例談中考數(shù)學(xué)幾何壓軸題的命制方法及創(chuàng)新設(shè)計(jì)

尚凡青+魏相清

[摘 要]從近幾年中考數(shù)學(xué)試題的命題實(shí)踐出發(fā)，總結(jié)了中考數(shù)學(xué)幾何壓軸題的命制方法及創(chuàng)新設(shè)計(jì)思路。在命制方法方面，主要介紹了幾何壓軸題的命題程序；在創(chuàng)新設(shè)計(jì)思路方面，著重介紹了基于幾何壓軸題的設(shè)計(jì)思路的創(chuàng)新考查。

[關(guān)鍵詞]中考數(shù)學(xué)；命制方法；創(chuàng)新設(shè)計(jì)

新課改以來(lái)，中考數(shù)學(xué)試卷最明顯的特點(diǎn)就是加大了對(duì)幾何壓軸題的考查力度，尤其是對(duì)探究性幾何題的考查力度。幾何壓軸題的內(nèi)容豐富，區(qū)分度大，涉及知識(shí)面廣，已逐漸成為中考數(shù)學(xué)試卷的重點(diǎn)題型。綜觀(guān)近幾年全國(guó)各地的中考數(shù)學(xué)試卷，大家都把幾何題作為中考的經(jīng)典題和壓軸題，對(duì)探究性幾何題的考查無(wú)論是考查內(nèi)容還是考查形式都有所創(chuàng)新，體現(xiàn)了中考數(shù)學(xué)學(xué)科命題思路的靈活性、考查視角的新穎性和考查方式的多樣性。幾何壓軸題能較好的考查學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和理性精神，體現(xiàn)以素養(yǎng)立意的命題指導(dǎo)思想。在此，筆者以山東省東營(yíng)市中考數(shù)學(xué)幾何壓軸題的命制為例，談一談對(duì)幾何壓軸題的命制方法及創(chuàng)新設(shè)計(jì)，以期對(duì)中考數(shù)學(xué)幾何壓軸題的命制及備考提供借鑒。

一、幾何壓軸題的命制方法

在中考數(shù)學(xué)試卷中，由于幾何壓軸題的分值較高，而且涉及的考點(diǎn)其他題目都容易回避，所以首先命制幾何壓軸題。通過(guò)對(duì)中考數(shù)學(xué)試題的研究發(fā)現(xiàn)，幾何壓軸題雖然沒(méi)有固定的命題方法，但仍遵循一定的命題思路，我們一般按照“選題—改造—變式”的程序進(jìn)行。

1.利用到各學(xué)校視導(dǎo)聽(tīng)課過(guò)程，收集一些比較經(jīng)典的題目，然后進(jìn)行創(chuàng)編。

在一次某學(xué)校的聽(tīng)課過(guò)程中，有位教師講了這樣一道比較經(jīng)典的題目，引起筆者的注意，當(dāng)時(shí)收集起來(lái)，最終經(jīng)過(guò)創(chuàng)編形成了2017年?yáng)|營(yíng)市中考數(shù)學(xué)幾何壓軸題，題目如下：

如圖，在△ABC中，AB=AC=1，點(diǎn)D、E在直線(xiàn)BC上運(yùn)動(dòng).點(diǎn)D在線(xiàn)段BC的左側(cè)，點(diǎn)E在線(xiàn)段BC的右側(cè). 設(shè)BD =x，CE = y.

（1）如果∠BAC = 30°，∠DAE = 105°，試確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）如果∠BAC的度數(shù)為α，∠DAE的度數(shù)為β，當(dāng)α，β滿(mǎn)足怎樣的關(guān)系式時(shí)，（1）中y與x之間的函數(shù)關(guān)系式還成立，試說(shuō)明理由.

由于此題目比較經(jīng)典，命題組經(jīng)過(guò)思考編制了如下的2017年?yáng)|營(yíng)市中考數(shù)學(xué)的幾何壓軸題第一稿，題目如下：

如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），在A(yíng)C上取一點(diǎn)E，使∠ADE=45°.

