基于GM（1，1）模型的線(xiàn)性函數(shù)變換及優(yōu)化研究

周力

【摘要】本文以?xún)?yōu)化模型、改善模型的模擬、預(yù)測(cè)效果研究，重點(diǎn)引入線(xiàn)性變換，得到新的序列估算式，從而將GM（1，1）模型擴(kuò)展為線(xiàn)性變換GM（1，1）模型，并進(jìn)一步優(yōu)化背景值最佳生成系數(shù)，再擴(kuò)展為加權(quán)灰色預(yù)測(cè)模型——RGM（1，1）.實(shí)例表明，盡管模擬序列特征改變，但是變換后的GM（1，1）模型能更好地預(yù)測(cè)原始數(shù)據(jù)的變化，能顯著地提升模型的預(yù)測(cè)精度.

【關(guān)鍵詞】離散GM（1，1）模型；模擬序列；線(xiàn)性函數(shù)變換；預(yù)測(cè)精度

1982年華中理工大學(xué)鄧聚龍教授創(chuàng)立了灰色系統(tǒng)理論，是一種研究少數(shù)據(jù)、貧信息不確定性問(wèn)題的新方法.三十幾年來(lái)，引起了不少?lài)?guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注，得到了長(zhǎng)足的發(fā)展.目前，在我國(guó)已經(jīng)成為社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、科學(xué)技術(shù)、高等教育等諸多領(lǐng)域進(jìn)行預(yù)測(cè)、決策、評(píng)估、規(guī)劃控制、系統(tǒng)分析與建模的重要方法之一.特別是它對(duì)時(shí)間序列短、小樣本、貧信息不確定性系統(tǒng)的分析與建模，具有獨(dú)特的功效，因此得到了廣泛的應(yīng)用.在這里我們將重點(diǎn)對(duì)灰色系統(tǒng)建模、離散灰色預(yù)測(cè)模型進(jìn)行研究.

在系統(tǒng)研究過(guò)程中，由于系統(tǒng)內(nèi)外擾動(dòng)的存在和人類(lèi)認(rèn)識(shí)能力的局限，人們所獲得的信息往往帶有某種不確定性.隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和人類(lèi)社會(huì)的進(jìn)步，人們對(duì)各類(lèi)系統(tǒng)不確定性的認(rèn)識(shí)逐步深化，對(duì)不確定性系統(tǒng)的研究也日益深入.概率統(tǒng)計(jì)、模糊數(shù)學(xué)、灰色系統(tǒng)理論和粗糙集理論是四種最常用的不確定性系統(tǒng)研究方法，其研究對(duì)象都具有某種不確定性，這是它們的共同特點(diǎn).灰色系統(tǒng)理論因能解決諸如模糊數(shù)學(xué)、概率統(tǒng)計(jì)等所不能解決的“小樣本、貧信息不確定”問(wèn)題而廣泛應(yīng)用于橫斷學(xué)科，GM（1，1）模型也作為灰色系統(tǒng)理論重要內(nèi)容而廣泛應(yīng)用于動(dòng)態(tài)預(yù)測(cè)領(lǐng)域.

一、灰系統(tǒng)的基本原理

在控制論中，人們常用顏色的深淺形容信息的明確程度.我們用“黑”表示信息未知，用“白”表示信息完全明確，用“灰”表示部分信息明確、部分信息不明確.相應(yīng)地，信息完全明確的系統(tǒng)稱(chēng)為白色系統(tǒng)，信息未知的系統(tǒng)稱(chēng)為黑色系統(tǒng)，部分信息明確、部分信息不明確的系統(tǒng)稱(chēng)為灰色系統(tǒng).

灰色系統(tǒng)理論經(jīng)過(guò)30多年的發(fā)展，現(xiàn)已基本建立起一門(mén)新興學(xué)科的結(jié)構(gòu)體系.本文重點(diǎn)探討基于GM（1，1）模型所做出的定量預(yù)測(cè)及優(yōu)化.主要任務(wù)之一，就根據(jù)社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)等系統(tǒng)的行為特征數(shù)據(jù)，尋找不同系統(tǒng)變量之間或某些系統(tǒng)變量自身的數(shù)學(xué)關(guān)系與變化規(guī)律.

