基于圖像信息熵的p tychography軸向距離誤差校正?

竇健泰 高志山 馬駿?袁操今 楊忠明

1)(南京理工大學電子工程與光電技術學院,南京 210094)

2)(南京師范大學物理科學與技術學院,南京 210097)

基于圖像信息熵的p tychography軸向距離誤差校正?

竇健泰1)高志山1)馬駿1)?袁操今2)楊忠明1)

1)(南京理工大學電子工程與光電技術學院,南京 210094)

2)(南京師范大學物理科學與技術學院,南京 210097)

(2017年2月26日收到;2017年6月1日收到修改稿)

ptychography,軸向距離誤差,圖像信息熵

1 引 言

相干衍射成像(coherent diff raction imaging,CDI)是一種使用迭代算法直接從測量的衍射圖案中獲得物體的相位的成像技術,其成像分辨率不受光學元件質量的限制,理論上可達到衍射極限[1?4].在X射線和電子束等短波長成像領域中,CDI彌補了高性能光學元件的缺乏對成像質量的影響.但由于其成像視場和收斂速度等方面存在明顯不足,傳統(tǒng)的CDI技術在實際應用中受到較大限制.為解決成像視場和收斂速度的問題,2004年,謝菲爾德大學的Rodenburg等[5?7]以及文獻[8—10]提出了ptychography的方法,該方法是通過物體和照明光之間的相對移動,并在遠場探測器表面形成一組衍射斑,將這些衍射斑記錄后,相鄰的移動位置的衍射斑具有重疊部分,重疊部分的信息有助于相位恢復和加快收斂,進而可準確地重建出被測物體的振幅和相位信息.與CDI相比,ptychography具有收斂快、視場大、可靠性高等優(yōu)點,目前已應用在可見光、X射線和電子束成像領域[11?14].

Ptychography在應用中要求照明場的空間分布函數已知,但現實中照明場函數很難精確測量.Maiden和Rodenburg[15]改進了ptychography算法,提出了擴展的ptychography算法,其可同時重建照明場和樣品的復振幅信息.在掃描過程中,由于掃描平臺的掃描精度和漂移等不確定性,嚴重限制了ptychography的精度和分辨率.為校正掃描誤差,提出了共軛梯度算法[16]、遺傳算法[17]、退火方法[18]、全局漂移模型[19]、互相關技術[20]和pcFPM等[21]算法.這些方法雖然可精確校正掃描誤差,但同時增加了處理時間.為了抑制掃描誤差以及減少計算時間,文獻[22—24]提出了通過改變二維掃描方式以及取消掃描方式實現對掃描誤差的校正的方法.在上述提到的迭代方法中,物體和電荷耦合器件(charge coup led device,CCD)或互補金屬氧化物半導體(comp lementary metal oxide seMiconductor,CMOS)之間的軸向距離是參與整個計算過程的,所以軸向距離誤差會影響最終的重建結果.在實際測量軸向距離時,由于CCD或CMOS保護玻璃的存在,實測的軸向距離不是有效軸向距離,所以很難精確測量物到光強記錄面的軸向距離,軸向距離誤差會使重現的圖像模糊,并降低其分辨率.

為校正ptcychography算法中的軸向距離誤差,本文提出了一種基于圖像信息熵的軸向誤差校正方法,該方法不僅適用于有常規(guī)掃描的p tychography算法,也適用了各種改進的p tychography算法.本文基于菲涅耳積分理論,建立了一個軸向距離誤差模型,指出軸向距離誤差會使重構圖像具有彌散性像差,導致圖像模糊.當軸向距離誤差過大時會嚴重影響重構圖像的清晰度,進而降低圖像的分辨率.根據軸向距離誤差對重構圖像的清晰度的影響,在迭代過程中使用圖像信息熵可確定圖像最清晰時對應的軸向距離,從而實現校正軸向距離誤差.

