遞推式與應(yīng)用

劉許勝

摘 要：通過幾例典型例題說明數(shù)列遞推式在應(yīng)用問題方面的表現(xiàn)特點和解決方法，指出這類問題對鍛煉學(xué)生思維能力所起的作用。

關(guān)鍵詞：遞推式；應(yīng)用問題；思維能力

遞推式是一類廣泛而復(fù)雜的問題，特點是：邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，推理性強，解法靈活開放，有利于思維的發(fā)散性與個性品質(zhì)的培養(yǎng)，主要是轉(zhuǎn)化為：等差數(shù)列與等比數(shù)列求解。

應(yīng)用問題是數(shù)學(xué)知識作用于實際的數(shù)學(xué)問題，是高考和競賽中的熱點，其特點是：內(nèi)容廣泛，對信息收集、語言轉(zhuǎn)換和數(shù)據(jù)處理能力要求高，是應(yīng)用意識與能力培養(yǎng)的素質(zhì)教育的一個主要

方面。

應(yīng)用問題與遞推式結(jié)合既可把數(shù)學(xué)運用于實踐，又可以在實踐中發(fā)展能力，因此在教學(xué)中有意識地從這兩個方面去培養(yǎng)學(xué)生的能力是有益的。下面從幾個方面舉例說明。

1.排序問題

【例1】將1元和2元的兩種硬幣共n元排成一排，總共有多少種不同的排法？

解：設(shè)排法總數(shù)為xn，則x1=1，x2=2，把xn種排法分成兩類：

①頭一張是1元的排法數(shù)就是xn-1；

②頭一張是2元的排法應(yīng)是xn-2。

于是xn=xn-1+xn-2 （n=3，4，5，…）

下面用待定系數(shù)求求通項xn。

引入?yún)?shù)m設(shè)：xn+mxn-1=（m+1）xn-1+xn-2

即xn+mxn-1=（m+1）（xn-1+■xn-2）

令m=■，則m=■，于是

xn-■xn-1=■（xn-1-■xn-2）①

xn-■xn-1=■（xn-1-■xn-2）②

由①式知數(shù)列xn-■xn-1是首項為x2-■x1=■，公比為q1=■的等比數(shù)列，

所以有xn-■xn-1=■（■）n-2=（■）n③

由②式知數(shù)列xn-■xn-1是首項為x2-■x1=■，公比為q1=■的等比數(shù)列，

所以有xn-■xn-1=■（■）n-2=（■）n④

由③④消去xn-1，即得

xn=■（■）n-（■）n

注：這是斐波拉契數(shù)列的遞推式，可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求通項。

2.化學(xué)問題

【例2】容器中有濃度為m%的溶液a升，現(xiàn)從中倒出b升后用水加滿，再倒出b升后用水加滿，這樣進行了10次后溶液的濃度是多少？

解：容易計算每次操作后濃度減少了■，

∴第一次操作后濃度為a1=（1-■）·m%，設(shè)第n次操作后濃度為an，

則有an+1=an·（1-■），于是an是首項為a1=（1-■）·m%，公比為q=1-■的等比數(shù)列，即an=（1-■）n·m%，

∴a10=（1-■）10·m%

注：這是數(shù)學(xué)在化學(xué)中的應(yīng)用。

3.涂色問題

【例3】把一塊圓形木板分成n（n≥2）個扇形：S1，S2，…，Sn，在每一塊木板上涂色，可用紅、黃、綠三種顏色之一涂，要求相鄰扇形顏色不同，問一共有多少種涂法？

解：設(shè)n（n≥2）個扇形的涂法數(shù)為an（n≥2），

當(dāng)n=2時，S1有3種涂法，S2有兩種涂法，∴a2=3×2=6。

當(dāng)n>2時，S1有3種涂法，S2，S3，S4，…，Sn-1，Sn各有兩種涂法，共有3×2n-1種涂法，其中Sn與S1同色時有an-1種涂法，∴an=3×2n-1-an-1，（n≥2），

