Delta動(dòng)態(tài)對(duì)沖策略的模擬檢驗(yàn)及實(shí)證研究

謝博文 遼寧大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院

Delta動(dòng)態(tài)對(duì)沖策略的模擬檢驗(yàn)及實(shí)證研究

謝博文 遼寧大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院

本文運(yùn)用Excel及加載宏Crystal Ball軟件進(jìn)行蒙特卡洛模擬，對(duì)普通時(shí)點(diǎn)對(duì)沖，Leland策略，固定區(qū)間對(duì)沖和Whalley-Wilmott策略進(jìn)行比較分析，得出Leland策略優(yōu)于普通時(shí)點(diǎn)，Whalley-Wilmott策略優(yōu)于固定區(qū)間對(duì)沖的結(jié)論，并進(jìn)一步研究了Whalley-Wilmott策略有效容忍區(qū)間的選擇。最后使用招行股票進(jìn)行實(shí)證分析。

蒙特卡羅模擬 delta對(duì)沖 策略比較 Whalley-Wilmott策略容忍區(qū)間

一、前言

作為風(fēng)險(xiǎn)管理的工具，delta對(duì)沖廣泛運(yùn)用于投資基金的組合管理。delta是衍生品價(jià)格C相對(duì)于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格S的變化率，描述的是兩者價(jià)格關(guān)系的斜率，公式表示為：

delta對(duì)沖就是通過(guò)資產(chǎn)組合的構(gòu)建，使整個(gè)組合的各個(gè)部分的delta相互抵消，達(dá)到delta中性狀態(tài)，也就是整個(gè)組合的delta為0，從而達(dá)到對(duì)沖保值的效果。下面說(shuō)明其原理。

設(shè)S為股票價(jià)格，C為歐式看漲期權(quán)價(jià)格。假設(shè)S滿足幾何布朗運(yùn)動(dòng)，則

上面兩式的離散形式為

ΔC 和ΔS 是在短時(shí)間Δt內(nèi)的變化量。

構(gòu)建一個(gè)資產(chǎn)組合：一個(gè)單位的歐式看漲期權(quán)的空頭頭寸和x單位的股票多頭頭寸。

該資產(chǎn)組合的價(jià)值

將（1）和（2）代入到（3）中，整理得

隨著時(shí)間的變化，股票價(jià)格S會(huì)不斷變化，看漲期權(quán)C的delta也會(huì)不斷發(fā)生變化，所以要不斷改變?cè)撡Y產(chǎn)組合中的股票數(shù)量，稱為再平衡過(guò)程。這就是delta動(dòng)態(tài)對(duì)沖的基本原理。對(duì)沖該看漲期權(quán)空頭的策略可以看做以股票交易的形式來(lái)構(gòu)造看漲期權(quán)的多頭。

二、delta對(duì)沖策略的種類

delta對(duì)沖的實(shí)際效果是由標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變動(dòng)路徑和再平衡的調(diào)整頻率決定的。標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格和時(shí)間的變化都會(huì)改變delta，所以在實(shí)踐中，根據(jù)采用的delta策略的不同，要按照相關(guān)策略的標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行再平衡調(diào)整。主要策略有兩類，固定時(shí)點(diǎn)和固定區(qū)間。

（一）固定時(shí)點(diǎn)對(duì)沖

固定時(shí)點(diǎn)對(duì)沖是指，首先確定好時(shí)間間隔，在每個(gè)時(shí)段末，進(jìn)行交易，以保證資產(chǎn)組合整體delta為0。1985年，由Leland首次提出考慮比例交易成本的對(duì)沖模型，通過(guò)對(duì)波動(dòng)率的修正改善對(duì)沖效果。調(diào)整后的波動(dòng)率為

（k為比例交易成本的系數(shù)）使期權(quán)價(jià)格的增加與再平衡調(diào)整過(guò)程帶來(lái)的交易成本相互抵消，進(jìn)一步修正了B-S模型。

