引力波及激光觀測原理

韓 瀟 劉宇星

(北京工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)理學(xué)院,北京 100124)

引力波及激光觀測原理

韓 瀟 劉宇星

(北京工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)理學(xué)院,北京 100124)

近期引力波話題火熱，為使本科生對引力波有系統(tǒng)的了解，本文由愛因斯坦經(jīng)典引力理論出發(fā)，考慮在遠(yuǎn)離場源的弱場近似，細(xì)致推導(dǎo)得到波速為光速、在空間上以橫波形式傳播的引力波的波動方程，并且指出引力波只存在兩種獨(dú)立的極化狀態(tài)，即引力波兩個獨(dú)立的偏振方向。之后對激光觀測引力波實(shí)驗(yàn)的理論進(jìn)行合理性分析。得出裝有法布里-珀羅腔結(jié)構(gòu)的邁克耳孫干涉儀具備觀測引力波能力的結(jié)論。

引力波； 愛因斯坦引力場方程； 弱場近似； 激光觀測

1 引力波概述

1916年，當(dāng)廣義相對論(GR)的場方程完成后，愛因斯坦預(yù)言存在一種引力波。他發(fā)現(xiàn)廣義相對論線性弱場方程具有波動方程形式的解:由場源質(zhì)量四極矩的時間變化產(chǎn)生的空間應(yīng)變橫波，其傳播速度為光速，通俗地講，就是一種由質(zhì)量引起的彎曲褶皺在時空上傳播形成的波[1]。作為一個物理理論，廣義相對論除了預(yù)言水星軌道的近日點(diǎn)進(jìn)動、光子軌線的引力偏折、光頻率的引力紅移3大經(jīng)典檢驗(yàn)以外，還在20世紀(jì)成功預(yù)言引力透鏡效應(yīng)[2]以及銀河系中心人馬座黑洞[3]等。廣義相對論還剩下的一個重大預(yù)言引力波在最近有了新進(jìn)展。

自2016年2月11日L I GO宣布發(fā)現(xiàn)引力波[4]，社會各界興起引力波討論熱，近期再次觀測到引力波[5]，更是將討論熱度提到最高，與此同時人們不禁產(chǎn)生了一些問題：引力場具有何種的數(shù)學(xué)描述？引力理論究竟如何在弱場條件下得到波動形式解？引力波的形式是什么樣的？光束的傳播依托時空，若時空發(fā)生褶皺那又如何由光束體現(xiàn)時空褶皺？等等一系列問題引起本科生的困惑。雖然這些內(nèi)容在大部分教科書(如朗道《場論》等)均有涉及，但對于大部分理工科未選修廣義相對論課程的學(xué)生，這些問題是無法被理解的。本文由最基礎(chǔ)的引力理論開始，逐步介紹引力波的波動方程及物理意義；同時對于少部分選修過廣義相對論課程的學(xué)生，會發(fā)現(xiàn)本文比教科書更為詳細(xì)地討論了弱場條件下波動方程的得出，并且較詳細(xì)地討論了兩種極化的物理意義。

2 弱場方程

對于愛因斯坦場方程

(1)

(2)

可見雷曼張量與時空度規(guī)因子gμ ν是場方程的重要組成，因此討論空間曲率張量特性即可預(yù)見場方程的某些屬性。

愛因斯坦提出廣義相對論時就已經(jīng)預(yù)見引力波的振幅非常小，對此，考慮距離波源極遠(yuǎn)的情景筆者將引力波看作平直空間中有極化方向的線性波，假設(shè)愛因斯坦場可以分為背景場和引力波兩項(xiàng)，并且認(rèn)為背景場是慢變的，引力波是快變的。因此對于時空曲率可以寫出[7]

(3)

式(3)右邊兩項(xiàng)分別對應(yīng)背景場和波動項(xiàng)。應(yīng)注意的是，此式中4個指標(biāo)都在下面，這并不是嚴(yán)格意義上的雷曼張量，但由度規(guī)因子很容易得到：

這種度規(guī)的擾動沒有對參考系作唯一確定的選擇，即x′i=xi+ξi處擾動度規(guī)仍保持為小量。

3 波動方程與極化場

雷曼張量由度規(guī)的二階協(xié)變微商*協(xié)變微商Aα,β在有些教科書又寫作?βAα，再例如hαα,ν,ν又寫作?ν?νhαα的線性組合確定[9]，這是由于

