反比例函數(shù)解題技巧

史崢遒

反比例函數(shù)是初中數(shù)學(xué)函數(shù)部分的重要內(nèi)容，是一個(gè)核心知識(shí)點(diǎn).由反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)能衍生出許多數(shù)學(xué)問題.隨著新課改的不斷深入，在近幾年的各地中考數(shù)學(xué)試卷中，以反比例函數(shù)為背景設(shè)計(jì)的新題型也隨處可見，試題難度以低、中檔為主，常見的題型有填空題、選擇題和解答題.同學(xué)們要能熟練運(yùn)用反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)答題.

一、利用反比例函數(shù)圖像的增減性

例1 反比例函數(shù)y=[2x]圖像上有三個(gè)點(diǎn)（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3），其中（x1

【點(diǎn)撥】如果我們能把函數(shù)的圖像大致畫出來(lái)，在圖像上描出三個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，那么我們解決這種問題就相對(duì)比較直觀，也比較簡(jiǎn)單了.

例2 在反比例函數(shù)[1-2mx]的圖像上有兩點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），當(dāng)x1<0

A. m<0 B. m>0

C.[m<12] D.[m>12]

【點(diǎn)撥】對(duì)于這道題，我們必須根據(jù)x與y的關(guān)系先判斷函數(shù)圖像的分布，然后根據(jù)函數(shù)圖像的增減性來(lái)求m值的范圍.

例3 工匠制作某種金屬工具要進(jìn)行材料煅燒和鍛造兩個(gè)工序，即需要將材料煅燒到800℃，然后停止煅燒，進(jìn)行鍛造操作.經(jīng)過(guò)8min時(shí)，材料溫度降為600℃.煅燒時(shí)，溫度y（℃）與時(shí)間x（min）成一次函數(shù)關(guān)系；鍛造時(shí)，溫度y（℃）與時(shí)間x（min）成反比例關(guān)系（如圖1）.已知該材料初始溫度是32℃.

（1）分別求出材料煅燒和鍛造時(shí)y與x的函數(shù)關(guān)系式，并且寫出自變量x的取值范圍；

（2）根據(jù)工藝要求，當(dāng)材料溫度低于480℃時(shí)，須停止操作，那么鍛造的操作時(shí)間有多長(zhǎng)？

【點(diǎn)撥】由圖像可知曲線BC的表達(dá)式是y=[4800x]，在解決第二個(gè)問題時(shí)，科學(xué)的解法應(yīng)該是令y=[4800x]≥480，但由于大家還沒有學(xué)過(guò)分式不等式，那只能先解方程[4800x]=480，然后結(jié)合函數(shù)的增減性得出x≤10.

二、利用反比例函數(shù)表達(dá)式中“k”的幾何意義

研究函數(shù)問題要透視函數(shù)的本質(zhì)特征.反比例函數(shù)y=[kx]（k≠0）中，反比例系數(shù)k有一個(gè)很重要的幾何意義：過(guò)反比例函數(shù)y=[kx（k≠0）]圖像上任意一點(diǎn)P作x軸、y軸的垂線PM、PN，垂足為M、N，則矩形PMON的面積S=PM·PN=[y·x=xy=k].所以，過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)作x軸、y軸的垂線，它們與x軸、y軸所圍成的矩形面積為常數(shù).從而有S△PNO=S△PMO=[12k].在解決有關(guān)反比例函數(shù)的問題時(shí)，若能靈活運(yùn)用反比例函數(shù)中“k”的幾何意義，則會(huì)給解題帶來(lái)很多方便.

應(yīng)用1：比較面積大小.

例4 如圖2，在函數(shù)y=[2x]（x>0）的圖像上有三點(diǎn)A、B、C.過(guò)這三點(diǎn)分別向x軸、y軸作垂線.過(guò)每一點(diǎn)所作的兩條垂線與x軸、y軸圍成的矩形的面積分別為SA、SB、SC，則（ ）.

A. SA>SB>SC B. SA

C. SA

【點(diǎn)撥】根據(jù)反比例函數(shù)中“k”的幾何意義可知SA=2，SB=2，SC=2.所以SA=SB=SC.故選D.

應(yīng)用2：求面積.

例5 若函數(shù)y=kx（k>0）與函數(shù)y=[1x]的圖像相交于A、C兩點(diǎn)，AB垂直x軸于B，則△ABC的面積為（ ）.

