“微探究”為數(shù)學(xué)課堂增彩以“直線與圓的位置關(guān)系”第二課時(shí)為例

賈高翔

摘要：在新課程標(biāo)準(zhǔn)下，探究式教學(xué)成為數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要方式。但是在實(shí)際教學(xué)中，探究式教學(xué)活動(dòng)很難在數(shù)學(xué)課堂中完整展現(xiàn)，達(dá)不到促進(jìn)學(xué)生自主探究能力的發(fā)展和合作性的學(xué)習(xí)，容易把教師帶入誤區(qū)，忽視教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)。為了更好地把探究式教學(xué)應(yīng)用到數(shù)學(xué)課堂，學(xué)者們提出了“微探究”。本文通過評(píng)述“微探究”的一個(gè)案例來講述“微探究”在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

關(guān)鍵字：探究式教學(xué) “微探究 ” 數(shù)學(xué)教學(xué)

一“微探究”的相關(guān)背景

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011版）指出：學(xué)生學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的，主動(dòng)的和富有個(gè)性的學(xué)習(xí)。除接受學(xué)習(xí)外，動(dòng)手實(shí)踐，自主探究與合作交流同樣是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。學(xué)生應(yīng)當(dāng)有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷觀察，實(shí)驗(yàn)，猜測(cè)，計(jì)算，推理，驗(yàn)證等活動(dòng)的過程。因此傳統(tǒng)的以教師為主導(dǎo)和主體的灌輸式教學(xué)不能滿足現(xiàn)在的數(shù)學(xué)課堂標(biāo)準(zhǔn)，為了在熟練掌握知識(shí)下還能體現(xiàn)學(xué)生的主體性以及發(fā)展學(xué)生的發(fā)現(xiàn)問題和提出問題、分析問題和解決問題的能力，我們倡導(dǎo)在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中引入探究式教學(xué)。探究式教學(xué)是指在教學(xué)過程中，學(xué)生在老師的幫助下，通過學(xué)生自己的探究和小組的合作對(duì)當(dāng)前教學(xué)內(nèi)容中的主要知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行自主的理解，學(xué)習(xí)和探究，從而更好地達(dá)到課程標(biāo)準(zhǔn)中關(guān)于知識(shí)與技能目標(biāo)和情感目標(biāo)要求的一種教學(xué)模式。但是，通過對(duì)課堂教學(xué)的觀察，我們發(fā)現(xiàn)探究式教學(xué)過于籠統(tǒng)，教師無法真正地理解什么才是探究式教學(xué)，往往走入教學(xué)誤區(qū)。

例如，在學(xué)習(xí)完全平方展開式的時(shí)候，有的老師為了使用探究式教學(xué)，他會(huì)告訴學(xué)生（a + b） =a +b +2ab，然后讓學(xué)生用具體的數(shù)字去探究這個(gè)式子是否正確。在這個(gè)教學(xué)過程中我們的探究是沒有意義的，老師只是為了探究而探究，忽視了教學(xué)內(nèi)容，本節(jié)課的教學(xué)應(yīng)該是讓學(xué)生了解完全平方式的展開式是什么，怎么去證明。類似于這樣的教學(xué)有很多，通過對(duì)以往教學(xué)的反思，為了有效地使用探究模式，我們覺得老師在探究中的引導(dǎo)也是非常重要的。著名心理學(xué)家維果斯基提出的“最鄰近發(fā)展區(qū)”理論認(rèn)為，兒童解決問題的實(shí)際發(fā)展水平和在教師指導(dǎo)下解決問題的潛在水平之間是有差距的，那么兒童如果想要發(fā)展到潛在水平是需要老師的幫助的，但是老師的指引和幫助是需要把握一個(gè)度的，因此優(yōu)秀的教師想到了探究式教學(xué)和支架式教學(xué)可以結(jié)合起來，提出了“微探究”，縮小了探究式教學(xué)的范圍。

“微探究”是指是根據(jù)教學(xué)內(nèi)容，圍繞某個(gè)小知識(shí)點(diǎn)或某一問題，選好合適的探究點(diǎn)，從一堂課中拿出5～10分鐘，在教師的組織、引導(dǎo)下，讓學(xué)生用自我探究或合作交流的方式學(xué)習(xí)?！拔⑻骄俊苯虒W(xué)具有小巧、靈活、用時(shí)少、便于操作的特點(diǎn)，它作為探究式教學(xué)模式的一種，為數(shù)學(xué)課堂探究教學(xué)找到了一種有效地實(shí)施途徑。