灰色預(yù)測(cè)模型（Gray Forecast Model）是通過(guò)少量的、不完全的信息，建立數(shù)學(xué)模型并做出預(yù)測(cè)的一種預(yù)測(cè)方法.當(dāng)我們應(yīng)用運(yùn)籌學(xué)的思想方法解決實(shí)際問(wèn)題，制定發(fā)展戰(zhàn)略和政策、進(jìn)行重大問(wèn)題的決策時(shí)，都必須對(duì)未來(lái)進(jìn)行科學(xué)的預(yù)測(cè).預(yù)測(cè)是根據(jù)客觀事物的過(guò)去和現(xiàn)在的發(fā)展規(guī)律，借助于科學(xué)的方法對(duì)其未來(lái)的發(fā)展趨勢(shì)和狀況進(jìn)行描述和分析，并形成科學(xué)的假設(shè)和判斷.

二、灰生成技術(shù)

灰色系統(tǒng)基于序列算子的作用，通過(guò)對(duì)原始數(shù)據(jù)處理，挖掘其變化規(guī)律.這是一種就數(shù)據(jù)尋找數(shù)據(jù)的現(xiàn)實(shí)規(guī)律的途徑，稱(chēng)為灰色序列生成.在預(yù)測(cè)科學(xué)領(lǐng)域，模型的優(yōu)劣取決于數(shù)據(jù)受到某種干擾而失真程度，而因此難以用模型來(lái)對(duì)系統(tǒng)的未來(lái)變化進(jìn)行預(yù)測(cè).實(shí)際問(wèn)題中，總是存在大量的沖擊擾動(dòng)系統(tǒng)，導(dǎo)致了定量預(yù)測(cè)結(jié)果與人們直觀的定性分析結(jié)論大相徑庭的現(xiàn)象經(jīng)常發(fā)生.因此，尋求定量預(yù)測(cè)與定性分析的結(jié)合點(diǎn)，設(shè)法淡化或消除系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)所受到的沖擊擾動(dòng)，還數(shù)據(jù)以本來(lái)面目，從而提高預(yù)測(cè)的命中率就變得尤為重要.

灰生成特點(diǎn)：在保持原序列形式的前提下，改變序列中數(shù)據(jù)的值與性質(zhì).一切灰色序列都能通過(guò)某種生成弱化其隨機(jī)性，顯現(xiàn)其規(guī)律性.

灰生成的作用：（1）統(tǒng)一序列的目標(biāo)性質(zhì)，為灰決策提供基礎(chǔ)；（2）將擺動(dòng)序列轉(zhuǎn)換為單調(diào)增長(zhǎng)序列，以利于灰建模；（3）揭示潛藏在序列中的遞增勢(shì)態(tài)，變不可比為可比序列.

兩種常見(jiàn)的灰生成類(lèi)型：（1）一次累加生成序列（1-AGO）；（2）均值生成序列（MEAN）.

三、GM（1，1）預(yù)測(cè)模型的建模機(jī)理

設(shè)離散數(shù)據(jù)序列為

其中，a，b為待識(shí)別參數(shù)，即灰參數(shù).a為發(fā)展系數(shù)，表示模型增長(zhǎng)趨勢(shì)，若a<0，則其趨勢(shì)是增長(zhǎng)的，其絕對(duì)值越大增長(zhǎng)越快；若a>0則其趨勢(shì)是衰減的，其絕對(duì)值越大衰減越快.b為灰色作用量，是因子集的數(shù)字形式，表明外部因子作用的強(qiáng)弱，b的變化代表變形模式的變化.等式（3.4）相應(yīng)的白化一階微分方程，也叫影子方程為

四、檢驗(yàn)GM（1，1）模型的精度

當(dāng)采用GM（1，1）模型的各種形式進(jìn)行模擬精度均達(dá)不到要求時(shí)，可以考慮對(duì)殘差序列建立GM（1，1）模型，對(duì)原來(lái)的模型進(jìn)行修正，以提高模擬精度.如果檢驗(yàn)合格，則可以用模型進(jìn)行預(yù)測(cè).