(4)

(5)

代入則有

(6)

(7)

將β與ν交換展開，則有

(8)

用未擾動的度規(guī)ηα ρ對度規(guī)小量升降運(yùn)算，特別注意到，式中第四項(xiàng)在升指標(biāo)后為對hμν的全微分：

(9)

相似的，對于Ricci標(biāo)量

(10)

同時考慮到上一節(jié)中提到對于hμ ν為小量應(yīng)在任意參考系變化下成立，即對于坐標(biāo)變換x′i=xi+ξi，有：

(11)

(12)

將Rμ ν與R代入式(1)，并由上式條件化簡，則對于Ricci張量和度規(guī)擾動hμ ν可以得到簡單的場方程如下[10]

(13)

考慮引力場在遠(yuǎn)離引力源的真空中傳播，則能動張量Tμ ν=0

(14)

這是一個三維波動方程，對比電磁波的波動方程：

(15)

發(fā)現(xiàn)形式極為相近，hμ ν可視為引力波場。

利用轉(zhuǎn)置無跡規(guī)范(transverse traceless gauge)，即假設(shè)引力波沿z軸傳播，震動方向垂直于z軸，引力波張量與時間t有關(guān)的都為零，且引力波場無跡。則hμ ν應(yīng)只有4個分量

(16)

同時考慮到雷曼張量的對稱性(對于Rαβμν有34指標(biāo)反稱，12指標(biāo)反稱，34、12指標(biāo)對稱，234指標(biāo)循環(huán)反稱)，以及場無跡這一基本假設(shè)，分別得到hyx=hxy；hxx=-hyy。因此hμ ν只有兩種獨(dú)立的極化狀態(tài)，即h+和h×。任何引力場的極化都是由這兩種極化的線性組合得到。

對于轉(zhuǎn)置無跡規(guī)范的引力波，注意到雷曼張量是度規(guī)的二階協(xié)變微商的線性組合，可以回到雷曼張量，因此將波動方程改寫成下式：

(17)

指標(biāo)0表示沿t軸的矢量；雷曼張量是含時的，且沿z軸以光速傳播，因此必然可以寫為Rμ 0ν 0=Rμ 0ν 0(t-z/c)的形式。同時類比度規(guī)hμ ν分量的簡化，同樣有Rx 0x 0=-Ry 0y 0，Rx 0y 0=Ry 0x 0。對此方程求解，有：

(18)

h+和h×為極化正弦波，A+和A×為極化振幅。

4 動力學(xué)方程

考慮兩個在弱場中的小質(zhì)量檢驗(yàn)對象A和B處在垂直于引力波傳播方向的平面(x-y面)，當(dāng)引力波經(jīng)過它(由無到有)，根據(jù)牛頓引力理論，引力勢函數(shù)與源的關(guān)系由泊松方程決定，

(19)

(20)

(21)

兩檢驗(yàn)粒子的相對加速度為

(22)

左式：

右式：

因此有潮汐力方程[11]

(23)

對于廣義相對論的引力勢場，可以寫作雷曼張量表述形式，

(24)

并將式(12)代入替換有

(25)

對于兩檢驗(yàn)對象的情況，考慮其一在(0,0,z)，另一在(x,y,z)位置，則有

(26)

(27)

積分則有

(28)

(29)

對于上式的物理解釋：當(dāng)一個檢測質(zhì)量環(huán)在引力場中，且垂直于引力波的傳播方向并假設(shè)z軸坐標(biāo)為零，則質(zhì)量環(huán)的運(yùn)動規(guī)律如圖1。

圖1 引力波經(jīng)過兩個偏振方向時引起的時空變化

具體分析：以圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸上兩點(diǎn)Px1(-x0,0)，Px2(x0,0)，y軸上兩點(diǎn)Py1(0,-y0)，Py2(0,y0)。當(dāng)引力波相位在-π/2到π/2之間時，Px1在x方向的偏離Δx<0，而關(guān)于原點(diǎn)對稱的Px2則有Δx>0，這是由于Δx=hxxx0，式中x0在Px1、Px2兩點(diǎn)分別為-x0、x0。因此在此階段質(zhì)量環(huán)的橫向間距變大。由于引力波振幅hxx=-hyy，因此縱向間距與橫向間距相反，在相位在-π/2到π/2之間時，縱向間距變小，且與橫向的變化量相同，類似的，同樣分析π/2到3π/2的情況，則剛好相反。

