如何解二次函數(shù)問題

蔣七耀

【摘要】<正>二次函數(shù)問題是初中數(shù)學(xué)競賽中十分常見的一類問題.解這類問題時所用的專門知識并不多，但因綜合性、靈活性強(qiáng)，有些題目的難度較大（如：含字母參數(shù)問題與最值問題）.本文擬通過二次函數(shù)問題的四種主要題型的解題研究，揭示二次函數(shù)問題的一般解題規(guī)律：從基礎(chǔ)知識出發(fā)

關(guān)鍵詞：二次函數(shù)、對稱軸

【中圖分類號】：G633.6

摘要二次函數(shù)是初中代數(shù)的一個重要知識點，在歷年中考試題中起著舉足輕重的作用。本文就二次函數(shù)中有關(guān)問題作一些解題探討。

一、 通過圖象確定系數(shù)的正負(fù)

的圖象是拋物線。如果已知拋物線在直角坐標(biāo)系中的位置，如何解決 等代數(shù)式的大小呢？

方法：

①開口方向由 來決定：開口向上， ；開口向下， 。

②對稱軸由 決定：“左同右異”，即對稱軸在 軸左側(cè)，則 同號；對稱軸在 軸右側(cè)，則 異號。

③拋物線與 軸的交點由 決定：交點在 軸上方，則 ；交點在 軸下方，則 ；通過原點，則 。

④拋物線與 軸的交點個數(shù)由 來決定：當(dāng) 時，則拋物線與 軸有兩個交點；當(dāng) 時，則拋物線與 軸無交點；當(dāng) 時，則拋物線與 軸只有一個交點。

⑤當(dāng)出現(xiàn)如求代數(shù)式 ， ， 的值。一般只需看 時 的值。

例題（1）

二次函數(shù) 的圖象如圖所示，則

解答：開口向下，則 ；對稱軸在 軸左側(cè)，“左同”，則 ；拋物線與 軸的交點在 軸下方，則 ；拋物線與 軸有兩個交點，則 ；當(dāng) 時， ，則 .

例題（2）

如圖為 與 的圖象，那一個是正確的？

AB

CD

解答：A中圖象二次函數(shù) ，一次函數(shù) ，不成立；

B中圖象二次函數(shù) 、 ，一次函數(shù) 、 ，不成立；

C中圖象二次函數(shù) 、 ，一次函數(shù) 、 ，不成立；

D中圖象二次函數(shù) 、 ，一次函數(shù) 、 ，成立.

二、 求二次函數(shù)解析式

二次函數(shù)解析式有三種表示方法，分別是一般式 ，頂點式 ，交點式 。我們要根據(jù)不同的已知條件盡可能選擇較為簡單的設(shè)法。

（1）已知條件中出現(xiàn)沒有規(guī)律的三點坐標(biāo)，通常用一般式來解決。

例題（3）

已知二次函數(shù)圖象通過 ，求二次函數(shù)解析式.

解答：出現(xiàn)的三點沒有規(guī)律，宜用一般式來求解析式。

設(shè)解析式為 .

，解得 ，

∴二次函數(shù)解析式為 .

（2）已知條件中出現(xiàn)頂點或最值、對稱軸坐標(biāo)，通常用頂點式來解決。

例題（4）

已知二次函數(shù)圖象通過 ，且頂點為 ，求二次函數(shù)解析式.

解：設(shè)二次函數(shù)解析式為 ，過 .

則 ，∴ ，

∴ .

例題（5）

已知二次函數(shù)的對稱軸為 ，且經(jīng)過 ，求二次函數(shù)解析式.

解答：設(shè)二次函數(shù)解析式為 .

，解得 ，

∴ .

例題（6）

二次函數(shù)圖象與 軸相交于 ，且經(jīng)過（2，5），求解析式.

解答：設(shè)拋物線解析式為 ，經(jīng)過（2，5）.

則 ，∴ ，

∴ ，

即 .

需要說明的是，一般式 是“萬能鑰匙”，是我們必須掌握的。求二次函數(shù)解析式均可通過一般式來解決，但（4）、（5）.（6）兩種情況用頂點式，交點式則更為簡便。

三、 二次函數(shù)綜合題

二次函數(shù)綜合題一般是指與幾何、方程等相結(jié)合，體現(xiàn)知識點的整合，需要我們通過識圖探索、歸納來解決，具有較高的要求?，F(xiàn)舉一例說明。

如圖， 圖象與 軸相交于A、C，與 軸相交于B，且 ， ，求 .

解題思路：關(guān)鍵在于 的應(yīng)用。本題中隱含條件 ，則圖中存在相似三角形，從而把 、 、 三點坐標(biāo)之間關(guān)系緊密相連。

本題關(guān)鍵在于抓住 這個條件。學(xué)生也要注意 、 、 三點位置，從而才能得出 ，這樣才能避免錯誤產(chǎn)生。endprint