A. 1 B. 2 C. k D. k2

【點(diǎn)撥】如圖3，若先求出A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再求△ABC的面積，則解題過(guò)程復(fù)雜煩瑣.若能利用反比例函數(shù)中“k”的幾何意義，則能“快刀斬亂麻”.

解：由反比例函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱知O為AC中點(diǎn).根據(jù)反比例函數(shù)中“k”的幾何意義，有S△ABO=[12×1]=[12].

又因?yàn)椤鰽BO與△BOC是同底等高的三角形，所以S△ABC=2×[12]=1.故選A.

應(yīng)用3：確定解析式.

例6 如圖4，反比例函數(shù)y=[kx][（k≠0）]與一次函數(shù)y=-x-k的圖像相交于A點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作AB⊥x軸于點(diǎn)B.已知S△AOB=2，直線y=-x-k與x軸相交于點(diǎn)C.求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式.

【點(diǎn)撥】由反比例函數(shù)y=[kx][（k≠0）]中“k”的幾何意義知S△AOB=2=[12][k]，故[k=±4].又因?yàn)榉幢壤瘮?shù)圖像在第二、四象限，所以[k=-4].從而可知，兩個(gè)函數(shù)的解析式分別為[y=-4x]和y=-x+4.

三、利用反比例函數(shù)圖像的對(duì)稱性

中心對(duì)稱的實(shí)質(zhì)是旋轉(zhuǎn)變換，與函數(shù)圖像融合時(shí)具有較強(qiáng)的直觀性、操作性，較好地實(shí)現(xiàn)了數(shù)學(xué)基本知識(shí)、空間觀念與多種數(shù)學(xué)思維能力的綜合運(yùn)用，由于反比例函數(shù)的圖像有中心對(duì)稱性，所以可以將非特殊圖形轉(zhuǎn)化為特殊圖形（圓形），解題的關(guān)鍵是面積的割補(bǔ)及對(duì)稱轉(zhuǎn)化.

例7 下圖中正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像相交于A、B兩點(diǎn)，分別以A、B兩點(diǎn)為圓心，作出與y軸相切的兩個(gè)圓，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2），求圖中兩個(gè)陰影面積的和.

【點(diǎn)撥】利用反比例函數(shù)圖像和圓的對(duì)稱性求解.

解：由點(diǎn)A的坐標(biāo)可知，圓的半徑是1，又由反比例函數(shù)的對(duì)稱性知，兩個(gè)陰影部分的面積和應(yīng)為一個(gè)圓的面積，因此圖中兩個(gè)陰影面積的和為π.

例8 已知反比例函數(shù)y=[1x]、y=-[1x]的圖像和一個(gè)圓，則圖中陰影部分的面積是（ ）.

A.π B.2π C.4π D.條件不足，無(wú)法求

【點(diǎn)撥】根據(jù)反比例函數(shù)的圖像的對(duì)稱性和圓的對(duì)稱性得出：圖中陰影部分的面積等于圓的面積的一半，因?yàn)閳A的半徑是2，所以圖中陰影部分的面積是[12]×π×22=2π.故選B.

四、利用一次函數(shù)圖像與反比例函數(shù)圖像的交點(diǎn)

解一次函數(shù)與反比例函數(shù)相結(jié)合的題，要充分利用“交點(diǎn)在兩個(gè)函數(shù)圖像上”這個(gè)有利的條件，確定函數(shù)的關(guān)系式，并結(jié)合圖像，根據(jù)函數(shù)圖像的相關(guān)性質(zhì)分析函數(shù)值之間的關(guān)系.

例9 如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像相交于A、B兩點(diǎn)，則圖中使反比例函數(shù)的值小于一次函數(shù)的值的x的取值范圍是 .

【點(diǎn)撥】由一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像相交于A、B兩點(diǎn)，可知圖中使反比例函數(shù)的值小于一次函數(shù)的值的x的取值范圍是：x<-1或0

此外，還有一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用題，一般它包含兩個(gè)區(qū)間的函數(shù)關(guān)系，因此同學(xué)們?cè)谇髢蓚€(gè)函數(shù)的關(guān)系式時(shí)應(yīng)特別注意轉(zhuǎn)折點(diǎn)（即公共點(diǎn)），它又是自變量的取值范圍的分界點(diǎn).

解決函數(shù)情境應(yīng)用題的核心是通過(guò)觀察和分析圖像、圖表、情境，捕捉有效信息，并對(duì)已獲得的信息進(jìn)行加工、處理和整理，分清變量之間的關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)數(shù)學(xué)模型來(lái)解決問題.

（作者單位：江蘇省溧陽(yáng)市燕山中學(xué)）