我們將基于B-S模型的策略稱為普通時(shí)點(diǎn)策略，基于LELAND調(diào)整的策略稱為leland策略。

（二）固定區(qū)間對(duì)沖

固定區(qū)間對(duì)沖是指，我們先計(jì)算資產(chǎn)組合的delta值，然后確定一個(gè)能容忍的delta變動(dòng)的固定區(qū)間。資產(chǎn)組合的delta值變動(dòng)時(shí)，只要變動(dòng)值不超出，我們就不進(jìn)行任何操作，一旦超出區(qū)間范圍了，則進(jìn)行調(diào)整。調(diào)整的方式有兩種：第一種是調(diào)整至delta中性狀態(tài)，即資產(chǎn)組合delta為0；第二種是將delta調(diào)整至容忍區(qū)間的邊界，使delta值重新回到容忍區(qū)間，即[-d,+d]范圍內(nèi)。對(duì)于第二種策略，1997年，Whalley和Wilmott得到了delta對(duì)沖的無(wú)交易區(qū)間，其邊界的表達(dá)式為

我們將第一種稱為固定區(qū)間對(duì)沖，第二種稱為Whalley-Wilmott策略。

三、Delta對(duì)沖的蒙特卡羅模擬檢驗(yàn)

使用幾何布朗運(yùn)動(dòng)的離散時(shí)間模型模擬股票價(jià)格變動(dòng)過(guò)程，對(duì)四種策略進(jìn)行模擬檢驗(yàn)，模擬次數(shù)為10000次，每個(gè)價(jià)格變動(dòng)路徑包括90個(gè)時(shí)點(diǎn)的數(shù)據(jù)。分析方法運(yùn)用經(jīng)典的均值方差分析，計(jì)算每種策略的對(duì)沖成本期望值和標(biāo)準(zhǔn)差。

假設(shè)某金融機(jī)構(gòu)賣出一份10000股無(wú)股息股票的歐式看漲期權(quán)。股票當(dāng)前價(jià)格為49，收益率期望為13%，波動(dòng)率為年20%，比例交易費(fèi)用為0.005，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為年5%，期權(quán)執(zhí)行價(jià)格為50，期權(quán)期限為90天，行權(quán)時(shí)按現(xiàn)金結(jié)算方式。現(xiàn)在對(duì)沖其看漲期權(quán)空頭的風(fēng)險(xiǎn)，即運(yùn)用delte對(duì)沖的原理合成看漲期權(quán)。

（一）四種策略的模擬結(jié)果

策略 期望 標(biāo)準(zhǔn)差普通時(shí)點(diǎn)對(duì)沖 26740.77 3464.28 LELAND模型 25629.13 2138.20區(qū)間對(duì)沖 25004.02 3450.83 W-W策略 22819.43 3042.99不采取任何策略 22901.79 33014.53

普通時(shí)點(diǎn)對(duì)沖和LELAND策略的對(duì)沖頻率為每日一次。區(qū)間對(duì)沖和Whalley-Wilmott策略的容忍區(qū)間取為0.04，我們直觀感覺為，容忍區(qū)間不應(yīng)該太小，再平衡調(diào)整太頻繁，交易成本大；太大，風(fēng)險(xiǎn)又過(guò)大，將于下一小節(jié)說(shuō)明容忍區(qū)間的有效取值。

我們可以看到，不采取任何對(duì)沖策略時(shí)，成本的期望值很小，但是其標(biāo)準(zhǔn)差極大。評(píng)判策略是否更優(yōu)，就是指在相同的標(biāo)準(zhǔn)差下，期望值更小，或者在相同的期望值下，標(biāo)準(zhǔn)差更小。所以從表可知，最優(yōu)策略為L(zhǎng)ELAND和W-W策略。

（二）Whalley-Wilmott對(duì)沖策略的有效容忍區(qū)間的研究

我們知道歐式看漲期權(quán)的delta大于0小于1，而容忍區(qū)間大小的選取一旦超過(guò)MAX(初始delta,1-初始delta)后，delta的變動(dòng)就不可能超過(guò)該區(qū)間，不會(huì)再有交易了，所以其上限為MAX（初始delta,1-初始delta）。

波動(dòng)率為0.2時(shí)，初始delta為0.4892，所以區(qū)間上限0.5108。使用crystal ball的決策表功能，將區(qū)間大小設(shè)為決策變量，最小值為0，最大值為0.52，間隔為0.01。另外為了更清晰的觀察較小區(qū)間增加后的實(shí)際效果，又計(jì)算了區(qū)間取0.001和0.005的點(diǎn)。所得部分?jǐn)?shù)據(jù)的表格和全體數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如下：

