《兩位數(shù)乘兩位數(shù)》磨課過程與思考

許鏑

【摘要】本文從《兩位數(shù)乘兩位數(shù)》的磨課過程展開論述，通過設(shè)計有思維含量的數(shù)學(xué)活動激活學(xué)生的思維動機(jī)，讓學(xué)生在潛移默化中、在實踐操作中感悟思維的靈動，培養(yǎng)學(xué)生歸納、推理、概括的能力。

【關(guān)鍵詞】《兩位數(shù)乘兩位數(shù)》小學(xué)數(shù)學(xué) 磨課體會

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2017）07A-0062-03

筆者試教人教版數(shù)學(xué)三年級下冊《兩位數(shù)乘兩位數(shù)》一課時，大致的框架就是在情境引導(dǎo)下，用點(diǎn)子圖探究14×12的算理，然后逐步呈現(xiàn)豎式的計算過程，進(jìn)一步溝通算理與算法之間的聯(lián)系。

具體來說就是開課先通過口算練習(xí)，回顧一位數(shù)乘法的計算方法，激活學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，為學(xué)習(xí)新知識，并把新知識轉(zhuǎn)化為用舊知識解決問題提供基礎(chǔ)。然后利用點(diǎn)子圖這種溝通算理和算法的橋梁，把直觀的算理轉(zhuǎn)化得到抽象的算法，在這個過程中讓學(xué)生自主探究兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算方法，明晰豎式計算中每一步表示的意義以及積的位置，幫助學(xué)生溝通算理與算法的聯(lián)系，感悟“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想方法，以及解決問題算法多樣化。

《兩位數(shù)乘兩位數(shù)》一課的重點(diǎn)——解決算理其實就是三個核心問題：計算14×12，需要幾步計算；每一步分別怎么算；用十位上的數(shù)去乘，積的末尾為什么要對齊十位？解決這些問題，實際就是在運(yùn)用“先分后合”“拆分求積”“轉(zhuǎn)化”的方法，把分步計算和綜合豎式計算結(jié)合起來。依托具體的情境，讓學(xué)生結(jié)合口算和點(diǎn)子圖歸納豎式計算的算法。

教研員斯老師看過這節(jié)課的錄像后，馬上指出了不少問題：首先，點(diǎn)子圖的使用沒有尊重學(xué)生的知識起始點(diǎn)。一上課就發(fā)給學(xué)生點(diǎn)子圖，這是強(qiáng)烈暗示學(xué)生，這節(jié)課就是要使用點(diǎn)子圖來解決問題。然而現(xiàn)實情況是，有些學(xué)生是有基礎(chǔ)的，他們并不需要借助點(diǎn)子圖去解決問題。教師要尊重學(xué)生的現(xiàn)實起點(diǎn)，并根據(jù)現(xiàn)實起點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)。其次，要把點(diǎn)子圖作為學(xué)生學(xué)習(xí)新知識的腳手架，當(dāng)學(xué)生計算有困難時，就作為計算的工具使用。當(dāng)學(xué)生需要掌握算法時，作為溝通算理與算法的工具為學(xué)生提供幾何直觀。這節(jié)課沒有根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，體現(xiàn)不出教學(xué)對象的分層。第三，溝通點(diǎn)子圖與豎式的聯(lián)系不夠細(xì)致，應(yīng)該讓學(xué)生通過多種感官去感受算理與算法之間的聯(lián)系，這樣學(xué)生才能深刻地理解豎式的計算步驟的含義。

針對這些問題，筆者對教案進(jìn)行了修改，然后開始試教。口算、情境的引出到列式計算14×12一切都很順利，但在探究14×12的算理時，學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生求助老師拿到了點(diǎn)子圖，然而他們卻不知道如何使用這個工具。在之前的授課中，我們通過播放課件演示，引導(dǎo)他們使用點(diǎn)子圖去計算。此時沒有了課件演示和老師的引導(dǎo)，這些學(xué)生就無法把點(diǎn)子圖和具體的情境結(jié)合起來，這個點(diǎn)子圖作為學(xué)習(xí)的工具就無法體現(xiàn)出實際的作用。無奈之下，只能一個一個地引導(dǎo)學(xué)生，通過點(diǎn)撥，學(xué)生很快明白用意。

學(xué)生經(jīng)過自主探究得出了3種情況：第一種用點(diǎn)子圖把12套書分成了10套和2套兩部分，分別計算10套本數(shù)和2套本數(shù)，再合起來。第二種用點(diǎn)子圖把12套書分成了2個6套，計算6套本數(shù)之后再算12套。第三種用口算算式表示12÷2=6，6×14=84，84+84=168。教學(xué)在反復(fù)溝通了口算和點(diǎn)子圖之間的聯(lián)系后，筆者讓學(xué)生給算法做優(yōu)化選擇并感受算法多樣化，但總體感受不深。因為這里能呈現(xiàn)的樣本就是只有把12套書分成10套和2套及分成6套和6套這2種。在試教過程中讓筆者意想不到的是，18個學(xué)生中沒有一個會用豎式來計算，這真正體現(xiàn)了學(xué)生樸質(zhì)的知識基礎(chǔ)。如果沒有超前學(xué)習(xí)，豎式這種高度總結(jié)概括出來的方法，光憑短暫的思考、探究是無法創(chuàng)造出來的。出于尊重學(xué)生的知識起點(diǎn)，筆者布置學(xué)生通過看書自學(xué)豎式的格式及算法。自學(xué)之后，引導(dǎo)學(xué)生把口算算式、點(diǎn)子圖和豎式的每一步溝通聯(lián)系起來，給學(xué)生建立了算理與算法的直觀模型，完成了此次試教。