對于另一單一極化狀態(tài)，經(jīng)過相似的步驟運(yùn)

算推導(dǎo)，也有類似的結(jié)果：質(zhì)量環(huán)在某一方向上伸縮震蕩。

5 激光觀測

根據(jù)定義兩個自由懸浮做測地運(yùn)動的檢驗(yàn)質(zhì)量之間相對加速度(加速度梯度)可以表示為下式[12]

(30)

其中ξα為相對位移，uν為檢測質(zhì)量四速度，λ為仿射參數(shù)。

同時觀察(26)、(27)兩式，當(dāng)引力波作用兩檢驗(yàn)質(zhì)量時產(chǎn)生加速度，即檢驗(yàn)粒子具有能量，此能量會使粒子在引力波經(jīng)過之后繼續(xù)作簡諧運(yùn)動?？梢姰?dāng)引力波經(jīng)過時，光束可以測量空間中兩檢驗(yàn)粒子的距離變化。因此引力波的探測是可行的。

圖2 單偏振引力波在時空中傳播*Made by Mathematica 10.2

(31)

關(guān)于邁克耳孫干涉儀的著名實(shí)驗(yàn)邁克爾遜-莫雷實(shí)驗(yàn)證實(shí)以太不存在，為狹義相對論的出現(xiàn)作鋪墊。如今LIGO等引力波觀測實(shí)驗(yàn)也采用此原理，或許將證實(shí)廣義相對論的一大預(yù)言。

如圖為激光觀測邁克耳孫干涉儀的原理圖，對于波長λ，兩光束相位差為[13]

(32)

(33)

顯然此觀測方法觀測頻率是有范圍的，干涉儀臂長L越大響應(yīng)越強(qiáng)。如LISA的敏感頻段在3mHz[14,15]，考慮4億光年外兩個重達(dá)10萬倍太陽質(zhì)量的黑洞相互繞轉(zhuǎn)，釋放的引力波振幅在傳播到地球時強(qiáng)度是10-21量級，對應(yīng)相距5×106km的檢驗(yàn)質(zhì)量相對位移為10pm[13]。對于頻率為100Hz，對應(yīng)臂長應(yīng)為75km，這對于地面實(shí)驗(yàn)顯然是無法做到的。因此，各實(shí)驗(yàn)組均對邁克耳孫干涉儀進(jìn)行改進(jìn)，加入法布里-珀羅腔結(jié)構(gòu)，使得激光在腔中多次循環(huán)，以減小腔長。

圖3 邁克耳孫干涉儀原理圖

6 結(jié)語

綜上，基于光速不變時空間隔為零這一特點(diǎn)的激光觀測引力波在理論上是合理的((31)(33)式)，對于引力波振幅極小這一困難，在技術(shù)上通過多次反射折疊使用法布里-珀羅腔結(jié)構(gòu)控制輸出相位，做到放大作用。這同樣也是合理的，因此LIGO對于兩黑洞繞轉(zhuǎn)系統(tǒng)的引力波觀測是較為可信的。

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GRAVITATIONAL WAVES AND THE PRINCIPLE OF LASER OBSERVATION

Han Xiao Liu Yuxing

(Applied School of Mathematic Physics Science, Beijing University of Technology, Beijing 100124)

Gravitational waves become a hot issue recently. In order to make the undergraduates have systematic understanding of it, we review the derivation of gravitational waves in this paper. With Einstein classical gravitational theory, we obtain the wave equation from the weak-field approximation, and then we achieve the conclusion that the transverse waves of spatial strain travels at the speed of light. We point out that the gravitational waves exist only two independent polarized states, which means that the gravitational waves have two independent polarization directions. Furthermore, rationality about laser observation of the gravitational waves is analyzed both from theoretical and experimental aspects. Finally, we find a strategy to observe the gravitational waves by using the Michelson Interferometer with Fabry-Perot Cavity.

gravitational waves; Einstein field equations; weak-field approximation; laser observation

2016-06-22

韓瀟,男,在讀本科生，hx.shadow@qq.com。

韓瀟,劉宇星. 引力波及激光觀測原理[J]. 物理與工程，2017，27(4)：70-74.