分為普遍性錯誤與個別性錯誤。[3]按照錯誤性質(zhì)的不同，可以分為合理性錯誤與非合理性錯誤兩種類型。[4]從錯誤的形成原因來看，可分為主觀性錯誤與非主觀性錯誤。[4]

本文選取戴再平、羅增儒關(guān)于數(shù)學(xué)解題錯誤的分類框架。戴再平、羅增儒主要從學(xué)生認知的角度把學(xué)生的數(shù)學(xué)解題錯誤分為以下四類：

1.知識性錯誤：

這里主要指解題者由于數(shù)學(xué)知識上的缺陷與不足所造成的各種錯誤。如不能正確理解題意（包括誤解題意）、概念（性質(zhì)）混淆、忽視公式、定理成立的條件（比如，公式法則的誤用，以及定理的錯用），等等。

2.邏輯性錯誤：

違反基本邏輯規(guī)則所產(chǎn)生的推理與論證錯誤。常見的邏輯性錯誤的主要表現(xiàn)有：虛假論據(jù)、偷換概念、不能推出、循環(huán)論證、分類不當(dāng)、不等價變換。同時，邏輯性錯誤也常常表現(xiàn)為四種命題混淆、充要條件的錯亂、反正法反設(shè)不真，等等。

3.策略性錯誤：

由于解題方向上的偏差，造成思路受阻或解題長度過大”。有些解題方法或解題思路雖沒有數(shù)學(xué)錯誤，但解題過程過于曲折隱晦，或存在思維回路等，導(dǎo)致整個解題過程費時費力，且易于出錯。

4.心理性錯誤

這里指解題者雖然具備了解決問題的必要數(shù)學(xué)知識與基本技能，但由于某些心理原因而產(chǎn)生的各種解題錯誤。

二、舉例論證，提出建議

在確定分類框架后，筆者查閱了近年來各地數(shù)學(xué)的高考題、模擬題、調(diào)研考試題，并針對每一類錯誤，選取了代表性的例題進行分析說明。

1.知識性錯誤：

（2013山東濟南高一年級調(diào)研考試）

已知 定義域為 求下列函數(shù)定義域：

① ② ③

①錯解：

∵ 定義域為 ，∴ ，∴ ，∴ 定義域是

②錯解：

定義域是 ，∴ 。∴

分析：

1.未能充分理解函數(shù)概念的本質(zhì)，對函數(shù)理解僅僅停留在表面。

函數(shù)的定義域是自變量 的取值范圍，也就是指能使函數(shù)式有意義的 的所有實數(shù)的 構(gòu)成的集合。

2.缺乏對符號“ ”的深入理解。

是“ 是 的函數(shù)”的數(shù)學(xué)表示，應(yīng)理解為： 是自變量，也就是對應(yīng)法則 所操作、施加變換的量。

解決方法：

1.解析概念，強調(diào)核心要素

函數(shù)的三要素是定義域、對應(yīng)法則、值域。教師需要強調(diào)：函數(shù)的定義域指的是“自變量”（ ，或 等等，與符號無關(guān)）可取的范圍的集合，而不是對應(yīng)法則所作用的括號內(nèi)的整體的取值范圍。

2.多舉實例，逐步建構(gòu)概念

由于函數(shù)概念具有高度抽象性，因此可以多舉具體實例，讓學(xué)生在實例中體會求解有關(guān)函數(shù)的問題。

2.邏輯性錯誤

（2013江西吉安模擬題）

已知函數(shù)

①若 的值域為R，求實數(shù) 的取值范圍；

②若 的定義域為R，求實數(shù) 的取值范圍；

①錯解：∵ 值域為R，由對數(shù)函數(shù)圖像性質(zhì)可知，若要滿足值域為 ，則真數(shù)部分， 恒成立，

∴

解得 的范圍是

②錯解： 的定義域為 意味著對于任意的 ， 都是有意義的，即對于任意的 ， 的值恒為正，∴

解得 的取值范圍是

分析：

第一問的錯誤之處是： 的值域為R推出真數(shù)部分 恒成立進而得到 屬于邏輯錯誤。事實上，當(dāng) 的值域為R，真數(shù)部分必須遍歷 的每一個實數(shù)，僅僅要求 是不夠的。第二問的錯誤解在于，沒有經(jīng)過討論就想當(dāng)然的認為 是一個二次函數(shù)，忽略了對 時的討論，屬于邏輯不嚴密。

解決方法：

1、強調(diào)推理論證的嚴密性。強調(diào)當(dāng)函數(shù)中含有未知參數(shù)時，謹記對函數(shù)類型的討論

2、讓學(xué)生理解“當(dāng) ，作為真數(shù)部分的‘ 的值域為 ，則 ”是有一定困難的，因為有學(xué)生會認為 時，真數(shù)部分會出現(xiàn)負數(shù)，這時對數(shù)無意義。為了使學(xué)生理解這點，可舉例具體函數(shù)說明。

3.策略性錯誤

（2013陜西漢中調(diào)研考試）

已知函數(shù) ，求

解法一：（配湊法）

，∴

于是

解法二：（換元法）

設(shè) ，則 ，于是

， ，于是

解法三：（代入法）

，

分析：

本題給出了三種解題方法，三種方法各有特點：

配湊法需要一定技巧，需要學(xué)生可以觀察出規(guī)律進行配湊。

換元法具有一般性，可以解決所有類似的問題，但是需要強調(diào)換元法換元后要注意新變量的取值范圍。有時換元法可以與配湊法并用。

代入法同配湊法有類似的地方，都需要注意到新變量和舊變量之間的關(guān)系、規(guī)律。

教師應(yīng)注意總結(jié)三種方法的規(guī)律，讓同學(xué)在練習(xí)中自己體會三種方法各自的優(yōu)劣，尋找最優(yōu)解題策略。

參考文獻

[1]張奠宙. 數(shù)學(xué)教育的中國道路[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊， 2012， （1）.

[2]羅增儒. 數(shù)學(xué)高考答題失誤的研究[J]. 數(shù)學(xué)通報， 1997， （2）.

[3]戴再平.數(shù)學(xué)習(xí)題理論[M].上海：上海教育出版社， 2002.

[4]韓華球. 錯誤：一筆重要的教學(xué)資源[J]. 課程：教材， 2005， （3）.endprint