GM（1，1）模型是灰色模型中最常見(jiàn)也是最基礎(chǔ)的預(yù)測(cè)模型，其應(yīng)用非常廣泛.但是，在某些特定情況下其預(yù)測(cè)精度相對(duì)較差，預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)誤差有時(shí)非常大.本文重點(diǎn)分析基于線(xiàn)性變換得到的GM（1，1）模型，指出提高預(yù)測(cè)精度的直接原因并不是提升數(shù)據(jù)的光滑度，而是對(duì)模擬序列經(jīng)過(guò)了變換，不再是純指數(shù)序列，轉(zhuǎn)換成一個(gè)非齊次指數(shù)序列，當(dāng)原始數(shù)據(jù)與這個(gè)非齊次指數(shù)序列兩者越是相近，所得模型的預(yù)測(cè)精度自然也就越高.為此我們獲得了這個(gè)序列的直接離散GM（1，1）模型及以加權(quán)緊鄰值拓展建模，并用實(shí)例分析預(yù)測(cè)精度的改變.

五、線(xiàn)性函數(shù)變換GM（1，1）建模方法

（一）線(xiàn)性變換的模型建立

設(shè)原始數(shù)據(jù)的序列表達(dá)為

當(dāng)k=2，3，…，n時(shí)，代入可得到初始數(shù)據(jù)的擬合值；當(dāng)k>n時(shí)，便是灰色模型對(duì)未來(lái)的預(yù)測(cè)值.

而對(duì)于線(xiàn)性變換式中的α，β有非常多的求解思路，可以通過(guò)遺傳算法，也可以以變換后模型的平均相對(duì)誤差函數(shù)最小作為目標(biāo)，通過(guò)MATLAB編程序用[9]修正的最速下降法可求出平均相對(duì)誤差的最小值，同時(shí)可得到α，β的近似值.

（二）模型提高預(yù)測(cè)精度的本質(zhì)分析endprint

1.光滑度分析

許多研究實(shí)例表明，原始數(shù)據(jù)序列的光滑度影響所建灰色預(yù)測(cè)模型的擬合和預(yù)測(cè)精度.但是在實(shí)際問(wèn)題中許多原始數(shù)據(jù)序列的光滑度比較低，這就限制了灰色GM（1，1）模型的使用范圍.為了提高灰色預(yù)測(cè)模型的預(yù)測(cè)精度，有的研究文獻(xiàn)提出了對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)數(shù)函數(shù)變換、冪函數(shù)變換以及指數(shù)函數(shù)變換來(lái)提高離散數(shù)據(jù)序列光滑度的方法，并在實(shí)際應(yīng)用中取得了滿(mǎn)意的效果.提高光滑度的函數(shù)變換方法有很多，常見(jiàn)的有冪函數(shù)-指數(shù)函數(shù)變換、指數(shù)函數(shù)變換、對(duì)數(shù)函數(shù)-冪函數(shù)函數(shù)變換三種.也有文獻(xiàn)對(duì)這幾類(lèi)函數(shù)變換后所得的GM（1，1）模型預(yù)測(cè)精度進(jìn)行了對(duì)比，光滑度提高從大到小為冪函數(shù)-指數(shù)函數(shù)變換、指數(shù)函數(shù)變換、對(duì)數(shù)函數(shù)-冪函數(shù)變換，但是函數(shù)變換后GM（1，1）模型的預(yù)測(cè)精度從大到小則為對(duì)數(shù)函數(shù)-冪函數(shù)變換、指數(shù)函數(shù)變換、冪函數(shù)-指數(shù)函數(shù)變換，剛好與光滑度的提高相反.說(shuō)明提高光滑度和模型預(yù)測(cè)精度并無(wú)直接關(guān)系.

