基于隨機振蕩序列離散灰色模型的優(yōu)化

孔新海

（廣安職業(yè)技術(shù)學(xué)院，四川 廣安 638000）

基于隨機振蕩序列離散灰色模型的優(yōu)化

孔新海

（廣安職業(yè)技術(shù)學(xué)院，四川 廣安 638000）

文章探討了隨機振蕩序列灰色建模的問題，分析了兩種具有代表性的基于振蕩序列灰色建模方法，指出了其函數(shù)變換的實質(zhì)以及應(yīng)用范圍?，F(xiàn)有實證給出的建模方法其模型輸出序列呈現(xiàn)出下凸的（除第一點外）和“Z字型”特點。結(jié)合這兩種建模方法的優(yōu)勢，提出了另外兩種數(shù)據(jù)變換方法，即加權(quán)均值平滑變換和級比調(diào)節(jié)平滑變換，實例說明了新的兩種數(shù)據(jù)變換方法能有效地提高建模精度。

隨機振蕩序列；DGM(1，1)模型；平移變換；平滑變換

0 引言

灰色預(yù)測模型是灰色系統(tǒng)理論體系的重要內(nèi)容，針對小樣本數(shù)據(jù)通過累加生成就能有效揭示系統(tǒng)未來發(fā)展趨勢[1]。由于灰色預(yù)測模型對數(shù)據(jù)沒有嚴格的要求和限制，建模過程簡單，受到越來越多學(xué)者重視，各種灰色模型不斷被提出和優(yōu)化，經(jīng)過幾十年的快速發(fā)展，已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟社會各領(lǐng)域，取得了非常好的應(yīng)用效果[2]。但對隨機振蕩序列建立灰色模型進行預(yù)測時，學(xué)者們發(fā)現(xiàn)模型的模擬預(yù)測精度并不甚理想，原因在于灰色預(yù)測模型為指數(shù)形式，具有單調(diào)性，如果由該指數(shù)表達式計算出的模擬序列，其變化規(guī)律自然就不符合原始隨機振蕩序列的特征，導(dǎo)致模擬預(yù)測精度較差。為了拓廣GM(1，1)模型的應(yīng)用范圍，文獻[3]提出了通過加速平移變換將隨機振蕩序列轉(zhuǎn)化為單調(diào)遞增序列，再對單調(diào)遞增序列進行累加均值生成，然后建立GM(1，1)模型。文獻[4]則運用傅立葉級數(shù)修正GM(1，1)模型的殘差，從而提高了振蕩序列的模擬精度。文獻[5]引入了平滑性算子來壓縮隨機振蕩序列振幅以提高建模序列光滑度，并獲得較高的模擬精度。文獻[6]直接根據(jù)振蕩序列的級比序列建立DGM(1，1)模型，進而用來預(yù)測原始序列。文獻[7]通過對振蕩序列的上下界序列分別建立非等間距GM(1，1)模型，得到上下包絡(luò)曲線以描述系統(tǒng)發(fā)展的邊界，采取區(qū)間預(yù)測算法。

通過文獻中的例子佐證，上述函數(shù)變換在某些特定序列下具有較高的模擬精度，但還原精度并不理想。自身光滑性較差是隨機振蕩序列灰色建模精度不高的主要原因，而利用均值生成一些函數(shù)變換在一定程度上是可以提高建模序列的光滑度，但是加權(quán)均值生成并不能實質(zhì)性改進隨機振蕩序列的光滑性且函數(shù)變換也無法從根本上改變隨機振蕩序列的振蕩特征。本文利用平滑性算子可以壓縮序列振幅特點，探索新的函數(shù)變換，以進一步提高灰色建模精度。

1 基本概念

定義 1[3]設(shè)X=(x(1)，x(2)，…，x(n))為一數(shù)據(jù)序列，

1）若?k=2，3，…，n，有 x(k)-x(k-1)＞0，則稱X為單調(diào)增長序列；

2）若?k=2，3，…，n，有 x(k)-x(k-1)＜0，則稱X為單調(diào)衰減序列；

3）若?k，k′∈{2，3，…，n}有 x(k)-x(k-1)＞0 且 x(k′)-x(k′-1)＞0，則稱X為隨機振蕩序列。設(shè) M=max{x(k)｜k=1，2，…，n}，m＝min{x(k)｜k=1，2，…，n}，則稱 T=M-m 為序列X的振幅。

定義2[3]設(shè)隨機振蕩序列為X=(x(1)，x(2)，…，x(n))，則稱

為加速平移變換；稱

為加權(quán)均值生成變換。

定義3[5]設(shè)隨機振蕩序列為X=(x(1)，x(2)，…，x(n))，則稱

為一階平滑變換。

2 現(xiàn)有的兩種建模方法比較

下面比較兩種具有代表性的基于振蕩序列灰色建模方法，所選驗證數(shù)據(jù)分別來源于文獻[3]和文獻[5]，通過交叉驗證來發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