（1）求證：△ABD∽△DCE；

（2）設(shè)BD=x，AE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍；

（3）當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí)，求AE的長(zhǎng).

后來(lái)，由于考慮到等腰直角三角形有點(diǎn)特殊，于是繼續(xù)修改，便形成了2017年?yáng)|營(yíng)市中考數(shù)學(xué)的幾何壓軸題最終稿，題目如下：

如圖，在△ABC中，∠BAC=120°， AB=AC=2，點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），在A(yíng)C上取一點(diǎn)E，使∠ADE=30°.

（1）求證：△ABD∽△DCE；

（2）設(shè)BD=x，AE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍.

（3）設(shè)當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí)，求AE的長(zhǎng).

2.利用各地的模擬題、中考題為原題進(jìn)行創(chuàng)編

幾何壓軸題的命制有時(shí)通過(guò)對(duì)原中考題或模擬題進(jìn)行的改造，2016年?yáng)|營(yíng)市中考數(shù)學(xué)幾何壓軸題便是對(duì)一道模擬題進(jìn)行的改造并最終成稿的，原題如下：

如圖l，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四邊形ADEF是正方形，點(diǎn)D、F分別在A(yíng) B、AC邊上，此時(shí)BD=CF，BD⊥CF成立.

（1）當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ （0°<θ<90°）時(shí)，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）當(dāng)正方形ADEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，如圖3，延長(zhǎng)BD交CF于點(diǎn)G.

①求證：BD⊥CF；②當(dāng)AB=4，AD= 時(shí)，求線(xiàn)段BG的長(zhǎng).

經(jīng)過(guò)對(duì)題目仔細(xì)研究發(fā)現(xiàn)，如果對(duì)圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)母淖?，如原圖中“三角形大、正方形小”，換成“正方形大、三角形小”結(jié)論是否仍然成立呢？命題人員利用幾何畫(huà)板驗(yàn)證，結(jié)論仍然成立。此題具有改造的空間，于是便形成了2016年?yáng)|營(yíng)市中考數(shù)學(xué)幾何壓軸題，題目如下：

如圖l，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四邊形ADEF是正方形，點(diǎn)B、C分別在邊AD、AF上，此時(shí)BD=CF，BD⊥CF成立.

（1）當(dāng)△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ （0°< θ <90°）時(shí)，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2）當(dāng)△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，如圖3，延長(zhǎng)DB交CF于點(diǎn)H.

①求證：BD⊥CF；②當(dāng)AB=2，AD=3 時(shí)，求線(xiàn)段DH的長(zhǎng).

二、中考數(shù)學(xué)幾何壓軸題的創(chuàng)新設(shè)計(jì)

邏輯推理是學(xué)生發(fā)展所需的重要的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，回想2014年中考數(shù)學(xué)幾何壓軸題的命制，當(dāng)時(shí)設(shè)想是：改變前幾年的舊習(xí)，結(jié)合初中數(shù)學(xué)四維目標(biāo)的設(shè)定，以純幾何探究為主，適當(dāng)強(qiáng)化幾何推理能力的考查。由于壓軸題一般要求：“起點(diǎn)低，入手易，逐漸增加坡度，區(qū)達(dá)到區(qū)分度大”，使基礎(chǔ)知識(shí)好、數(shù)學(xué)素養(yǎng)好的學(xué)生能脫穎而出。為此，2014年?yáng)|營(yíng)市中考數(shù)學(xué)幾何壓軸題的命制是以課本練習(xí)題目為原型進(jìn)行的創(chuàng)新設(shè)計(jì)。

原始模型（人民教育出版社義務(wù)教育教科書(shū)八年級(jí)下冊(cè)P69頁(yè)第14題）：

如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線(xiàn)于點(diǎn)F，求證AE=EF.（提示：取AB的中點(diǎn)G，連接EG.）

思考1：能否通過(guò)旋轉(zhuǎn)不變性，同時(shí)結(jié)合考查學(xué)生的作圖能力進(jìn)行創(chuàng)編題目？于是便有了下面的第一稿：

如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)且∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分線(xiàn)CF于點(diǎn)F，取邊AB的中點(diǎn)G，連接EG.