2.模型模擬序列分析

從式（5.1）對(duì)原始數(shù)據(jù)的計(jì)算結(jié)果可知：

從這個(gè)式子可以看出，模擬序列經(jīng)過(guò)了變換，不再是純指數(shù)序列，轉(zhuǎn)換成一個(gè)非齊次指數(shù)序列，而原始數(shù)據(jù)的發(fā)展越接近這個(gè)非齊次指數(shù)發(fā)展，因此經(jīng)過(guò)線(xiàn)性函數(shù)變換后所得到的GM（1，1）模型的擬合精度自然也就越高.

六、構(gòu)建直接離散GM（1，1）模型

（一）均值GM（1，1）模型的遞推

均值GM（1，1）模型的白化微分方程的時(shí)間響應(yīng)式為

不難看出兩者還是存在一定差距的，差值為Δ，差別的存在也說(shuō)明上述求得的白化型響應(yīng)式與對(duì)應(yīng)的灰微分方程的真正解還有一定的差距，通過(guò)最小二乘法進(jìn)行估計(jì)所得到的真實(shí)“最小”結(jié)果也不是其真實(shí)解，模型經(jīng)過(guò)白化處理后，其求解過(guò)程出現(xiàn)了一定的誤差Δ，所以為了在計(jì)算中規(guī)避這個(gè)誤差，在進(jìn)行構(gòu)建GM（1，1）模型時(shí)直接將遞推所得結(jié)果式（6.2）作為其最終預(yù)測(cè)式.

（二）直接離散GM（1，1）模型的建立

GM（1，1）模型和離散GM（1，1）模型兩者的模擬序列都是指數(shù)序列，因此其在評(píng)估模型時(shí)就需要原始序列數(shù)據(jù)呈現(xiàn)一個(gè)指數(shù)型的增長(zhǎng)模式，但是在現(xiàn)實(shí)世界獲取的數(shù)據(jù)中，所獲取的原始序列并不是近似指數(shù)增長(zhǎng)，其增長(zhǎng)和變化的規(guī)律更加接近于非齊次指數(shù)，從GM（1，1）白化型響應(yīng)式的計(jì)算中也知道原始數(shù)據(jù)的累加值就滿(mǎn)足了這一點(diǎn)，所以本文結(jié)合原始數(shù)據(jù)累加值進(jìn)行了分析，并以此為基礎(chǔ)構(gòu)建了轉(zhuǎn)換的直接離散GM（1，1）模型，思路和方法為：

（三）對(duì)直接離散GM（1，1）模型進(jìn)一步優(yōu)化的方法

直接離散GM（1，1）模型是能夠?qū)崿F(xiàn)和非齊次指數(shù)序列完全擬合的，但是如果原始數(shù)據(jù)更加接近于一個(gè)非齊次指數(shù)序列，在這種情況下最優(yōu)化的結(jié)果并不是這個(gè)直接離散GM（1，1）模型.GM（1，1）模型以固定的背景值（1-AGO的緊鄰均值）為基礎(chǔ)建模，并假設(shè)緊鄰均值前值和后值對(duì)背景值的貢獻(xiàn)是等權(quán)的，研究發(fā)現(xiàn)這種背景值構(gòu)造方法并不能準(zhǔn)確反映背景值對(duì)整個(gè)預(yù)測(cè)模型的影響.可考慮改取平均值為取緊鄰加權(quán)值：

其中，p，q為背景值生成系數(shù)加權(quán).然后從預(yù)測(cè)和模擬精度出發(fā)，確定各個(gè)參數(shù)的最佳估值，進(jìn)行模型的精度分析與預(yù)測(cè).可分別取p=0.01，q=0.01雙雙按照0.01遞增，直到取值為0.99結(jié)束，依次求出對(duì)應(yīng)p，q狀態(tài)下的平均模擬相對(duì)誤差，取其中最小的平均模擬相對(duì)誤差對(duì)應(yīng)的權(quán)值建立模型進(jìn)行模擬和預(yù)測(cè)分析.

