“純電阻元件”與“線性元件”概念討論

彭 軍

(湖北省荊州中學(xué) 湖北 荊州 430100)

“純電阻元件”與“線性元件”概念討論

彭 軍

(湖北省荊州中學(xué) 湖北 荊州 430100)

中學(xué)及大學(xué)教材上總是將“純電阻元件”及“線性元件”這兩個(gè)概念同時(shí)介紹，使得這兩個(gè)概念含糊不清.通過(guò)本質(zhì)分析及實(shí)例研究，試圖劃清這兩個(gè)概念的界限，希望對(duì)今后的教材編輯有所幫助.

純電阻 歐姆元件 線性元件

“純電阻元件”和“線性元件”是“恒定電流”部分的兩個(gè)概念，這兩個(gè)概念不論在中學(xué)教材還是大學(xué)教材中都是在介紹歐姆定律時(shí)提出，并且大部分教材對(duì)這兩個(gè)概念的區(qū)分很模糊，給初學(xué)者的印象是這兩個(gè)概念是等價(jià)的[1～3].在這里探討一下這兩個(gè)概念的根源和區(qū)別.

1 “純電阻元件”概念分析

圖1 小燈泡的伏安特性曲線

P=UI

(1)

這個(gè)公式反映了元件從電路中獲得能量的快慢.另一個(gè)重要規(guī)律是焦耳定律，由其推得的元件通電發(fā)熱功率為

PQ=I2R

(2)

這個(gè)公式反映了元件將從電路中得到的電能用來(lái)產(chǎn)生內(nèi)能的部分.值得注意的是式(1)、(2)不論對(duì)于“純電阻元件”還是“非純電阻元件”都是成立的，不難看出如果認(rèn)為P=PQ，則可得到歐姆定律成立.可做出這樣的結(jié)論：元件符合歐姆定律的充要條件，是其將從電路中得到的電能全部轉(zhuǎn)化為電熱.

2 “線性元件”概念分析

接下來(lái)討論另一個(gè)概念“線性元件”.數(shù)學(xué)上的“線性關(guān)系”表示兩個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系為一次函數(shù)，也可以叫做直線關(guān)系，所以作為一個(gè)電路元件，只要其電壓U與電流I之間的關(guān)系是一次函數(shù)，按道理就可以將之稱為“線性元件”.這里需要注意的一點(diǎn)是，正比例關(guān)系其實(shí)只是線性關(guān)系中的一個(gè)特例，不過(guò)原點(diǎn)的直線關(guān)系也是線性的，所以定值電阻固然可以稱作“線性元件”，其實(shí)電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻為定值的電源也是“線性元件”，因?yàn)槠銾-I關(guān)系圖也是直線，如圖2所示.

圖2 電源路端電壓與電流關(guān)系

再討論一下實(shí)驗(yàn)“測(cè)量小燈泡的伏安特性曲線”，因?yàn)樾襞莸腢-I圖不是直線，所以這個(gè)實(shí)驗(yàn)中的白熾小燈泡只能叫“非線性元件”.考慮到這是由于溫度變化導(dǎo)致電阻變化的原因，如果將這個(gè)實(shí)驗(yàn)的環(huán)境變一下，讓小燈泡的燈絲處于一個(gè)熱傳導(dǎo)迅速的恒溫環(huán)境中，再重復(fù)這個(gè)實(shí)驗(yàn)，相信這次得到的U-I圖很可能是一條過(guò)原點(diǎn)的直線了.這說(shuō)明，對(duì)同一個(gè)元件，在不同的環(huán)境之中，其U-I關(guān)系的表現(xiàn)可能是不一樣的，所以一個(gè)元件是否為“線性元件”跟測(cè)量環(huán)境是有關(guān)系的.

那么，一個(gè)“線性元件”的線性到底有什么用，需要如此關(guān)注它呢？線性關(guān)系是所有函數(shù)關(guān)系中最簡(jiǎn)單的，所以一個(gè)元件如果是“線性元件”就說(shuō)明其電壓、電流在電路中容易求解.舉個(gè)例子：

將一個(gè)阻值為R的定值電阻接到一個(gè)電動(dòng)勢(shì)為E，內(nèi)阻為r的電源兩端，如何求解此時(shí)電阻兩端的電壓U和流過(guò)它的電流I？因?yàn)閁是電阻與電源的共同電壓，I是電阻與電源的共同電流，所以U和I既滿足電阻的U-I關(guān)系也滿足電源的U-I關(guān)系，于是聯(lián)立這兩個(gè)U-I關(guān)系

解得

如圖3所示，這就是高中教材上閉合回路歐姆定律的推導(dǎo)方法，可以看到，如果元件都是“線性元件”，最后需要解的是一次方程組，如果元件中存在“非線性元件”，那么式(3)、(4)就不會(huì)是一次方程，要求解的方程組就復(fù)雜得多！

圖3 閉合電路歐姆定律的推導(dǎo)

大學(xué)處理復(fù)雜電路的基本方法是基爾霍夫方程組，其中第一類節(jié)點(diǎn)方程本身就是一次方程，而第二類回路方程只有當(dāng)回路上所有元件都是線性的才會(huì)是一次的.也就是說(shuō)“線性元件”組成的電路，其基爾霍夫方程組才是一次方程組，“非線性元件”組成的電路，其基爾霍夫方程組不是一次方程組.