上式即■=■-■·■

即■-1=-■（■-1），

得數(shù)列■-1是以首項為■-1=■，公比為q=-■的等比數(shù)列，

所以■-1=■，

即an=2n1+■=22n-1+（-1）n，

即當(dāng)n>2時，一共有22n-1+（-1）n種涂色方法。

注：染色問題通常會涉及排列與組合知識，是數(shù)學(xué)競賽中的常見問題。

4.概率問題

【例4】A、B兩人各拿兩顆骰子玩拋擲游戲，規(guī)則是：若拋出的點數(shù)之和為3的倍數(shù)，則繼續(xù)拋；若不是3的倍數(shù)，則由對方拋。先由A開始拋，第n次由A拋的概率為Pn，求Pn？

解：拋兩顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)和為3的倍數(shù)的情況有：（1，2），（2，1），（3，3），（3，6），（6，3），（6，6），（2，4），（4，2），（4，5），（5，4），（1，5），（5，1）共12種可能，第n+1次由A拋這一事件，包含兩類：

①第n次由A拋，第n+1次繼續(xù)由A拋，概率為：■Pn

②第n次由B拋，第n+1次由A拋，概率為：（1-■）（1-Pn）

從而有Pn+1=■Pn+（1-■）（1-Pn）

即Pn+1=-■Pn+■，（其中P1=1）

即Pn+1-■=-■（Pn-■）

于是Pn-■=（P1-■）·（-■）n-1，

即Pn=■+■（-■）n-1。

注：概率問題是博弈論中的中心問題，也是大數(shù)據(jù)中經(jīng)常用到的方法。

5.幾何問題

【例5】觀察下面的圖形有規(guī)律：圖（1）是一個正三角形（邊長為1）；圖（2）是在圖（1）的各邊中央■處向外長出一個正三角形，形成了六角形星形；圖（3）是在圖（2）的每一小邊的中央■處又向外長出一更小的正三角形；如此繼續(xù)下去……

①求第10個幾何圖形的周長L10；

②求第10個圖形的面積S10。

解：設(shè)第n圖形的邊數(shù)為cn，邊長為dn，則由后面一個圖形的邊長是前面的圖形的邊長的■，每條邊增加到四條邊可知；

cn=4cn-1，又c1=3，∴cn=3×4n-1

dn=■dn-1，又d1=1，∴dn=（■）n-1，于是

①第n個圖形的周長為Ln=Ln-1+Cn-1×dn

即Ln=Ln-1+3×4n-2×（■）n-1

∴Ln=Ln-1+■×（■）n-1

用累加法可得Ln=■+3×（■）n-2

∴L10=■+3×（■）10-2=■+3×（■）8

②第n個圖形的面積Sn=Sn-1+cn-1×■×（dn）2

即Sn=Sn-1+3×4n-2×■×（■）2n-2

即Sn=Sn-1+■×（■）n

用累加法可得Sn=■+■×1-（■）n-1

S10=■+■×1-（■）10-1=■+■×1-（■）9

注：本題由一道全國競賽題改編而成。

遞推式與應(yīng)用問題包含的內(nèi)容相當(dāng)廣泛。如：分期付款、旅游開發(fā)、環(huán)境保護、城鎮(zhèn)規(guī)劃、機構(gòu)改革等等，甚至在其他學(xué)科（物理、化學(xué)、生物、體育等）中都存在。此類問題有其廣度和創(chuàng)新度，是一類鍛煉思維能力的好題型。

參考文獻；

[1] 林曉艷.二階超線性差分方程的有界振動[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)，2001（S1）.

[2]楊忠鵬，陳梅香，林國欽.關(guān)于三冪等矩陣的秩特征的研究[J].數(shù)學(xué)研究，2008（3）.

編輯 張珍珍