射線、線段動點問題之推廣

雷曉宏

在日常生活中，經(jīng)常會遇到去車站購票、畢業(yè)前夕學(xué)生們互贈照片等實際問題.在這里如果把火車的始發(fā)站看成一個定點，而把到達(dá)站看成一個動點，那么就可以把這類實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的求線段總條數(shù)的問題了.

學(xué)生們學(xué)習(xí)了中華人民共和國教育部2012年審定通過的、人民教育出版社出版發(fā)行的義務(wù)教育教科書《數(shù)學(xué)》七年級上冊的“第四章 幾何圖形初步中”的“§4.2 直線、射線、線段”之后，對于如何求射線和線段的總條數(shù)是中華人民共和國教育部制定的、北京師范大學(xué)出版社出版發(fā)行的義務(wù)教育《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中要求每名學(xué)生必須掌握的知識點，下面就這一方面的問題做如下探討.

引例 一條直線上有n個點，試問可以得到多少條線段？

分析 對于這類問題，要經(jīng)歷從特殊到一般的研究過程（所用的是“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想），先畫出幾何圖形，再利用“經(jīng)過兩點有且只有一條直線”尋找出規(guī)律即可.

解 如圖1所示，直線L上有A，B兩點，有一條線段AB.

如圖2所示，直線L上有A，B，C三點，以A為左端點的線段有AB，AC；以B為左端點的線段有BC，所以在圖2中共有3條線段（1+2=3），即線段AB，AC和BC.

如圖3所示，直線L上共有A，B，C，D四個點，以A為左端點的線段有AB，AC，AD；以B為左端點的線段有BC，BD；以C為左端點的線段有CD，所以在圖3中共有6條線段（1+2+3=6），即線段AB，AC，AD，BC，BD和CD.

【問題1】如圖4所示，從A地到B地的鐵路上要途經(jīng)四個站，那么列車在A，B兩段之間需要多少種票價？需要準(zhǔn)備多少種不同的車票？

【問題2】畢業(yè)聯(lián)歡會上，同學(xué)們互贈照片以作留念.李強同學(xué)所在的班上有30名同學(xué)，試問李強同學(xué)所在班的同學(xué)至少應(yīng)該準(zhǔn)備多少張照片？

解 在這里如果把某一個同學(xué)看成定點，把其他同學(xué)看成動點的話，那么這個問題就是求線段總條數(shù)的問題，但是由于照片是互贈的，所以至少應(yīng)該準(zhǔn)備照片30×（30-1）=870張.

通過以上例子可以看出，現(xiàn)實生活與數(shù)學(xué)是密不可分的，生活中的許多實際問題都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的動點問題來解.endprint