運(yùn)用分類討論，培養(yǎng)思維嚴(yán)謹(jǐn)性

段俊婷

(江蘇省蘇州市吳江黎里中學(xué),江蘇 蘇州 215200)

運(yùn)用分類討論，培養(yǎng)思維嚴(yán)謹(jǐn)性

段俊婷

(江蘇省蘇州市吳江黎里中學(xué),江蘇 蘇州 215200)

分類討論思想在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用非常多，廣泛應(yīng)用于代數(shù)和幾何中.本文主要從不等式、方程、等腰三角形和二次函數(shù)四個(gè)方面論述分類討論思想.全面了解分類討論思想對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)大有裨益，可以讓學(xué)生的解題過程變得條理清晰，有條不紊.

分類討論；不等式；函數(shù)；等腰三角形

一、在不等式中的應(yīng)用

分類討論思想與不等式問題的結(jié)合是中考中的一個(gè)重要考點(diǎn).學(xué)生在碰到此類問題時(shí)往往會(huì)由于粗心大意，考慮不周而忽略分類討論.對(duì)不等式問題進(jìn)行分類討論，可以使得解題思路變得清晰，不會(huì)慌不擇路，同時(shí)解題步驟非常的簡(jiǎn)單明了.

例1 解不等式(a+1)x>a2-1.

解析 對(duì)于此題，如果不加區(qū)分，直接在不等式兩邊同時(shí)除以(a+1)，得到x>a-1，顯然是錯(cuò)誤的結(jié)果.這種解法的錯(cuò)誤在于直接將(a+1)當(dāng)成大于0了，這屬于主觀臆想，題目中并沒有條件說明a+1>0.所以需要進(jìn)行分類討論，分類討論的標(biāo)準(zhǔn)就是a+1的符號(hào)，不同的符號(hào)下所得結(jié)果也不一樣.

當(dāng)a+1>0時(shí)，即a>-1，那么不等式兩邊同時(shí)除以一個(gè)正數(shù)，方向不改變，則x>(a2-1)/(a+1)=a-1；當(dāng)a+1=0時(shí)，即a=-1，原來的不等式為0，所以此不等式無解；當(dāng)a+1<0時(shí)，即a<-1，那么不等式兩邊同時(shí)除以一個(gè)負(fù)數(shù)，方向改變，則x<(a2-1)/(a+1)=a-1.所以最后的結(jié)果為：當(dāng)a>-1時(shí)，x>a+1；當(dāng)a=-1時(shí)，無解；當(dāng)a<-1時(shí)，x

點(diǎn)撥 本題根據(jù)x前面系數(shù)的取值將問題分成三類進(jìn)行討論，對(duì)于此類不等式問題只有分別處理，在不同的情況下使用不同的方法，才能得到正確的結(jié)果.不等式問題與分類討論相結(jié)合的問題是初中數(shù)學(xué)中經(jīng)?？疾榈目键c(diǎn)，一定要認(rèn)真對(duì)待.

二、在二次函數(shù)中的應(yīng)用

分類討論思想在函數(shù)中的應(yīng)用非常廣泛，忽視分類討論就會(huì)造成漏解，從而導(dǎo)致解題結(jié)果的錯(cuò)誤.在二次函數(shù)的考查中，經(jīng)常要對(duì)自變量前面的系數(shù)進(jìn)行分類討論，這是初中數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，在學(xué)生平時(shí)的學(xué)習(xí)中需要多花功夫.下面這道題非常具有代表性，希望能夠通過下面的這個(gè)例子，加深學(xué)生對(duì)函數(shù)中分類討論思想的理解.

例2 求函數(shù)y=(k-1)x2-2kx+k的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo).

點(diǎn)撥 當(dāng)函數(shù)自變量的系數(shù)是含有字母的代數(shù)式，在求函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)時(shí)，應(yīng)當(dāng)首先討論系數(shù)的取值，不同的系數(shù)代表著不同的函數(shù)，分類討論必不可少.并且在做題時(shí)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)也要分類討論，不同的坐標(biāo)軸交點(diǎn)解法也不一樣.