2 理 論

2.1 軸向距離誤差理論模型

在迭代的ptychography算法中,照明場P(x0,y0)與物體O(x0,y0)在物平面上相作用,即物平面出射波前U0(x0,y0)=P(x0,y0)*O(x0,y0),將U0(x0,y0)由衍射理論傳輸到記錄平面得到U(x,y).在記錄平面上做強度限制,即將記錄平面實際采集到的衍射斑強度替換U(x,y)的強度,然后逆向傳輸回物平面,再經ptychography的算法更新相應的物函數O(x0,y0)和照明場函數P(x0,y0),詳細的ptychography算法見參考文獻[11—15,22—24].物平面到記錄平面的距離即為軸向距離,其參與了整個迭代過程,若其誤差較大則會影響最終的重建圖像.為分析軸向距離誤差對復原結果的影響,本文根據菲涅耳衍射理論建立了軸向距離誤差模型,當軸向距離為α2-d,α為延展因子,d是實際的軸向距離,記錄平面的復振幅U(x,y)可由菲涅耳衍射理論推導如下:

U(x,y)

其中(x0,y0)和(x,y)分別表示物平面和記錄平面的坐標;k=2π/λ,λ是工作波長.

記錄平面在實際軸向距離接收的復振幅Ua(x,y)的菲涅耳衍射公式的表達如下:

當U(x,y)傳輸到記錄平面,需用實際采集的強度信息替換U(x,y)的強度,所以在重建圖像時,(1)和(2)式的模應相等,所以將(1)式進行坐標變換,變換結果如下:

但是，俄羅斯源于政府缺乏穩(wěn)定社會基礎的政治危機并未隨之消逝，其表征為權力的轉移并非極權體制向民主政治的轉軌，而是彰顯出精英轉換的色調。面對這種不容樂觀的態(tài)勢，對導致政黨政治在國家政治生活實踐中的實際重要性降低的制度進行調治厘革，是使成長中的俄羅斯民主得以發(fā)展并鞏固的有效途徑，唯有如此才能完善俄羅斯的政黨政治制度。

其 中x′= x0/α,y′= y0/α,U0(αx′,αy′)=P(αx′,αy′)*O(αx′,αy′), 此時物平面坐標系由(x0,y0)轉化成(x′,y′). 當軸向誤差存在時,重建的圖像會產生彌散性像差,從而使圖像模糊.當軸向誤差不同時,對重建像的影響不同,造成圖像的模糊程度也不同.

2.2 基于圖像信息熵的軸向距離誤差校正算法

圖像清晰度評價函數是圖像的自動調焦技術的核心[25?27],基于圖像的自動調焦過程是清晰度評價函數對不同位置圖像清晰程度的評價過程,當評價函數值達到峰值時,此時圖像最清晰,對應的位置即被認定為聚焦位置.為保證定位精度,理想的清晰度評價函數應具有無偏性、單峰性、靈敏度高等特性.基于上述的軸向距離誤差理論模型,我們可認為在軸向距離參與迭代的ptychography算法中,校正軸向距離誤差的過程和自動調焦的過程相同.如(5)式所示,本文將圖像信息熵[28],作為圖像清晰度評價函數引入到迭代過程中,在迭代過程中不斷修復距離,直到尋找到評價函數的峰值才停止,此時將最終的軸向距離繼續(xù)代入迭代循環(huán),重構出清晰的圖像.

在迭代次數m＜Mt或收斂判斷函數C(m)＜T時,迭代的ptychograph算法始終將粗測初始軸向距離代入,其中Mt和T分別為閾值,當大于Mt或小于T時,我們認為迭代過程處于收斂情況,即重構圖像的灰度值變化不再明顯.當迭代達到收斂時,引入軸向距離校正函數dc(n)和圖像信息熵f(dc).

