集合基礎(chǔ)知識與習題的深究與發(fā)現(xiàn)

穆俊峰

【摘要】本文是作者在教學實踐中，對教材內(nèi)容與習題設(shè)置結(jié)構(gòu)的理解與心得，通過教學中發(fā)現(xiàn)數(shù)學定義、公式、性質(zhì)、結(jié)論等的本質(zhì)，從而在處理習題、鞏固知識的過程中，使學生易理解，易掌握教材內(nèi)容，會應(yīng)用、會處理教材習題.

【關(guān)鍵詞】問題；結(jié)論；應(yīng)用

教材中的基礎(chǔ)知識包含了定義、定理以及一些常用的性質(zhì)和公式等，這些都是構(gòu)建知識模塊所必需的內(nèi)容.在北師大版（或人教版）高中數(shù)學必修一教材中，第一章是以集合論開始，在介紹集合的基本關(guān)系與基本運算時，面對剛剛初中畢業(yè)的學生，教師要從交集、并集的定義中深究最本質(zhì)的東西，讓學生體會到A∩B的最“大”性，與A∪B的最“小”性.這些抽象的性質(zhì)就蘊涵在定義之中，但如果不加以強調(diào)，不具體舉例說明，對剛踏進高中數(shù)學殿堂的初中生來說，還真的很難理解好、運用好這些性質(zhì).

而當全集U給定時，集合A的補集在所有與A交集為空集的集合中具有最“大”性，同時在所有與A的并集為全集的集合中，A的補集又具有最“小”性.這一相輔相成、對立統(tǒng)一的優(yōu)美性質(zhì)，正是補集運算的魅力之所在.而這些性質(zhì)若教師不加以說明或解釋得不到位，僅靠學生自己去理解并運用的話，真的過于勉強了.這里將其總結(jié)如下：

另外，無論是資料或教材都會涉及求給定有限集合的子集個數(shù)問題，掌握了子集的定義以后，學生可以根據(jù)列舉法寫出有限集合的子集.教材中也有這方面的例題和習題：第2節(jié)課“集合的基本關(guān)系”中的例2及練習題第5題和習題1—2中A組第2題的第（1）小題.一般情況下，教師們都會給學生補充這樣一個結(jié)論：

一個有n個元素的集合，有2n個子集；有2n-1個真子集，其中n是自然數(shù).

對于這個結(jié)論，可以在以后的學習中，應(yīng)用排列組合的知識進行解釋、論證.對于剛剛初中畢業(yè)的學生來說，舉幾個例子，說清楚應(yīng)用方法即可.然而在本章復習題一中A組第2題的第（4）小題中就能用到這樣的結(jié)論.

2.（4）滿足{x，y}∪B={x，y，z}的集合B的個數(shù)是 .

當然，學生可以根據(jù)列舉法，很快得到滿足條件的集合B的個數(shù)為4.但如果我們對此題再深究一下，如，{x，y，z}∪B={x，y，z，v，w}，那么滿足條件的集合B的個數(shù)又是多少呢？顯然如果不能找出問題的本質(zhì)，再用列舉的方法就比較困難了.

以上內(nèi)容與結(jié)論是筆者在教學實踐中對教材內(nèi)容與習題的一點心得，都是對教材內(nèi)容及常用性質(zhì)的深究與分析容易得到的結(jié)論.而在教材習題中這些相關(guān)結(jié)論都得到了運用和鞏固，這里提出來與同行分享，旨在對今后的教學有所裨益.一己之見，難免有偏，不妥之處望專家同行們不吝指正，謝謝！endprint