例1 我國 1978—1983 年的人均糧食產(chǎn)量為 X=(637，685，653，654，703，759)[3]，單位：斤。這是一組波動序列。文獻[3]基于變換f1和f2建立GM(1，1)模型，而文獻[5]是基于變換f3建立DGM(1，1)模型，其模擬結(jié)果見表1，擬合曲線如圖1所示。

表1 兩種建模方法結(jié)果對比

圖1 兩種建模方法對例1的擬合曲線

例2 一組振蕩序列 X=(20.3，22.5，16.4，26.6，20.3，28.6)[5]，分別用文獻[3]和文獻[5]中的方法建立灰色預(yù)測模型，其模擬結(jié)果見表2，擬合曲線所圖2所示。

表2 兩種建模方法結(jié)果對比

圖2 兩種建模方法對例2的擬合曲線

根據(jù)上面交叉驗證，我們可以得到以下結(jié)論：

1）文獻[3]建模方法得出的擬合曲線是下凸的（除了第一點外），所以不適合用于一般振蕩序列的預(yù)測；

2）文獻[5]建模方法得出的擬合曲線具有“Z字型”特點，這里把能夠適用于“Z字型”特性的原始序列預(yù)測，稱之為嚴格振蕩數(shù)據(jù)序列預(yù)測；

3）對于毫無規(guī)律的振蕩數(shù)據(jù)序列，建議采用區(qū)間包絡(luò)法[7]或縮小級比偏差法[8]。

3 原因分析

文獻[3]通過對原始振蕩序列先進行加速平移變換，再進行加權(quán)均值生成變換，最后建立GM(1，1)模型，然后還原就得到模擬預(yù)測序列。這種建模的特點是把原始振蕩序列轉(zhuǎn)換成單調(diào)遞增序列，再用累加均值化來弱化快速增長序列，其建模序列為

這就說明了原始振蕩序列經(jīng)兩次變換之后成了累加均值序列與加速序列之和，看起來像是指數(shù)化了，但也提高了序列的增長率，級比偏差拉大，導(dǎo)致GM(1，1)建模誤差過大，從而模擬序列成近似指數(shù)型（除第一點外）。

文獻[5]運用一階平滑變換對隨機振蕩序列進行均值弱化，然后建立DGM(1，1)模型，其建模序列為

這里 z(k)=0.5(x(k)+x(k+1))，其中Z=(z(1)，z(2)，…，z(n-1))為原始序列的緊鄰均值序列。由此可知，文獻[5]針對嚴格振蕩序列建模能夠具有較高精度的本質(zhì)不在于平移了T和振幅壓縮了T/2，關(guān)鍵在于一階平滑算式，即相鄰數(shù)據(jù)之和弱化了隨機性。

其實，平滑變換(3)式中的分母可以是任意正數(shù)，而DGM(1，1)模型[9]的模擬與預(yù)測效果保持不變。這是因為

其中M是一個常數(shù)，且M＞0。文獻[10]已證離散灰色模型經(jīng)數(shù)乘變換不會改變模擬相對誤差，雖然能縮小數(shù)據(jù)的量級，但不會改變模型的模擬與預(yù)測效果。

4 基于隨機振蕩序列DGM(1，1)建模的優(yōu)化

由上面的分析，下面給出兩種改進的變換算式：一種叫加權(quán)均值平滑變換；另一種叫級比調(diào)節(jié)平滑變換。

定義4 設(shè)隨機振蕩序列為X=(x(1)，x(2)，…，x(n))，則稱

為加權(quán)均值平滑變換。

定義5 設(shè)隨機振蕩序列為X=(x(1)，x(2)，…，x(n))，則稱

為級比調(diào)節(jié)平滑變換，這里要求k+c＞0，α∈R，c為平移參數(shù)，α為形狀參數(shù)。對于參數(shù)c，α，可以采用二分法枚舉，直到DGM(1，1)建模精度在允許范圍之內(nèi)。

由于直接對隨機振蕩序列建立的灰色預(yù)測模型精度較差而隨機振蕩序列的平滑序列具有較好的光滑性，因此，利用（4）式或（5）式對原始數(shù)據(jù)序列進行平滑變換處理，再構(gòu)建變換序列的DGM(1，1)模型，最后進行逆變換。設(shè)數(shù)據(jù)序列 X(0)=(x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n+1))，其變換序列為 Y(0)=(y(0)(1)，y(0)(2)，…，y(0)(n+1))。對序列 Y(0)建立 DGM(1，1)模型：