其中d是初始的粗測軸向距離.β(n)可以是常數,也可以是關于n的函數,該函數可放大或縮小校正程度e,從而控制校正軸向誤差的速度.γ表示為搜索方向,γ=1為正向搜索即增加軸向距離,反之,γ=?1為逆向搜索即減少軸向距離,γ的詳細表達式如(6)式所示.n是在校正軸向誤差循環(huán)中的迭代次數,即n=m?Mt(m＞Mt).|O(dc)|是在軸向距離為dc的物平面上的重構像的模,M和N是|O(dc)|的元素總數.

圖像信息熵f(dc)是計算在軸向距離dc時物平面上重建圖像的強度清晰度,f(dc)具有無偏性、單峰性、靈敏度高等特點.f(dc)的梯度變化可反映搜索理想軸向距離的方向,如(6)式中γ所示,當f(dc(n+1))?f(dc(n))＞0,搜索方向為正向即增加代入的軸向距離,反之,減少代入軸向距離的值.當f(dc)滿足(7)式時,圖像信息熵到達峰值,即圖像最清晰的位置,校正軸向距離誤差函數dc(n)停止更新,并將f(dc(n))對應的軸向距離代入迭代中,直至達到收斂條件停止(C(m)＜Tc,Tc＜T).

在本文中選用了圖像信息熵作為圖像清晰度評價函數,并與圖像能量變化和Tamura系數比較[27,28],如(8)和(9)式所示.

圖1 (網刊彩色)校正軸向距離誤差算法流程圖Fig.1.(color on line)FloWd iagraMof the axial distance error correction algorithm.

其中|O(dc)|是在軸向距離為dc的物平面上的重構像的模,σ(.)是計算矩陣標準差的函數,〈.〉是計算矩陣平均值的函數,M和N是|O(dc)|的元素總數.

圖1描述了基于圖像信息熵的軸向距離誤差校正算法的流程,該流程共包含四個部分:初始計算、判斷搜索的方向、軸向誤差校正以及重構清晰物.初始計算部分是確保在進入其他部分時,隨著迭代的進行,重構物的復振幅信息趨于穩(wěn)定,這樣可保證圖像信息熵在校正軸向誤差時的精確度.判斷搜索方向部分是確定初始的軸向距離是大于實際軸向距離或小于實際軸向離.軸向誤差校正部分是尋找圖像清晰度分布曲線的峰值,峰值對應圖像最清晰時的位置.當峰值位置確定后,軸向距離取峰值對應的值,保持該軸向距離不變代入算法,進入重構清晰物部分,從而實現消除軸向距離誤差獲取清晰物的目的.

3 仿 真

為驗證本文提出方法的正確性,我們設計了仿真計算,該仿真選用了如下系統(tǒng)參數:工作波長λ=632.8 nm,CCD具有1024×1024像素,每個像素尺寸是4.4μm×4.4μm.選用了常規(guī)的掃描式ptychography算法作為主體程序,照明光闌的直徑是200個像素,掃描的步長是80個像素,共掃描了4×4個位置.待測物體到CCD的實際軸向距離是75mm.

3.1 軸向距離誤差對復原結果的影響

由于CCD或CMOS到物平面的距離很難精確測量,代入迭代循環(huán)計算中的軸向距離存在誤差,如果誤差過大會使重現的圖像模糊,并引起圖像分辨率降低.本節(jié)分析軸向距離誤差對復原結果的影響,并引入均方差(mean square error,MSE)作為軸向距離誤差對重構結果影響的評定.

其中O(m,n)和OR(m,n)是被測物體和重構物體的振幅或相位,M和N是參與計算的矩陣元素數目.