圖中紅點(diǎn)為L(zhǎng)ELAND策略的數(shù)據(jù)點(diǎn)，從圖中可以得知，隨著區(qū)間選取的增加，期望值不斷減小，而方差先減小后增大。由圖可得，本例有效區(qū)間的上限為0.52，實(shí)際應(yīng)為MAX（初始delta,1-初始delta），下限為0.03，實(shí)際應(yīng)為曲線最低點(diǎn)的所代表的區(qū)間大小。我們發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象，在區(qū)間小于曲線最低點(diǎn)時(shí)，區(qū)間越大，即再平衡調(diào)整的次數(shù)越少時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)差卻越小,這與我們的直觀感受不同。但仔細(xì)分析，可以發(fā)現(xiàn)，本文考慮了交易費(fèi)用，而且每次再平衡調(diào)整時(shí)股票價(jià)格不同，一般都是高買低賣，另外，股票價(jià)格的波動(dòng)率不高，較小的區(qū)間，帶來(lái)更為頻繁的調(diào)整，使再平衡調(diào)整的穩(wěn)定性作用降低了，所以出現(xiàn)了上圖的現(xiàn)象。我們可以將波動(dòng)率增至0.5和1時(shí)，再次進(jìn)行觀察。

波動(dòng)率為0.5時(shí)，初始delta為0.5375，所以區(qū)間上限0.5375。使用crystal ball的決策表功能，將區(qū)間大小設(shè)為決策變量，最小值為0，最大值為0.54，間隔為0.01。另外為了更清晰地觀察較小區(qū)間增加后的實(shí)際效果，又計(jì)算了區(qū)間取0.001和0.005的點(diǎn)。所得部分?jǐn)?shù)據(jù)地表格和全體數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如下：

波動(dòng)率為1時(shí)，初始delta為0.5927，所以區(qū)間上限0.5927。使用crystal ball的決策表功能，將區(qū)間大小設(shè)為決策變量，最小值為0，最大值為0.60，間隔為0.01。另外為了更清晰地觀察較小區(qū)間增加后的實(shí)際效果，又計(jì)算了區(qū)間取0.001和0.005的點(diǎn)。所得部分?jǐn)?shù)據(jù)的表格和全體數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如下：

區(qū)間大小 期望值 標(biāo)準(zhǔn)差0 105081.10 9444.68 0.01 103695.40 9741.01 0.02 102693.40 10460.85 0.03 102163.00 11580.13 0.04 101539.70 12851.53 0.05 101367.30 14392.18 0.10 99886.45 22452.37 0.20 98850.62 40735.21 0.30 98543.25 59679.36 0.40 98300.24 73692.60 0.50 98530.86 76559.17 0.60 97807.03 77863.83 leland 104922.90 9359.40

果然，波動(dòng)率為0.5和1時(shí)，不再出現(xiàn)隨著容忍區(qū)間的增加，標(biāo)準(zhǔn)差反而減小的現(xiàn)象。但是從上面三個(gè)圖表可以看出，波動(dòng)率增大后，大區(qū)間的數(shù)值點(diǎn)越來(lái)越發(fā)散，這是因?yàn)榇髤^(qū)間的再平衡調(diào)整極少，而本文假設(shè)的期權(quán)期限又只有90天，模擬次數(shù)只有10000次，就會(huì)出現(xiàn)有的區(qū)間進(jìn)行模擬時(shí)，出現(xiàn)需要調(diào)整的路徑多，有的少，造成發(fā)散現(xiàn)象。但隨著區(qū)間的增大，期望值減小，標(biāo)準(zhǔn)差增加的趨勢(shì)還是很容易看出的。

由圖可得，波動(dòng)率較大時(shí)，有效區(qū)間上限為MAX（初始delta,1-初始delta），下限為L(zhǎng)ELAND調(diào)整點(diǎn)。波動(dòng)率為1時(shí)的LELAND點(diǎn)由于數(shù)值較為接近區(qū)間點(diǎn)，所以圖中不能明顯看出，但從數(shù)值表也可以看出。