評課時，斯老師給出建議：下發(fā)給學(xué)生的點(diǎn)子圖，要有適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)語，引導(dǎo)學(xué)生快速地用圖解決計算題。展示計算方法的時候，要對圖做出適當(dāng)?shù)慕忉?。因為沒有使用點(diǎn)子圖的學(xué)生，對這個工具是陌生的，教師應(yīng)適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)，讓全班學(xué)生了解點(diǎn)子圖的用法，從而進(jìn)一步加深學(xué)生對算理的理解。最后，斯老師還建議去掉介紹數(shù)學(xué)文化這個環(huán)節(jié)，因為剛學(xué)習(xí)如何筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)，在計算技能還沒有成熟時播放一個帶有其他計算方法的視頻，會干擾學(xué)生剛剛形成的知識模型，延長計算技能形成的時間。明白了這兩點(diǎn)，下次改課就有了新的方向。

第二次試教，筆者把口算引入的環(huán)節(jié)去掉了，因為學(xué)生對兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)和兩位數(shù)乘一位數(shù)的計算方法是清楚的。所以直接出示情境，讓學(xué)生根據(jù)情境信息提出問題。然后直接把問題拋給學(xué)生：一共多少本書？怎么解決這個問題呢？讓有想法、有辦法的學(xué)生直接在白紙上嘗試寫下來，而學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生則可以舉手，老師提供學(xué)習(xí)建議紙（點(diǎn)子圖）。這樣放手之后，學(xué)生果然出現(xiàn)了多種情況。比如口算的14×10=140，14×2=28，140+28=168；點(diǎn)子圖的12×7=84，84+84=168；14×6=84，84+84=168；14×7=98，14×5=70，70+98=168；還有的學(xué)生運(yùn)用豎式計算。

展示交流階段，按從口算到點(diǎn)子圖的呈現(xiàn)順序，幫助學(xué)生厘清點(diǎn)子圖與口算之間的聯(lián)系，然后呈現(xiàn)算法多樣化，最后呈現(xiàn)運(yùn)用豎式的方法。把點(diǎn)子圖與豎式、口算三者之間的聯(lián)系進(jìn)行梳理，隨后展開豎式算法的教學(xué)，之后播放微課，再次加深學(xué)生對豎式算法與算理之間的聯(lián)系。

課后，聽課老師進(jìn)行了點(diǎn)評：在學(xué)生自主探究后，可以平行呈現(xiàn)口算、點(diǎn)子圖和豎式計算，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)他們之間的聯(lián)系，同時溝通三者之間的聯(lián)系。教學(xué)完豎式算法之后，再呈現(xiàn)其他算法，這樣可以讓學(xué)生明白這節(jié)課的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容，了解解決問題方法的多樣化。同時讓學(xué)生感受“轉(zhuǎn)化遷移”的思想方法，把新知識轉(zhuǎn)化成舊知識來解決，還可以遷移到新知識中去運(yùn)用。

筆者把老師的建議進(jìn)行了梳理整合。在最后一次教學(xué)上，筆者是這樣教學(xué)的：創(chuàng)設(shè)情境之后，讓學(xué)生獲取信息，再提出問題列式14×12，為了解決14×12，學(xué)生要選擇適合自己的學(xué)習(xí)方式進(jìn)行探究。筆者給學(xué)生提供兩張學(xué)習(xí)卡研究解決問題，一張?zhí)魬?zhàn)卡（直接發(fā)在學(xué)生手上），另一張?zhí)矫乜ǎǚ旁谛欧庵校?。學(xué)生可以選擇用挑戰(zhàn)卡，借助自己已有知識進(jìn)行探究，也就是用口算或豎式完成；學(xué)生也可以用探秘卡，借助探秘卡點(diǎn)子圖上的提示和建議，進(jìn)行圈畫點(diǎn)子圖。endprint

