奏響探究音符 提高解題效益

天津市靜海區(qū)沿莊鎮(zhèn)中學(xué) 劉家良 (郵編:301605)

奏響探究音符 提高解題效益

天津市靜海區(qū)沿莊鎮(zhèn)中學(xué) 劉家良 (郵編:301605)

教者拋出問題時(shí),不要急于將答案呈現(xiàn)給學(xué)生,而是要給足學(xué)生時(shí)間讓學(xué)生去想,大膽去說、去議、去爭(zhēng),激勵(lì)多樣化探究,尊重差異性思維,辯證評(píng)析每類想法,為學(xué)生營(yíng)造一種積極向上的進(jìn)取氛圍.

多種化;探究;尊重差異;辯證評(píng)析

教師布置完一道題后,要給學(xué)生足夠的時(shí)間,以讓學(xué)生靜下心來去想,有了想法時(shí)再讓學(xué)生盡情地去說,說的學(xué)生多了后再讓他們“七嘴八舌”去議、去爭(zhēng)、去評(píng),而此時(shí)的教師應(yīng)盡可能地為每名學(xué)生提供“演說”的機(jī)會(huì),喚醒、激勵(lì)學(xué)生多樣化的探究,要尊重學(xué)生的差異性思維,在此基礎(chǔ)上辯證析評(píng)他們中的每種解法,為學(xué)生營(yíng)造一種積極向上的進(jìn)取氛圍.這樣,既減少了教師唱“獨(dú)角戲”的尷尬場(chǎng)面,又能使我們的習(xí)題教學(xué)能“亂中取勝”.

1 引例呈現(xiàn)

圖1

例 如圖1,AB是☉O的直徑,AB和弦CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P.若∠CAP＝60°,∠P＝20°.求∠DAP的度數(shù).

意圖 2013年人教版教材中關(guān)于圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)相應(yīng)的題中只有一個(gè)(88頁第5題),因訓(xùn)練少,唯恐“水過地皮濕”,特安排此題讓學(xué)生鞏固圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)性(這只是筆者的預(yù)設(shè)).

課堂展示:

師:上節(jié)課中我們學(xué)過圓周角及其性質(zhì)、推論,并由圓周角的性質(zhì)推導(dǎo)出圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).本節(jié)課檢驗(yàn)同學(xué)們對(duì)上述知識(shí)的掌握情況.請(qǐng)大家思考.

生1:“見直徑,想直角”.如圖2,連接BC,則∠ACB＝90°.因∠CAP＝60°,所以∠ABC＝30°.因?yàn)椤螦DC與∠ABC均為弧AC所對(duì)的圓周角,所以∠ADC＝∠ABC＝30°.又∠ADC是△ADP的外角,所以∠DAP＝∠ADC－∠P＝30°－20°＝10°.

圖2

師:生1利用直徑所對(duì)的圓周角為直角和同弧所對(duì)的圓周角相等的性質(zhì),并結(jié)合三角形的外角性質(zhì)得到了所求角的度數(shù),思路流暢、表述準(zhǔn)確.

生2:(話音未落,迫不及待)連接BC,∠ABC＝30°.∠ABC是△CBP的外角,得∠BCP＝10°.又∠DAP與∠BCP同為弧BD所對(duì)的圓周角,故∠DAP＝∠BCP＝10°.

生3:生2和生1都利用了直徑所對(duì)的圓周角為直角、同弧所對(duì)的圓周角相等及其三角形的外角性質(zhì),再者都是將所求角置身于三角形中,雖然視角不同,但轉(zhuǎn)換上可為“異曲同工”.

師:生3將兩名學(xué)生的解法進(jìn)行比較,提煉共性,概括到位,值得同學(xué)們學(xué)習(xí).

圖3

生4:如圖3,連接OC.因∠CAP＝60°,OA＝OC,所以△AOC為等邊三角形,∠AOC＝60°.又圓周角∠ADC和圓心角∠AOC所對(duì)的弧為弧AC,所以

之后就和生1的解法一樣了.

師:生4由∠CAP＝60°聯(lián)想到等邊三角形,并發(fā)現(xiàn)∠ADC和∠AOC之間的關(guān)系,得∠ADC的度數(shù).生3和生1雖都求∠ADC的度數(shù),但路徑有別.同學(xué)們的思維越發(fā)活躍了!

圖4

生5:如圖4,連接OC、OD,得∠OCD＝40°.由OC＝OD,得∠ODC＝∠OCD＝40°.因∠ODC是△ODP的外角,所以∠BOD＝∠ODC－∠P＝ 20°.又圓周角∠DAP和圓心角∠BOD所對(duì)的弧均為弧BD,所以

生6:生5比生4的解法多了一條輔助線,環(huán)節(jié)多,這種方法拙了些!

生7:我不同意生6的看法,環(huán)節(jié)雖多了些,但從這種方法中發(fā)現(xiàn)了DP的長(zhǎng)就是圓的半徑,從這點(diǎn)上看,我應(yīng)給生5點(diǎn)個(gè)贊!