圖2給出了不同軸向距離時的重構結果以及關于軸向距離誤差的MSE.圖2(a)是在理想軸向距離下的復原結果,其軸向距離d=75 mm;圖2(b)是在軸向距離d=74.99 mm下的復原結果,其存在軸向距離誤差?d=?0.01 mm;圖2(c)是在軸向距離d=74.8 mm下的復原結果,其存在軸向距離誤差?d=?0.2 mm.比較圖2(a)和圖2(b)中紅色矩形框中可發(fā)現軸向距離誤差?d=?0.01 mm時對重構結果的清晰度影響可忽略不計,對分辨率的影響也可忽略不計.而軸向距離誤差?d=?0.2 mm對重構結果的影響很嚴重,尤其是紅色矩形框中,線對和數字已經變得模糊,嚴重影響了重構圖像的分辨率.為分析軸向距離誤差對復原結果的影響,選取歸一化灰度值的Lena圖像作為被測物體的振幅和相位,圖2(d)描述了不同軸向距離誤差對Lena重構結果的MSE的影響,可發(fā)現當軸向距離誤差絕對值小于0.01 mm,MSE的變化很小,可認為在此范圍內軸向距離誤差對重構結果無影響.

3.2 圖像清晰度在迭代過程中的變化規(guī)律

在ptychography算法中,隨著迭代,重構物體的強度信息趨于穩(wěn)定,增加迭代次數的強度信息變化微乎其微,此時引入圖形清晰度受迭代次數的影響較小.本節(jié)討論圖像能量變化、Tamura系數和圖像信息熵這三種圖像清晰度評價函數在重構物收斂后的迭代過程中的變化規(guī)律,根據圖像清晰度評價函數的單峰性確定峰值位置,即圖像最清晰位置,此位置對應的軸向距離即為實際測量時的軸向距離.圖3給出了初始軸向距離為d=74 mm和d=75.9 mm時的圖像清晰度分布曲線,理想軸向距離為d=75 mm.為方便比較不同圖像清晰度在相同情況下的分布情況,在迭代次數m＞100之后,我們設置β(n)=n,校正程度e=0.1 mm,對圖3(a),γ=1,而在圖3(b)中γ= ?1.從圖3中,可發(fā)現歸一化的圖像能量變化、Tamura系數和圖像信息熵都具有單峰性,且峰值位置相同,該位置對應的軸向距離為d=75 mm,與理想軸向距離相同,說明圖像清晰度可用于確定軸向距離.比較圖像能量變化、Tamura系數和圖像信息熵的清晰度分布,可發(fā)現圖像信息熵相比于其他兩個具有更高的靈敏性,所以本文選用圖像信息熵作為校正軸向距離誤差所用的圖像清晰度評價函數.

圖2 (網刊彩色)軸向距離誤差對復原結果的影響 (a)理想距離下復原結果;(b)在軸向距離誤差為?0.01 mm的復原結果;(c)在軸向距離誤差為?0.2 mm的復原結果;(d)關于軸向距離誤差的MSEFig.2.(color online)Eff ect of axial distance error on the retrieved iMage:(a)Retrieved iMage With the actual axial distance;(b)retrieved iMage With the axial d istance error?0.01 mm;(c)retrieved iMage With the axial d istance error?0.2 mm;(d)MSE based on the axial distance error.

圖3 (網刊彩色)關于軸向距離的圖像清晰度 (a)初始軸向距離d=74 mm;(b)初始軸向距離d=75.9 mmFig.3.(color on line)IMage sharpness based on axial d istance:(a)Initial axial d istance d=74 mm;(b)initial axial d istance d=75.9 mm.

3.3 校正軸向誤差前后仿真結果比較

圖4 (網刊彩色)仿真結果比較 (a)理想距離下復原結果;(b)軸向距離d=74.5 mm;(c)關于軸向距離的圖像清晰度;(d)校正軸向距離后復原結果Fig.4.(color on line)CoMparisons of siMu lation resu lts:(a)Retrieved resu lt With ideal axial d istance;(b)retrieved resu lt With axial distance d=74.5 mm;(c)iMage sharpness based on axial d istance;(d)retrieved resu lt With corrected ideal axial d istance.