學(xué)生出現(xiàn)了很多種算法，比如：

于是筆者先呈現(xiàn)口算的方式，讓學(xué)生介紹思路之后，再讓用點(diǎn)子圖思考的學(xué)生去聯(lián)系口算的算法，這樣就讓口算的思路獲得了一個形象具體的算理支撐。緊接著呈現(xiàn)了其他算法和與之配套的點(diǎn)子圖，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，這些方法都是運(yùn)用了先分后合和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，把沒有學(xué)過的知識轉(zhuǎn)化為學(xué)過的知識去計算；歸納思想方法之后，告訴學(xué)生還有用豎式解決的方法，并讓其他沒有用豎式計算的學(xué)生參考口算、點(diǎn)子圖的思路嘗試用豎式來計算14×12。這樣，不少學(xué)生在點(diǎn)子圖、口算的思路啟發(fā)下，也能列出豎式。緊接著，筆者讓學(xué)生介紹豎式的步驟，并讓另外兩個學(xué)生配合，對點(diǎn)子圖、口算和豎式這三位一體進(jìn)行了溝通聯(lián)系，把兩式一圖一意義以及豎式的算法徹底地在學(xué)生心中生根發(fā)芽。為了鞏固豎式算法與算理，筆者播放了微課視頻，再一次加深了學(xué)生對算法與算理的理解。由此進(jìn)入了課堂練習(xí)鞏固環(huán)節(jié)：豎式練習(xí)23×13、11×22，學(xué)生完成作業(yè)的正確率比較高。接著出示找錯題（如下圖），學(xué)生一下就能找到錯誤的原因。

下一個環(huán)節(jié)“你知道嗎”，讓學(xué)生進(jìn)一步明白豎式的每一個步驟是怎樣來的、為什么這樣算，為下一節(jié)課總結(jié)算法做了詳細(xì)的鋪墊。

最后一個環(huán)節(jié)更是這節(jié)課的亮點(diǎn)，將兩位數(shù)乘一位數(shù)以及兩位數(shù)乘兩位數(shù)進(jìn)行對比，讓學(xué)生自行發(fā)現(xiàn)算法的聯(lián)系與區(qū)別，同時遷移到“三位數(shù)乘三位數(shù)的算法（不進(jìn)位）”上。通過這樣的教學(xué)過程讓學(xué)生明白，可以把難解決的問題通過轉(zhuǎn)化變成容易解決的問題。

通過這幾次磨課，筆者發(fā)現(xiàn)中低年級的計算教學(xué)應(yīng)當(dāng)借助具體的問題情境引入。因為學(xué)生對于算理的理解和算法的掌握，主要是在學(xué)生熟悉的環(huán)境中完成，將探索計算和解決實際問題結(jié)合在一起，就有利于學(xué)生體會運(yùn)算是現(xiàn)實生活中存在的，是有價值的。也為學(xué)生理解算理、掌握算法提供了思維的支撐與路徑：12套書不會算，就借助實際意義去思考，能不能把12套書分解為2部分、3部分去計算？

其次教師要尊重學(xué)生已有的知識起點(diǎn)和教材的邏輯起點(diǎn)，開展有效分層教學(xué)。在教學(xué)時，筆者充分利用挑戰(zhàn)卡和探秘卡，放手讓學(xué)生自主探究計算方法，在匯報時，讓三個學(xué)生上臺交流，一個說筆算步驟，一個說分步口算，一個說點(diǎn)子圖算理，三個學(xué)生的合作就是將三個人的三種算法聯(lián)系在了一起，做到了“三合一”，即三人合一、三法合一，將“兩式一圖一意義”算理算法融合在了一起。讓學(xué)生充分感受兩位數(shù)乘兩位數(shù)計算方法多樣性的背后是有共通性的：都是“先分后合”，借助乘法的意義，體現(xiàn)了筆算的基本思想。之后讓學(xué)生去思考豎式為什么是把12分成10和2去計算，從而進(jìn)一步幫助學(xué)生優(yōu)化算法。在這個探索的過程中，教師要充分相信學(xué)生，給予學(xué)生更多的時間、空間去探索，以學(xué)生為中心，把教學(xué)的主動權(quán)交給他們，讓他們自行溝通介紹算理與算法，正確地處理算法及算理的關(guān)系，這樣既兼顧了學(xué)生理解算理又讓他們學(xué)會了算法，體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位。

最后，在進(jìn)行計算教學(xué)時，教師既要關(guān)注學(xué)生計算技能的形成，更要關(guān)注數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)和發(fā)展。在學(xué)生眾多差異性的算法中進(jìn)行類比、轉(zhuǎn)化、遷移，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以把新知識轉(zhuǎn)化成舊知識（例如本節(jié)課筆者就把14×12轉(zhuǎn)化成了14乘一位數(shù)這樣的舊知識）。當(dāng)學(xué)習(xí)新知識之后，又幫助學(xué)生把知識進(jìn)行遷移拓展：“如14×12在筆算時，我們要乘兩次，如果是三位數(shù)乘三位數(shù)，需要乘幾次呢？”學(xué)生很快就知道要乘三次，從而達(dá)到了思維訓(xùn)練的目的。

總之，小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)要讓學(xué)生的思維看得見，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)更加深入，讓學(xué)生遇到的問題得到有效的解決，教師就要設(shè)計有思維含量的數(shù)學(xué)活動，激活學(xué)生的思維動機(jī)，讓學(xué)生在潛移默化以及實踐操作中感悟到思維的靈動，讓學(xué)生經(jīng)歷思維的發(fā)展過程。在遵循學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的基礎(chǔ)上，將操作和思維有機(jī)結(jié)合，從而獲得方法并注重多種方法的溝通；在方法概括優(yōu)化的提升中，培養(yǎng)學(xué)生的歸納、推理、概括的能力。

（責(zé)編 林 劍）endprint