（1）求證：EG=CF；

（2）將△ECF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，問(wèn)旋轉(zhuǎn)后CF與EG是什么位置關(guān)系，請(qǐng)進(jìn)行證明， 并在圖中畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的圖形.

上面的第一稿題目雖然滿(mǎn)足預(yù)設(shè)，但是略顯簡(jiǎn)單。

思考2：由于點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，具有特殊性，能否通過(guò)對(duì)點(diǎn)E的位置變化進(jìn)行創(chuàng)編題目？于是便有了下面的第二稿：

如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分線(xiàn)CF于點(diǎn)F.請(qǐng)你認(rèn)真閱讀下面關(guān)于這個(gè)圖的探究片段，完成所提出的問(wèn)題.

（1）探究1：小強(qiáng)看到圖1后，很快發(fā)現(xiàn)AE=EF，這需要證明AE和EF所在的兩個(gè)三角形全等，但△ABE和△ECF顯然不全等（一個(gè)是直角三角形，一個(gè)是鈍角三角形），考慮到點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，因此可以選取AB的中點(diǎn)M，連接EM后嘗試去證△AEM≌EFC就行了，隨即小強(qiáng)寫(xiě)出了如下的證明過(guò)程：

證明：如圖1，取AB的中點(diǎn)M，連接EM.

∵∠AEF=90°，

∴∠FEC+∠AEB=90°，

又∵∠EAM+∠AEB=90°，

∴∠EAM=∠FEC.

∵點(diǎn)E，M分別為正方形的邊BC和AB的中點(diǎn)，

∴AM=EC，

又可知△BME是等腰直角三角形，

∴∠AME=135°.

又∵CF是正方形外角的平分線(xiàn)，

∴∠ECF=135°，

∴△AEM≌△EFC（ASA），

∴AE=EF.

（2）探究2：小強(qiáng)繼續(xù)探索，如圖2，若把條件“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上的任意一點(diǎn)”，其余條件不變，發(fā)現(xiàn)AE=EF仍然成立，請(qǐng)你證明這一結(jié)論.

（3）探究3：小強(qiáng)進(jìn)一步還想試試，如圖3，若把條件“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)”，其余條件仍不變，那么結(jié)論AE=EF是否成立呢？若成立請(qǐng)你完成證明過(guò)程給小強(qiáng)看，若不成立請(qǐng)你說(shuō)明理由.

上面的創(chuàng)編題目，考查了特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)還讓學(xué)生進(jìn)行應(yīng)用，已經(jīng)起到了很好的創(chuàng)新效果，但是學(xué)生的做題能力沒(méi)有得到考查。

思考：正方形具有這樣的性質(zhì)，換一種圖形，如正三角形是否仍然滿(mǎn)足上述性質(zhì)呢？通過(guò)幾何畫(huà)板進(jìn)行度量驗(yàn)證，仍然成立，于是便創(chuàng)編生成了2014年?yáng)|營(yíng)市中考數(shù)學(xué)幾何壓軸題，題目如下：

【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1，△ABC是等邊三角形， ，EF交等邊三角形外角平分線(xiàn)CF所在的直線(xiàn)于點(diǎn)F.當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時(shí)，有AE=EF成立；

【數(shù)學(xué)思考】某數(shù)學(xué)興趣小組在探究AE、EF的關(guān)系時(shí)，運(yùn)用“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想，通過(guò)驗(yàn)證得出如下結(jié)論：當(dāng)點(diǎn)E是直線(xiàn)BC上（B、C除外）任意一點(diǎn)時(shí)（其它條件不變），結(jié)論AE=EF仍然成立.

假如你是該興趣小組中的一員，請(qǐng)你從“點(diǎn)E是線(xiàn)段BC上的任意一點(diǎn)”；“點(diǎn)E是線(xiàn)段BC延長(zhǎng)線(xiàn)上的任意一點(diǎn)”；“點(diǎn)E是線(xiàn)段BC反向延長(zhǎng)線(xiàn)上的任意一點(diǎn)”三種情況中，任選一種情況，在備用圖1中畫(huà)出圖形，并進(jìn)行證明.