三、在方程中的應(yīng)用

方程問題是初中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，方程的類型有很多，初中數(shù)學(xué)中主要考查一元一次方程和二元一次方程.而方程問題與分類討論思想的結(jié)合是一個(gè)重要的考點(diǎn)，本例中的問題就是一個(gè)典型例題，對(duì)于帶有參數(shù)的方程往往都需要運(yùn)用分類討論思想才能順利解題.

例3 現(xiàn)有關(guān)于x的方程(m-4)x2-(2m-1)x+m=0，當(dāng)m取何值時(shí)方程才會(huì)有實(shí)數(shù)根？

解析 此題中方程中x2的前面含有參數(shù)，不能確定方程的類型，方程可能是一元一次方程，那么就會(huì)有一個(gè)實(shí)數(shù)根；也有可能是一元二次方程，可能有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.所以本題就需要對(duì)x2前面的系數(shù)m-4進(jìn)行分類討論.

點(diǎn)撥 通過本題可以看出，方程中分類討論思想的應(yīng)用主要出現(xiàn)在含有參數(shù)的方程中.通過對(duì)參數(shù)的分析，然后才能確定方程的類型，確定方程的類型之后才能進(jìn)行相關(guān)的運(yùn)算.對(duì)于此類問題，一定要全面地考慮問題，不能馬虎大意.

四、在等腰三角形中的應(yīng)用

等腰三角形是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容，在中考中出現(xiàn)的頻率非常高.等腰三角形的考查主要與分類討論思想相結(jié)合，通過分類討論判斷是頂角還是底角，然后才能解決問題.

例4 (1)在等腰三角形ABC中，它的一個(gè)角是80°，那么它的頂角的度數(shù)是( ).

A.80° B.80°或20° C.80°或50° D.20°

(2)在等腰三角形ABC中，它的一個(gè)角是100°，那么

它的頂角的度數(shù)是____.

解析 本例中的兩道題看似差不多，但是解題方法卻不盡然.對(duì)于第一個(gè)問題，本題中所給的條件一個(gè)角是80°，并不能確定是頂角還是底角，所以此時(shí)應(yīng)該進(jìn)行分類討論：當(dāng)80°的角是底角時(shí)，那么頂角的度數(shù)為180°-80°×2=20°；當(dāng)80°的角是頂角時(shí)，三角形的頂角就是80°了.對(duì)于第二個(gè)問題，根據(jù)題意一個(gè)角是100°，而三角形的內(nèi)角和是180°，所以等腰三角形已知的那個(gè)角只能是頂角，所以答案是100°.

點(diǎn)撥 本例中的兩道題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理.對(duì)于題目中沒有明確是頂角還是底角時(shí)，應(yīng)當(dāng)進(jìn)行分類討論.分類討論是解決這類問題的關(guān)鍵所在，只有做好分類討論，避免粗心大意，才能做好這一類題目.

綜上所述，分類討論思想在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用極為廣泛，不僅應(yīng)用于函數(shù)、方程、不等式等代數(shù)問題，在幾何問題中也有相當(dāng)廣泛的應(yīng)用.在學(xué)習(xí)分類討論的過程中，在思想上要高度重視，認(rèn)真歸納和總結(jié)，只有這樣才能不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，從而取得學(xué)習(xí)上的進(jìn)步.

[1]沈華. 引入分類討論思想,使初中數(shù)學(xué)著上別樣色彩[J]. 讀與寫(教育教學(xué)刊) ,2013(07).

[2]何靜. 謹(jǐn)防二次函數(shù)中的“陷阱”[J]. 中學(xué)生數(shù)學(xué),2011(05).

[責(zé)任編輯：李克柏]

2017-06-01

段俊婷(1981.06-)，女，江蘇蘇州人，本科學(xué)歷，中學(xué)一級(jí)教師，主要從事初中數(shù)學(xué)研究與教學(xué).

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