現仿真軸向距離誤差校正的過程,仍選擇分辨率版作為待測物體. 理想的軸向距離是d=75 mm,實際代入迭代過程的軸向距離是d=74.5 mm.圖4(a)是在理想軸向距離下重構的結果,圖4(b)是在軸向距離d=74.5mm時重構的結果,可發(fā)現軸向距離誤差存在時,重構像變得模糊,很難分辨原始圖像中的數字和線對.在迭代次數M＞ 100之后,我們設置β(n)=n、γ=1、校正程度e=0.005mm進行搜索圖像最清晰時的位置.圖4(c)給出了歸一化的圖像能量變化、Tamura系數和圖像信息熵在搜索圖形清晰度峰值時的變化曲線,可發(fā)現本文采用的三種圖像清晰度評價函數峰值均處于d=75 mm位置,證明了圖像清晰度可用于確定軸向距離.圖4(c)也指出圖像信息熵相比其他另外兩種圖像清晰度評價函數具有更高的靈敏性.當搜索到圖像清晰度的峰值后,保留峰值所處的軸向距離,并代入迭代的ptychography程序中,繼續(xù)更新物函數直至滿足下一次的收斂情況.圖4(d)是最終的復原結果,線對和數字都變清楚,與理想情況下的復原結果非常接近.該仿真結果證明了本文提出的基于圖像清晰度評價函數的ptychography軸向距離誤差校正的方法是正確的.

4 實 驗

基于仿真的結果,搭建了一套用于驗證本文提出軸向距離誤差校正方法的ptychography系統(tǒng),實驗的具體結構如圖5所示.激光光源采用波長為632.8 nm的He-Ne激光器.激光光束經擴束準直后成平面波,再依次通過可變的小孔光闌到達樣品表面,最后由CCD采集衍射圖樣.CCD選用的是8 bit,1600×1200個像素,像素尺寸是(4.4×4.4)μm2.X-Y方向的掃描平臺是選用ThorlabsMTS50-Z8,在本實驗中的掃描步長是0.2mm,孔徑光闌的直徑是1mm.

圖5 (網刊彩色)實驗系統(tǒng)結構Fig.5.(color on line)Structure of the experiMental system.

在實際實驗中,由于CCD窗口深度的問題很難精確測量物體到CCD靶面的軸向距離,將測量得到的距離代入迭代循環(huán)中必然會引入軸向距離誤差,導致重構結構的分辨率降低.如圖5的實驗系統(tǒng)中,初始測量的軸向距離d=100 mm,將初始距離代入p tychography算法中,圖6(a)展示了在d=100 mm時的復原結果,重構的物體很模糊,說明初始的軸向距離與真實的軸向距離相差甚遠.圖6(b)是經軸向距離誤差校正后(d=107.83mm)的復原結果,與圖6(a)相比,重構物具有更清晰的邊緣輪廓信息.

圖6 (網刊彩色)實驗結果 (a)初始軸向距離d=100 mm時復原結果;(b)軸向距離誤差校正后復原結果Fig.6.(color on line)ExperiMental resu lts:(a)Retrieved resu lts With initial axial d istance d=100 mm;(b)retrieved resu ltsWith axial distance error correction.

5 結 論

在被測物體與CCD軸向距離參與運算的ptychography算法中,由于CCD窗口深度的問題,軸向距離誤差無法避免,而過大的軸向距離誤差會嚴重影響重構結果的清晰度和分辨率.本文提出了一種基于圖像信息熵的ptychography軸向距離誤差校正的方法,該方法是在算法滿足收斂條件后,引入軸向距離校正函數,同時計算每個軸向距離下的圖像清晰度.根據圖像信息熵的單峰性,可確定圖像最清晰時對應的軸向距離,保留此軸向距離繼續(xù)代入ptychography算法當再次滿足收斂條件后,便可重構出清晰的物體,達到校正軸向距離誤差的目的.圖像信息熵具有單峰性,峰值位置對應圖像最清晰時的軸向距離,圖像信息熵相比于圖像能量變化以及Tamura系數具有更高的靈敏性,更適合于校正軸向距離誤差.通過模擬仿真以及實驗均證實了本文提出的方法可用于校正軸向距離誤差.本文提出的軸向距離誤差校正方法不僅適用于ptychography算法,也適用于其他軸向距離參與迭代運算的相位復原算法.