【拓展應(yīng)用】當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，若CE = BC，在備用圖2中畫(huà)出圖形，并運(yùn)用上述結(jié)論求出的值.

上面的題目是以教材練習(xí)題目為原型進(jìn)行的創(chuàng)新設(shè)計(jì)，既考查了三角形全等的知識(shí)也考查了三角形相似的知識(shí)，同時(shí)考查了學(xué)生的作圖能力，考察面較廣。整個(gè)題目的創(chuàng)編過(guò)程富有創(chuàng)新性?？梢哉f(shuō)，此題是2014年?yáng)|營(yíng)市中考數(shù)學(xué)試題中一道亮麗的風(fēng)景線(xiàn)！

三、命制幾何壓軸題的注意事項(xiàng)

命制一道高質(zhì)量的幾何壓軸題難就難在它的創(chuàng)新性和開(kāi)放性。創(chuàng)新性可以提高題目的新穎性，開(kāi)放性能有效開(kāi)闊學(xué)生的思維，通過(guò)問(wèn)題讓學(xué)生多思少寫(xiě)。因此要命制一道好的幾何壓軸題還必須注意以下幾點(diǎn)。

1.應(yīng)加大對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)的考查力度

中考幾何壓軸題應(yīng)加大對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)的考查力度，注意學(xué)科的內(nèi)在聯(lián)系和知識(shí)的綜合，因地制宜地編制一些針對(duì)性強(qiáng)、適合學(xué)生學(xué)習(xí)訓(xùn)練的數(shù)學(xué)問(wèn)題，或者精選一些比較成功的幾何壓軸題，有目的的將它們進(jìn)行組合或改編，有意識(shí)的培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。

2.加強(qiáng)對(duì)中考試題的研究

中考幾何壓軸題常出常新，每年都有新題出現(xiàn)。因此，收集整理全國(guó)各地的中考數(shù)學(xué)試題，了解各地中考幾何壓軸題的命題趨勢(shì)，從中尋找靈感，篩選出有亮點(diǎn)的新題，尤其是在變化過(guò)程中尋找不變性，并進(jìn)行仔細(xì)研究，通過(guò)不變的性質(zhì)，將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，進(jìn)而創(chuàng)編出高質(zhì)量的幾何壓軸題。

3.注重對(duì)命題素材的積累

素材積累的越多，命題選擇的余地就越大，命題思路就越開(kāi)闊，試題的新穎度就越高。因此，我們要認(rèn)真研讀《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》等雜志，注重收集整理其中有價(jià)值的新信息、新素材、新題型，及時(shí)做好命題素材積累。

4.命制的幾何壓軸題要滲透數(shù)學(xué)思想方法

要想使學(xué)生“做一題，會(huì)一類(lèi)”，命制的幾何壓軸題要滲透數(shù)學(xué)思想方法，如數(shù)形結(jié)合思想，通過(guò)直觀(guān)的圖形變換揭示不同圖形間的共性，進(jìn)而運(yùn)用化歸思想進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而獲得化歸的切入點(diǎn)，做到舉一反三，融會(huì)貫通。

隨著中考命題改革的不斷深化，幾何壓軸題的命制思路也會(huì)更加靈活，如何對(duì)幾何壓軸題進(jìn)行創(chuàng)新設(shè)計(jì)，已經(jīng)引起越來(lái)越多的命題人員的重視，幾何壓軸題設(shè)計(jì)的技巧和方法也不斷得到發(fā)展和完善，也期待有更多構(gòu)思巧妙、設(shè)計(jì)新穎的好題呈獻(xiàn)給廣大師生。

參考文獻(xiàn)：

[1] 張建躍. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與智慧發(fā)展[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：中旬，2015（7）：4-10.

[2] 魏相清. 對(duì)兩道高考模擬題的解法反思[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2015（11）：33-35.