當(dāng)然，實(shí)際根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)偏好選擇最優(yōu)區(qū)間時(shí)，我們不會(huì)選擇很大的區(qū)間，圖中也可看出此時(shí)曲線近似垂直了（此時(shí)選擇更大的區(qū)間，期望減少得很慢，而方差增加得很快），波動(dòng)率較大時(shí)，區(qū)間選擇也不會(huì)偏好靠近LELAND策略點(diǎn)的那一段（此時(shí)選擇更小的區(qū)間，方差減小得很慢，而期望增加得很快）。由于本文只考慮主要的這四種策略的優(yōu)劣，所以W-W策略有效容忍區(qū)間的選擇只有與LELAND策略的聯(lián)動(dòng)分析。

四、實(shí)證分析

國(guó)內(nèi)A股市場(chǎng)上的一些規(guī)模很大的公司，如招行，中石油，貴州茅臺(tái)等，流通股本大，交易活躍，價(jià)格波動(dòng)平穩(wěn)，滿足delta對(duì)沖策略交易的要求。所以本文選取招商銀行這一在我國(guó)證券市場(chǎng)上具有代表性的大盤股進(jìn)行delta對(duì)沖策略的實(shí)證分析。

實(shí)證部分?jǐn)?shù)據(jù)使用的是招行股票2016年4月29日至2017年4月29日的一年期數(shù)據(jù)。無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率選取2016年4月29日的一年期SHIBOR，為3.0420%，股票價(jià)格波動(dòng)率使用歷史波動(dòng)率，計(jì)算可得，為14.84%，比例交易成本為0.005。假設(shè)在2016年4月29日，某金融機(jī)構(gòu)賣出一份10000股招行股票的歐式看漲期權(quán)，股票初始價(jià)格為17.75，執(zhí)行價(jià)格為18，期限為1年。我們使用delta對(duì)沖策略合成該看漲期權(quán)多頭來(lái)對(duì)沖風(fēng)險(xiǎn)。

實(shí)際delta對(duì)沖后的結(jié)果如下：

對(duì)沖策略 對(duì)沖成本普通時(shí)點(diǎn) 12915.78 LELAND策略 12745.52區(qū)間對(duì)沖 C=0.04 12309.05 W-W策略 C=0.04 11894.11 W-W策略 C=0.1 9689.30 W-W策略 C=0.2 6944.04不采取任何策略 11300.00

由于使用實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，所以只能體現(xiàn)出最終對(duì)沖成本的大小，風(fēng)險(xiǎn)大小無(wú)法直接觀察到。因?yàn)楣善弊罱K價(jià)格為19.13，期權(quán)執(zhí)行價(jià)格為18，所以不采取任何對(duì)沖策略時(shí)，金融機(jī)構(gòu)的成本為11300。從本例可以看出，W-W策略的容忍區(qū)間越大，對(duì)沖成本越低，但實(shí)際上其標(biāo)準(zhǔn)差也會(huì)大很多，這在上一章的分析中已有所體現(xiàn)。這說(shuō)明，由于交易費(fèi)用的存在，當(dāng)股票價(jià)格大致符合維納過(guò)程時(shí)，再平衡調(diào)整頻率的增加會(huì)使成本增大。實(shí)證結(jié)果基本符合上一章的分析。

五、結(jié)論

delta對(duì)沖策略是可行的，并且LELAND策略優(yōu)于普通時(shí)點(diǎn)，W-W策略優(yōu)于固定區(qū)間策略。W-W策略的區(qū)間越大，對(duì)沖成本越小，對(duì)沖風(fēng)險(xiǎn)越大，但是存在一個(gè)有效地區(qū)間，便于金融機(jī)構(gòu)在不同的風(fēng)險(xiǎn)偏好下，選擇合適的區(qū)間，另外，波動(dòng)率的大小使容忍區(qū)間下限的選擇也有所不同。

[1](加)赫爾著,（加）王勇,索吾林譯.期權(quán)、期貨及其他衍生產(chǎn)品[M].機(jī)械工業(yè)出版社,2016,1

[2]張程.期權(quán)動(dòng)態(tài)風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖實(shí)證分析[J].現(xiàn)代管理科學(xué)，2010,第3期

[3]鄒小芃.動(dòng)態(tài)套期保值策略的模擬檢驗(yàn)及在我國(guó)的應(yīng)用[D].浙江大學(xué)，2002

[4]Leland, H., 1985, Option Pricing and Replication With Transaction Costs, Journal of Finance 40: 1283-1302

[5]Bill Dalton,2008,Financial Products-An Intruduction using Mathematics and Excel,Cambridge University Press

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