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*Project supported by the National Natural Science Foundation of China(G rant Nos.61575095,61377015,61505080)and Young E lite Scientist Sponsorship PrograMby Chinese Association for Science and Technology(G rant No.2015QNRC 001).

?Corresponding author.E-Mail:Majun@n just.edu.cn

Correction of ax ial d istance error in p tychography based on iMage in forMation entropy?

Dou Jian-Tai1)Gao Zhi-Shan1)Ma Jun1)?Yuan Cao-Jin2)Yang Zhong-Ming1)
1)(School of Electronic and Optical Engineering,Nanjing University of Science and Technology,Nanjing 210094,China)
2)(DepartMent of Physics,Nanjing NorMal University,Nanjing 210097,China)

26 February 2017;revised Manuscrip t

1 June 2017)

Ptychography p rovides an extreMely robust and highly convergent algorithMto reconstruct the speciMen phase With a Wide field of view.The resolution and accuracy of ptychography are severely restricted by the uncertainty of the position error that includes the scanning position and axial distance error.In fact,it is diffi cult to accurately Measure the distance between the target p lane and entrance pupil of charge-coup led device(CCD)or coMp leMentary metal oxide seMiconductor,which results in the axial distance error.The axial distance error can b lur the reconstructed iMage,degrade the reconstruction quality and reduce the resolution.In order to analyze the eff ect of the axial distance error,the Model for axial distance error is derived based on the aMp litude constraint in CCD and Fresnel diff raction integral.Thismodel indicates that the axial distance error can cause a stretching deformation of the retrieved image,which is siMilar to the defocusing eff ect caused by diff erent axial distances in holography.In this paper,we propose a method of correcting the axial distance error by using the image in formation entropy in an iterative way to obtain the accurate axial distance and retrieve the distinct iMage.The correction Method based on the iMage inforMation entropy is coMposed of four parts:the initial calculation,the deterMination of the direction search,the axial error correction and the reconstruction of the distinct image.The initial calculation part is to ensure that the intensity of the reconstructed ob ject tends to be stable before entering into the other p rocessing parts.The search direction portion is to indicate that the initial axial distance is greater than the actual axial distance,or less than the actual axial distance.The axial error correction section is to calculate the sharpness values of the image at diff erent axial distance,and find the peak position of the sharpness distribution that corresponds to the position of the clearest iMage.The axial distance can be taken froMthe peak position.The obtained axial distance is again taken into account in the ptychography algorithMto eliMinate the axial distance error and obtain the distinct reconstructed image.In this paper,some simu lations are conducted to verify the feasibility of the proposed Method.The eff ect of the axial distance error is analyzed.The image energy variation,the Tamura coeffi cient and the image in formation entropy are selected as the image definition evaluation functions in our paper.We coMpare the distributions of three image definition evaluation functions in the correction process of the axial distance error.It is found that the iMage in forMation entropy has higher sensitivity than the other image definition evaluation functions.Finally,both simulation and experiment have p roved the feasibility of axial distance error correction based on iMage inforMation entropy.

ptychography,axial distance error,image information entropy

10.7498/aps.66.164203

?國家自然科學基金(批準號:61575095,61377015,61505080)和中國科協(xié)“青年人才托舉工程”(批準號:2015QNRC001)資助的課題.

?通信作者.E-Mail:Majun@n just.edu.cn

?2017中國物理學會C h inese P hysica l Society

http://Wu lixb.iphy.ac.cn