微探究活動(dòng)以學(xué)生為本，它能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，以某個(gè)知識(shí)點(diǎn)引入，引導(dǎo)學(xué)生積極思考主動(dòng)地發(fā)現(xiàn)問題，培養(yǎng)思考的習(xí)慣，形成數(shù)學(xué)能力的作用。下面將引入具體案例來表現(xiàn)“微探究”在數(shù)學(xué)課堂中是怎么產(chǎn)生作用的。

二“微探究”的具體案例

在數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)“直線與圓的位置關(guān)系”第二課時(shí)的教學(xué)中，我們這節(jié)課的教學(xué)目的是讓學(xué)生掌握判斷直線與圓位置關(guān)系的方法。

1. 制造矛盾，打開探究之門

師：今天我們學(xué)習(xí)“直線與圓的位置關(guān)系”的第二節(jié)課，在上課之前，一分鐘的時(shí)間你們先畫畫圖，看一看直線與圓有幾種位置關(guān)系？（接下來同學(xué)們?cè)诋媹D，老師在教室里走動(dòng)觀察學(xué)生們的畫圖情況）

師：時(shí)間到了，請(qǐng)同學(xué)們停筆看黑板，我發(fā)現(xiàn)咱們同學(xué)畫有三種類型的圖：

師：同學(xué)們看第一個(gè)圖，直線與圓明顯有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線與圓是相交；第二幅圖，直線與圓沒有交點(diǎn)，直線與圓相離；那看第三幅圖，我們知道直線與圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)是相切，可是這幅圖中直線與圓有幾個(gè)交點(diǎn)，直線與圓是什么關(guān)系？

生1：明顯看出來，有一個(gè)交點(diǎn)，是相切。

生2：不對(duì)，直線與圓有很多重疊部分，也許會(huì)有很多交點(diǎn)，是相交。

師：現(xiàn)在我們分為了兩派，有一個(gè)交點(diǎn)，有很多交點(diǎn)，到底有幾個(gè)交點(diǎn)我們不能口說無憑，要有證據(jù)，你們有什么好的方法可以證明嗎？

生：沉默。

【分析】老師讓學(xué)生根據(jù)已經(jīng)知道的知識(shí)點(diǎn)畫圖并觀察圖，通過老師敘述的方式讓學(xué)生先鞏固已學(xué)到的知識(shí)，然后通過老師的提問制造直觀上的矛盾，激發(fā)了學(xué)生的興趣，是學(xué)生步入了探究之門。

2.陳題再現(xiàn)，實(shí)行微探究之路

師：那同學(xué)們知道直線是由什么組成的嗎？

生：直線有點(diǎn)組成的。

師：那同學(xué)們知道點(diǎn)與圓的關(guān)系嗎？有幾種關(guān)系？怎么判斷？

生：有三種，在圓外，在圓內(nèi)，在圓上。

師：那是根據(jù)什么的依據(jù)來判斷的呢？

生：根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離d和半徑r來判斷的

d>r，點(diǎn)在圓外

d=r，點(diǎn)在圓上

d

師：你們知道了點(diǎn)與圓的判斷依據(jù)了，那你們畫畫圖想一想“直線與圓的位置關(guān)系”是否與“點(diǎn)與圓的位置關(guān)系”一樣，具有某種數(shù)量關(guān)系呢？

【分析】當(dāng)學(xué)生處于迷茫的狀態(tài)時(shí)，老師沒有直接告訴同學(xué)們答案，而是問學(xué)生直線的本質(zhì)，把直線分成無數(shù)個(gè)點(diǎn)，而學(xué)生以往做過的題目是點(diǎn)與圓的關(guān)系，從而老師逐步引導(dǎo)學(xué)生，使學(xué)生找到了探究的道路。