師:追求解法的簡(jiǎn)捷毋容置疑,但只要是自己所想,無論解法是簡(jiǎn)是拙,都值得同學(xué)們?nèi)c(diǎn)贊.生6善于比對(duì),比對(duì)是學(xué)習(xí)過程中不可或缺的習(xí)慣,值得學(xué)習(xí),而生7懂得欣賞別人的長(zhǎng)處,大家應(yīng)追求這種“一分為二”看問題的思維品質(zhì).(拔高調(diào))還有無其他解法?

圖5

生8:(急忙站起)如圖5,連接OD.由于圓周角∠C(∠C＝100°)和優(yōu)角∠AOD所對(duì)的弧均為優(yōu)弧ABD,故優(yōu)角∠AOD＝200°,從而∠BOD＝20°.接下來和生5一樣了.

圖6

師:同學(xué)們從三角形的外角、同一條弧所對(duì)的圓周角和圓心角的關(guān)系作切入,可為“八仙過海,各顯神通”.還有不同的解法嗎?生9:如圖6,點(diǎn)A、B、D、C四點(diǎn)在☉O上,連接BD,可得圓內(nèi)接四邊形ABDC.根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)行,得∠BDC＝180°－∠CAP＝120°.因AB為☉O直徑,所以∠ADB＝90°,∠ADC＝ 30°.接下來和生1的解法一樣了.

師:生9求∠ADC的度數(shù),另辟蹊徑,這種求新求異的精神值得大家學(xué)習(xí).前后共有3個(gè)同學(xué)(生1,生4,生9)從不同角度求得∠ADC的度數(shù).你們的答案是老師始料未及,讓老師由衷佩服!

2 奏響探究多樣之音,提高解題教學(xué)效益

本來設(shè)置此題是來鞏固圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),但課堂生成“偏離”了預(yù)設(shè)的軌道,學(xué)生的多種解法令教師驚嘆,不得不刮目相看了.解題教學(xué)作為課堂重要一環(huán),而此案例恰好為提高解題教學(xué)的效益提供了一個(gè)思路啟示.

2.1 學(xué)生探究,教師要舍得“等”

探個(gè)究竟是人生之俱來的本性,而解題離不開學(xué)生的自我探尋.問題是思維的方向和動(dòng)力,當(dāng)教者提出問題之后,不要急于讓學(xué)生馬上回答,需要耐心“等一等”,給學(xué)生足夠的思考空間和時(shí)間,等出學(xué)生“憤”、“悱”后瞬間閃爍的智慧火花,等到“眾里尋他千百度,驀然回首,那人卻在燈火闌珊處”的驚喜與沖動(dòng)![1]不斷地鼓勵(lì)、啟發(fā),營(yíng)造人人想說、要說、善說的課堂氛圍,張揚(yáng)學(xué)生個(gè)性,久之,個(gè)性化思維就得以綻放,多樣化思維得以齊放.有些老師忙于趕進(jìn)度,出現(xiàn)了“講”替代“探”的現(xiàn)象,壓得學(xué)生喘不過氣來,知識(shí)被做成了“夾生飯”,學(xué)生吃不消,時(shí)間一長(zhǎng),興趣也就索性全無了.所以衡量解題教學(xué)效益要以絕大部分學(xué)生的能力是否能跟得上,思維是否活躍、探究是否多樣為試金石.

案例1 已知☉O的半徑為r,圓心O到直線l的距離為d,且r、d是關(guān)于x的一元二次方程x2＋2mx＋1＝0的兩個(gè)根,若直線l和☉O相切,則m的值為____.

生1:當(dāng)直線l和☉O相切時(shí),有d＝r,此時(shí)關(guān)于x的一元二次方程x2＋2mx＋1＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,所以△＝0,即4m2－4＝0,得m＝±1.

師:有不同的結(jié)果嗎?

生2:m＝－1.因?yàn)榉匠痰膬蓚€(gè)根“身份”特殊,都為正數(shù),由根與系數(shù)的關(guān)系,得r＋d＝－2m＞0,故m＜0,所以m＝1應(yīng)舍去.m＝－1.

眾生:鼓掌!

生3:設(shè)y＝x2＋2mx＋1.由題意,知其圖象應(yīng)為拋物線的一部分,頂點(diǎn)落在x軸上,對(duì)稱軸位于y軸右側(cè),即由此解得的結(jié)果與生2相同.

感情上的事，誰能說得清楚？風(fēng)影開始看著紅琴笑，他什么也不說，只是瞅著她笑，有點(diǎn)兒像佛拈花微笑。這種笑意味深長(zhǎng)，是憐憫她？是鄙夷她？是睥睨她？是譏諷她？抑或是善意地勸導(dǎo)她，開悟她？

眾生:再次鼓掌!

師:這名學(xué)生站在二次函數(shù)圖象的層面去思考,數(shù)形結(jié)合思想用活了.

一個(gè)填空題,僅等了5分鐘,學(xué)生就“補(bǔ)全”了答案,且后者的思維讓同學(xué)們瞠目結(jié)舌.