按照GM（1，1）模型的建模思路和方法即可得到其加權(quán)形式基礎(chǔ)上的GM（1，1）模型，稱(chēng)為RGM（1，1），而這個(gè)模型的直接響應(yīng)式即為

另外，加權(quán)的權(quán)重變化也會(huì)影響其最小二乘法的計(jì)算結(jié)果，同時(shí)也會(huì)影響參數(shù)的值，所以加權(quán)值不同，其預(yù)測(cè)精度自然也是不同的.初始值的優(yōu)化是必需的處理過(guò)程，但是要知道初始值優(yōu)化和權(quán)值優(yōu)化并不是相對(duì)獨(dú)立的，而是相互影響和相互制約的，因此必須實(shí)現(xiàn)同步優(yōu)化從而得到最小的殘差平方和結(jié)果.為此參考了模式搜索法對(duì)其進(jìn)行了優(yōu)化，優(yōu)化的方式是在原式中添加修正項(xiàng)：

七、實(shí)例驗(yàn)證分析

這里以某市2003—2012年市均醫(yī)院床位數(shù)（萬(wàn)張）進(jìn)行建模，并預(yù)測(cè)其在2013年和2014年的市均醫(yī)院床位數(shù).基于GM（1，1）建立模型，對(duì)其變換所得到的GM（1，1）模型的預(yù)測(cè)精度進(jìn)行分析，通過(guò)模式搜索法以及優(yōu)化后的直接離散GM（1，1）模型可以求解得出p，q和β的值：

從這個(gè)表中我們可以知道，平均相對(duì)誤差的值最高的是GM（1，1）模型，為2.16%，其次分別是線(xiàn)性函數(shù)變換模型0.62%和RGM（1，1）模型1.22%.從不同模型的預(yù)測(cè)值結(jié)果來(lái)看，線(xiàn)性函數(shù)的預(yù)測(cè)精度并不比其他兩種模型低，而一個(gè)模擬序列和經(jīng)過(guò)線(xiàn)性函數(shù)變換后獲得的GM（1，1）模型有著一個(gè)共同點(diǎn)，即兩者同為非齊次指數(shù)序列，且直接離散GM（1，1）模型并沒(méi)有修改任何數(shù)據(jù)，也就是說(shuō)沒(méi)有對(duì)原始數(shù)據(jù)做任何改動(dòng)反而得到了和一次函數(shù)變換后GM（1，1）模型同樣的預(yù)測(cè)精確度，驗(yàn)證了要想提高模型的預(yù)測(cè)精度必要條件并不一定是提高數(shù)據(jù)的光滑度，相反改變模擬序列的特征，并讓模擬序列與原始數(shù)據(jù)的變化規(guī)律更相近，對(duì)于提高模型預(yù)測(cè)精度的意義更大.

八、結(jié) 語(yǔ)

通過(guò)對(duì)優(yōu)化模型、改善模型的模擬、預(yù)測(cè)效果，我們從模擬序列的角度對(duì)線(xiàn)性函數(shù)變換后的GM（1，1）模型預(yù)測(cè)精度進(jìn)行了分析，并對(duì)其預(yù)測(cè)精度的提升本質(zhì)原因進(jìn)行了計(jì)算和驗(yàn)證，結(jié)果顯示提高精度的本質(zhì)過(guò)程是模擬序列轉(zhuǎn)變成了一個(gè)純指數(shù)序列，正是由于這個(gè)轉(zhuǎn)變提升了模型的預(yù)測(cè)精度.同時(shí)，對(duì)直接離散GM（1，1）模型的建立進(jìn)行了分析和討論，直接離散GM（1，1）同樣也是一個(gè)非齊次指數(shù)序列，但是并沒(méi)有對(duì)原始數(shù)據(jù)做任何的修改，卻獲得了相同的預(yù)測(cè)精度，即要想提高模型的預(yù)測(cè)精度必要條件并不一定是提高數(shù)據(jù)的光滑度，相反改變模擬序列的特征，并讓模擬序列與原始數(shù)據(jù)的變化規(guī)律更相近，對(duì)于提高模型預(yù)測(cè)精度的意義更大，為實(shí)際建模過(guò)程提供了多種可能的選擇.endprint

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