3.舊題新知，把握微探究方向

生：是不是判斷直線上的點(diǎn)到圓心的距離d和半徑r的比較呢？

師：你可以畫畫看哦，看是不是和你想的一樣。

生：畫圖如下

生：直線上有好多點(diǎn)，到圓心的距離都不一樣，不能用直線上的任意點(diǎn)到圓心的距離判斷。

【分析】學(xué)生知道直線是有點(diǎn)組成的，在老師的指引下學(xué)生也想到了用直線上的點(diǎn)到圓心的距離判斷，此時(shí)老師沒有下結(jié)論，而是讓學(xué)生畫圖自己去觀察，自己探究，進(jìn)而學(xué)生得出了結(jié)論，用直線上任一點(diǎn)到圓心的距離是無法判斷的。

4.去糟求精，直至問題靶心

師：既然不能用直線上任意的點(diǎn)，那就觀察你們所畫的圖，直線上所有的點(diǎn)到圓心的距離有什么規(guī)律嗎嗎，所有點(diǎn)到圓心的距離都是不一樣的嗎？有沒有距離相等的點(diǎn)??？

生：有，因?yàn)閺闹本€的一端開始畫線段，線段會(huì)逐漸減小，會(huì)有一個(gè)最小的，然后再逐漸變大。

師：非常好！你們現(xiàn)在再想想，既然不能從直線上任意一點(diǎn)到圓心的距離測(cè)量，那用什么測(cè)量呢？

生：用直線上的點(diǎn)到圓心的最短線段來判斷。

師：什么是最短線段？

生：最短線段就是過圓心向直線做的垂線段，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離當(dāng)中，垂線段最短。

師：好，那你們?cè)佼媹D看看，垂線段能不能判斷直線與圓的關(guān)系

生：畫圖如下

師：那你們能不能試著解釋一下，垂線段和半徑是怎么判斷直線與圓的關(guān)系的？

生：垂線段d是最短的，如果垂線段小于半徑的話，那么通過觀察圖可知在直線上肯定還存在兩個(gè)點(diǎn)到圓心的距離會(huì)等于半徑，到圓心的距離等于半徑的點(diǎn)肯定在圓上，所以這兩個(gè)點(diǎn)即在圓上又在直線上也就時(shí)直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)，那么直線與圓就是相交關(guān)系。同理，垂線段大于半徑的話，直線與圓相離，垂線段等于半徑的話，直線與圓相切。

師：好，這位同學(xué)給了明確的解釋，那你們?cè)儆^察圖形看看這個(gè)解釋到底能不能判斷直線與圓的位置關(guān)系。

生：能。

師：那我們來共同總結(jié)一下，判斷直線與圓位置關(guān)系的方法。過圓心作直線的垂線段d，當(dāng)dr時(shí)直線與圓相離；當(dāng)d=r時(shí)直線與圓相切。（老師板書在黑板上）

【分析】在此過程中學(xué)生已經(jīng)知道了要用什么方法去解決問題了，但在探究的過程中會(huì)出現(xiàn)一些岔口，讓學(xué)生找不到正確的道路，此時(shí)老師站到了學(xué)生的角度，理解了學(xué)生心里想的是什么，缺的是什么，然后提出了一個(gè)問題，恰好是學(xué)生應(yīng)該想到，讓學(xué)生從過去相似的知識(shí)點(diǎn)中猜想可能行得通的方法，并自然而然地通過自己的探究找到了解決問題的方法。

三案例的評(píng)述與反思

我們知道傳統(tǒng)的教學(xué)方法只注重教師的主導(dǎo)作用而忽視了學(xué)生的主體性，所以我們倡導(dǎo)探究教學(xué)法的應(yīng)用，可是我們同樣也知道要想在實(shí)際課堂當(dāng)中完完整整地讓學(xué)生去探究學(xué)習(xí)是無法實(shí)施的，那么支架式教學(xué)和探究教學(xué)互相融合起來的“微探究”教學(xué)就是教師們首選的教學(xué)方式了。

1.顯著成效.