3 實(shí)例剖析

最后通過(guò)舉例來(lái)突出這兩個(gè)概念的區(qū)別.

一方面，純電阻元件可以是線性元件，也可以是非線性元件.比如白熾小燈泡，當(dāng)控制環(huán)境使其電阻恒定時(shí)，它是線性元件，但是平常做實(shí)驗(yàn)時(shí)，它是非線性元件.

另一方面，非純電阻元件既可以是非線性元件，也可以是線性元件.非純電阻元件是非線性的，這樣的例子在現(xiàn)實(shí)中特別是半導(dǎo)體元件中比比皆是；而電動(dòng)勢(shì)、內(nèi)阻恒定的電源，它是不符合歐姆定律的非純電阻元件，但同時(shí)也是線性元件.也許很多人認(rèn)為電源并不是一個(gè)好例子，我們?cè)倥e一個(gè)線性但非純電阻用電器的例子.

構(gòu)想一個(gè)這樣的電動(dòng)機(jī)：如圖4(a)所示，兩條平行無(wú)電阻導(dǎo)軌MN和PQ形成水平導(dǎo)軌平面，金屬桿ab垂直兩導(dǎo)軌與導(dǎo)軌穩(wěn)定接觸，整個(gè)裝置處于垂直于導(dǎo)軌平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B中，當(dāng)給ab桿加上電壓通電，ab桿就會(huì)在安培力作用下運(yùn)動(dòng)，于是將電能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能，這個(gè)裝置顯然是不符合歐姆定律的.現(xiàn)在假定桿在運(yùn)動(dòng)時(shí)只會(huì)受到一個(gè)與其速度v成正比的阻力f，其大小f=kv，其中k為已知常量，除此之外，桿的有效長(zhǎng)度L，桿的有效電阻R均為已知.另外如果桿的質(zhì)量很小，則桿在通電后的極短時(shí)間內(nèi)即可達(dá)到安培力F與阻力f平衡，因此可以認(rèn)為桿隨時(shí)都處于平衡狀態(tài)，現(xiàn)在推導(dǎo)此時(shí)的U-I關(guān)系.

圖4 設(shè)想的電動(dòng)機(jī)

此電動(dòng)機(jī)的等效電路圖如圖4(b)所示，E為其反電動(dòng)勢(shì)，有

U=E+IR

(7)

根據(jù)動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)規(guī)律

E=BLv

(8)

根據(jù)設(shè)定，阻力

f=kv

(9)

由桿受力平衡，有

F=f

(10)

由安培力性質(zhì)

F=BIL

(11)

由以上式(7)～(11)聯(lián)立可得

(12)

由此可看出，此電動(dòng)機(jī)的電壓U與電流I確實(shí)是線性關(guān)系且是正比例關(guān)系，但它是不符合歐姆定律的非純電阻元件，U=IR明顯對(duì)其不成立.

4 結(jié)論

通過(guò)以上分析及舉例，可以看出“純電阻元件”與“線性元件”兩個(gè)概念，不論從其本質(zhì)含義還是具體實(shí)例來(lái)看，都是沒(méi)有任何聯(lián)系的.教材上將歐姆定律的成立條件與線性元件概念放在一起，讓學(xué)生意識(shí)到金屬材料的U-I關(guān)系是正比例函數(shù)，這對(duì)于電阻這個(gè)量的理解是恰當(dāng)?shù)?，但卻容易造成學(xué)生對(duì)這兩個(gè)概念的認(rèn)識(shí)模糊不清，這的確是物理教材中一個(gè)值得商榷的問(wèn)題!

1 物理課程教材研究開(kāi)發(fā)中心. 物理·選修3-1. 北京：人民教育出版社，2010. 46～47

2 趙凱華，陳熙謀. 電磁學(xué). 北京：高等教育出版社，2011. 160～161

3 沈克琦. 高中物理學(xué)3·電磁學(xué). 合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2015. 60～61

Discussion on the Concepts ofPureResistanceElementsandLinearElements

Peng Jun

(Hubei Jingzhou High School,Jingzhou, Hubei 430100)

“pure resistance element” and “l(fā)inear element” these two concepts will always be introduced at the same time in Middle school and university textbooks, this leads to the ambiguity of the two concepts. This paper tries to draw a clear line between the two concepts through the analysis and examples, hoping to help the future textbook editing.

pure resistor; Ohmic element;linear element

2017-02-04)