2.2 鼓勵(lì)和尊重并行

有多樣就存在差異,鼓勵(lì)學(xué)生多樣化思維和尊重學(xué)生差異性思維兩者之間是相輔相成的.所以教師設(shè)置問題時(shí),應(yīng)盡可能多視角性,如開放性試題、一題多解等.同時(shí)對(duì)一個(gè)問題,教師要根據(jù)學(xué)情從多方面做出預(yù)設(shè),遇到這個(gè)問題時(shí)學(xué)生怎么想,存在哪些想法,這樣,教師析評(píng)就會(huì)有的放矢、富有針對(duì)性,而對(duì)學(xué)生沒有考慮到的解法,應(yīng)予以引導(dǎo)或點(diǎn)撥.對(duì)學(xué)生的解答,要引導(dǎo)學(xué)生一分為二,辯證析評(píng),不僅要有稱贊,還要從“拙”的解法中尋找出其蘊(yùn)藏的亮點(diǎn).只要學(xué)生動(dòng)腦想,哪怕“節(jié)外生枝”,都要給其中積極的因素和正確的東西以尊重,別傷害學(xué)生自尊.

案例2 如何尋找一個(gè)圓形紙片的圓心?

分析 隨著“圓”知識(shí)的增厚,途徑越發(fā)廣泛.如將三角板的直角頂點(diǎn)放在圓周上,得到直徑,再取其中點(diǎn);在圓周上任取三點(diǎn)構(gòu)造圓內(nèi)接三角形,作兩邊的垂直平分線,交點(diǎn)即是圓心;在圓周上任取兩點(diǎn)分別作圓的切線,過兩切點(diǎn)分別作兩條切線的垂線,交點(diǎn)即是圓心;將圓對(duì)折兩次,折疊的交點(diǎn)即是圓心.

圖7

案例3 如圖7,在△BEC和△DFA中,點(diǎn)A、E、F、C在同一直線上,現(xiàn)有下面四個(gè)論斷:

(1)AD＝CB;(2)∠B＝∠D;(3)AE＝CF; (4)AD∥BC.

請(qǐng)你用其中的三個(gè)作為條件,余下的一個(gè)作為結(jié)論,編寫一道數(shù)學(xué)問題,并寫出解答過程.

分析 此題考查全等三角形的判定與性質(zhì),因判定法有四種,故此學(xué)生切入點(diǎn)就會(huì)有別.

生:若此題的四個(gè)論斷能分別作為結(jié)論,則出現(xiàn)四種可能,分別是(1),(2),(3)→(4);(1), (2),(4)→(3);(1),(3),(4)→(2);(2),(3),(4)→(1).

師:這四種情況都成立嗎?根據(jù)是什么?

在不斷地追問聲中,學(xué)生在分類中取舍合理,養(yǎng)成了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S.如有部分學(xué)生注意到“(1),(2),(3)→(4)”此種情況不成立.但應(yīng)鼓勵(lì)想到有這種可能情形的學(xué)生.

3 主線貫穿,適時(shí)留白

學(xué)生思維放開了,但教師作為課堂的組織者和引導(dǎo)者,要“放”中有“收”,要從多種方法中引導(dǎo)學(xué)生提煉、概括和歸納解這類題的通法、通則,并從不同的解法中尋找出共同之處.也就是問題解答中的主線,有時(shí)還要在某個(gè)地方適時(shí)“留白”,進(jìn)一步激起學(xué)生的好奇心和求知欲.

圖8

案例4[2]如圖8, Rt△ABC中,∠C＝90°, AB、BC、CA的長(zhǎng)分別為c、a、b,求△ABC的內(nèi)切圓半徑r.(2013年人教版九上103頁習(xí)題24.2第15題)

圖9

分析 有學(xué)生直接用2013年人教版九上98頁練習(xí)第2題的結(jié)論,得,由此得

有的學(xué)生依據(jù)“見切線,連半徑”的思路構(gòu)造正方形,如圖9,根據(jù)切線長(zhǎng)定理,不斷“轉(zhuǎn)移”邊,建立關(guān)于r的方程a－r＋b－r＝c,解得r＝

注 解答的途徑不同,自然體現(xiàn)的思想方法就有別.前者的依據(jù)面積的分割法,而后者注意到相關(guān)邊之間的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化,融入了方程的思想.這兩種都是基本的方法.新的問題來了:同一個(gè)內(nèi)切圓的半徑用兩個(gè)不同的式子表示,有的同學(xué)就想追問個(gè)究竟.那如何證明此時(shí),教師“留白”,供同學(xué)們課下繼續(xù)探究.

當(dāng)一道題的解法不唯一時(shí),教師要珍重這個(gè)素材,點(diǎn)燃學(xué)生的思維之花,鼓勵(lì)學(xué)生別出心裁.同時(shí)讓學(xué)生懂得“三人行,必有我?guī)煛钡牡览?形成相互學(xué)習(xí),取長(zhǎng)補(bǔ)短,在集體中成長(zhǎng)的品行,以此實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教育的育人目標(biāo).

1 劉家良.等一等等在何處[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué),2016 (4):11-13

2 劉家良.適時(shí)鏈接分類整合——首輪中考復(fù)習(xí)的實(shí)踐與思考[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育(初中版),2014(6):63

2017-05-28)