（1） 發(fā)展學(xué)生個(gè)人探究、猜想、推理的能力，減少對(duì)同伴、老師的依賴。

本節(jié)課教會(huì)了學(xué)生從直觀上看到的知識(shí)不一定是正確的。要找到證明知識(shí)正確與否的方法，學(xué)生要學(xué)會(huì)從已知的知識(shí)點(diǎn)中通過自主的探究猜想中，找到可行的方法，再通過驗(yàn)證得出結(jié)論。這樣就培養(yǎng)了學(xué)生獨(dú)立思考的習(xí)慣，逐漸地改善學(xué)生一遇到問題就問同學(xué)，老師的現(xiàn)象。另外，老師創(chuàng)造了探究性的情景，為學(xué)生探究性的學(xué)習(xí)提供了機(jī)會(huì)，調(diào)動(dòng)的學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動(dòng)性，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，促進(jìn)了學(xué)生的思維活動(dòng)和發(fā)展。

（2） 引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成動(dòng)手畫圖的習(xí)慣，熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想

在數(shù)學(xué)課的學(xué)習(xí)當(dāng)中，經(jīng)常會(huì)遇到通過畫圖來解決問題的方法，可是在教學(xué)過程中，畫圖這一步驟都是有老師來代替的，時(shí)間一長學(xué)生在自己做題當(dāng)中就會(huì)忽視畫圖的重要性，為改善此狀況，本節(jié)課中所有的畫圖過程都是老師在引導(dǎo)，學(xué)生在畫圖，讓學(xué)生了解畫圖是幫助我們解題的有效途徑，掌握數(shù)形結(jié)合思想，同時(shí)這個(gè)老師始終記住自己是個(gè)引導(dǎo)者，在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候給學(xué)生合理的提示，充分體現(xiàn)了學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的主體性，真正發(fā)展了學(xué)生的思維與能力。

（3） 減少探究的時(shí)間，為學(xué)生提供更多的探究機(jī)會(huì)

基本的探究活動(dòng)總是需要老師課前設(shè)計(jì)好活動(dòng)方案，把學(xué)生分組，每個(gè)小組都要有規(guī)范的探究過程，有時(shí)還會(huì)需要一些特殊的工具，這都需要花費(fèi)大量的時(shí)間和精力，另外，并不能保證每個(gè)小組的同學(xué)都能學(xué)到課程目標(biāo)要求學(xué)到的知識(shí)。所以在實(shí)際教學(xué)中，老師往往是不敢嘗試的。而“微探究”根據(jù)我們實(shí)際課堂的時(shí)間和高考制度背景下，以靈活寬松的方式引入課堂，隨時(shí)隨地都可以進(jìn)行探究，大大縮短了探究的時(shí)間，因此為學(xué)生在課堂中提供了更多的探究機(jī)會(huì)。

2.不足之處

雖然“微探究”在課堂上使用起來方便，但對(duì)老師的要求非常高，老師不僅要有扎實(shí)的專業(yè)基礎(chǔ)，靈活的教學(xué)技巧還要深入地了解學(xué)生，掌握學(xué)生可能出現(xiàn)的各種狀況。另外，“微探究”與探究活動(dòng)比起來用時(shí)較少，但與傳統(tǒng)教學(xué)比起來，課堂教學(xué)容量偏少，很有可能滿足不了好學(xué)生的“胃口”。最后，老師的提示下，學(xué)習(xí)程度好的學(xué)生會(huì)積極的回答，程度差的學(xué)生老師顧忌不到，因此在教學(xué)上沒有關(guān)注到全部的學(xué)生?？傊蠋熞胧炀氂行У厥褂谩拔⑻骄俊?， 需要付出很大的精力。探究學(xué)習(xí)是一種動(dòng)態(tài)的過程，教師唯有摒棄浮華、彰顯真實(shí)，才能讓每一次探究都能探出“有效”，探出“精彩”。

參考文獻(xiàn)

[1]顧大全.“微探究”為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)增色[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2014，4：6-9.

[2]楊林軍. 高中數(shù)學(xué)教學(xué)中微探究的實(shí)踐與思考[J].考試周刊，2014，2：51-54.

[3]鄭麗娟.利用“微探究”提升初中數(shù)學(xué)幾何定理教學(xué)的有效性[J].數(shù)學(xué)探討，2013，8（6）.

[4]中華人民共和國教育部.《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》.

[5]岳欣云，董宏建.探究式教學(xué)的“扶”、“放”之度與層次性-由一則小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)案例引發(fā)的思考[J]. 課程·教材·教法，2013，7（33）.

[6]許云鳳.探究式教學(xué)與傳授式教學(xué)辨析[J].教育探索，2006（7）.