根據(jù)最小二乘法，可估計出[β1，β2]T=(BTB)-1BTY，其中

對(7)式進行累減還原，得到變換序列的模擬預(yù)測值

最后就(8)式進行逆變換，可得原始序列的模擬預(yù)測值

5 算例分析

下面還是以文獻[5]中的序列 X=(20.3，22.5，16.4，26.6，20.3，28.6)為例，分別用上面加權(quán)均值平滑變換f4（本文方法一）和級比調(diào)節(jié)平滑變換f5（本文方法二）對原始數(shù)據(jù)進行預(yù)處理，再建立DGM(1，1)模型，其平均相對誤差分別為0.9356%和0.8352%（見表3），要好于文獻[3]和文獻[5]得出11.6476%和1.5230%的擬合精度（見圖3）。這里選擇了c=T（原序列振幅），α=3。

表3 兩種建模方法模擬結(jié)果對比

圖3 四種建模方法的擬合曲線

6 結(jié)語

本文分析了兩種基于振蕩序列的灰色建模方法，指出了其中的函數(shù)變換僅僅適用于特定的數(shù)據(jù)序列，不具有廣泛性。另外，振蕩序列經(jīng)變換之后能起到弱化隨機性，光滑性條件得到提高，具有很高的模擬精度，但是還原序列的模擬精度會下降。文中也給出了兩種函數(shù)變換，通過實例驗證，這兩種變換方法模擬精度有很大提高。最后需要說明的是，每種函數(shù)變換具有自身特點，要根據(jù)隨機振蕩序列的發(fā)展趨勢合理選擇數(shù)據(jù)變換方法再建灰色預(yù)測模型。

[1]DENG J L.Introduction to grey system theory[J].The Journal of Grey System，1989，1（1）：1-24.

[2]劉思峰，楊英杰.灰色系統(tǒng)研究進展[J].南京航空航天大學(xué)學(xué)報，2015，47（1）：1-18.

[3]錢吳永，黨耀國.基于振蕩序列的 GM（1，1）模型[J].系統(tǒng)工程理論與實踐，2009，29（3）：149-154.

[4]王正新，黨耀國，裴玲玲.基于 GM（1，1）冪模型的振蕩序列建模方法[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2011，33（11）：2440-2444.

[5]曾波，劉思峰.基于振幅壓縮的隨機振蕩序列預(yù)測模型[J].系統(tǒng)工程理論與實踐，2012，32（11）：2493-2497.

[6]楊保華，方志耕，張可.基于級比序列的離散 GM（1，1）模型[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2012，34（8）：715-718.

[7]羅黨，未保磊，李海濤，等.灰色區(qū)間預(yù)測模型及其性質(zhì)[J].控制與決策，2016，31（12）：2293-2298.

[8]孫倩倩，魏勇.函數(shù)變換縮小數(shù)據(jù)級比偏差效果的比較原則[J].數(shù)學(xué)的實踐與認識，2014（8）：254-259.

[9]謝乃明，劉思峰.離散 GM（1，1）模型與灰色預(yù)測模型建模機理[J].系統(tǒng)工程理論與實踐，2005，25（1）：93-99.

[10]謝乃明，劉思峰.離散灰色模型的仿射特性研究[J].控制與決策，2008，23（2）：200-203.

Optimization of Discrete Grey Model Based on Stochastic Oscillation Sequences

KONG Xinhɑi
（Guang’an Vocational&Technical College，Guang’an Sichuan 638000，China）

This paper discussed the grey modeling problem of stochastic oscillation sequences and analyzed two kinds of representative grey modeling methods based on the oscillation sequences.Besides，the essence and the application scope of two function transformations were pointed out.The empirical results shows that the existing modeling methods are presented in which the model output sequence exhibits lower convexity（except for the first point）and the“Z”feature.By combining with the advantages of these two modeling methods，two other data transformation methods are proposed：the weighted average smooth transformation and the class ratio-adjusted smooth transformation.In conclusion，the example also shows that the two new data transform methods can effectively improve the modeling accuracy.

Stochastic Oscillation Sequence；DGM （1，1）Model；Translation Transformation；Smooth Transformation

N941.5

A

1009-8666(2017)08-0031-07

［責(zé)任編輯、校對：方忠］

10.16069/j.cnki.51-1610/g4.2017.08.007

2017-04-13

四川省教育廳科研項目“難采儲量評價方法及其應(yīng)用研究”（14ZB0388）

孔新海（1983—），男，江西余干人。廣安職業(yè)技術(shù)學(xué)院講師，博士，研究方向：不確定性預(yù)測與決策。