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    滲透合情推理,有效激活教材

    2017-08-20 08:01:37張彩云段如甜
    課程教育研究 2017年29期
    關(guān)鍵詞:圓錐曲線應(yīng)用

    張彩云+段如甜

    【摘要】圓錐曲線作為高考內(nèi)容考查的重點(diǎn),是高中學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容之一。圓錐曲線的第二定義揭示了圓錐曲線的內(nèi)在聯(lián)系,應(yīng)用圓錐曲線的第二定義解題,不僅能夠提高解題效率還有利于培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力。

    【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 圓錐曲線 第二定義 應(yīng)用

    【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089(2017)29-0131-02

    現(xiàn)行人教A版高中數(shù)學(xué)選修1-1教材中圓錐曲線包括橢圓、雙曲線和拋物線,圓錐曲線作為平面解析幾何教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn),一直都是高考中重點(diǎn)考查的內(nèi)容。圓錐曲線的定義不僅是教材中的基本內(nèi)容,也是解決一些與圓錐曲線相關(guān)問題的一種不可或缺的方法。圓錐曲線的第二定義則把焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、離心率巧妙的整合在一起,在解決有關(guān)問題時(shí),若能應(yīng)用第二定義,將起到事半功倍的效果。然而,教材中并未明確的給出圓錐曲線的第二定義,只是以例題的形式呈現(xiàn),內(nèi)容單薄,容易被學(xué)生忽視,如果處理不當(dāng),將直接影響學(xué)生對圓錐曲線統(tǒng)一定義的理解。同時(shí),介于圓錐曲線第二定義的重要性以及幫助學(xué)生建立全面的數(shù)學(xué)知識體系,在教材的基礎(chǔ)之上,將課本中的例題和習(xí)題進(jìn)行有機(jī)的結(jié)合,引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識圓錐曲線的第二定義,并進(jìn)行簡單的應(yīng)用,具體的教學(xué)流程如下:

    一、問題的呈現(xiàn)

    人教A版高中數(shù)學(xué)選修1-1第二章圓錐曲線與方程的第一節(jié)橢圓中的例6[1]:點(diǎn)M(x,y)與定點(diǎn)F(4,0)的距離和它到直線l:x=■的距離的比是常數(shù)■,求點(diǎn)M的軌跡。

    這道例題的設(shè)計(jì),從本節(jié)內(nèi)容上看,實(shí)際上承擔(dān)了三個(gè)教學(xué)目標(biāo):一是考查學(xué)生對橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的理解程度;二是考查學(xué)生求軌跡方程的方法——直接法;三是通過具體的例子使學(xué)生感受橢圓的第二定義。

    二、教學(xué)片斷呈現(xiàn)

    (一)在例題6的教學(xué)中,首先進(jìn)行分析解答得到點(diǎn)M的軌跡方程為■+■=1,點(diǎn)M的軌跡是長軸長、短軸長、焦距分別為10、6、8的橢圓,此時(shí)教學(xué)目標(biāo)一、二實(shí)現(xiàn)。其次,引出橢圓的第二定義,設(shè)計(jì)如下:

    問題1:請學(xué)生獨(dú)立完成課本43頁習(xí)題B組第2題:點(diǎn)P與定點(diǎn)F(2,0)的距離和它到直線l:x=8的距離比是1:2,求點(diǎn)P的軌跡方程,并說明軌跡是什么圖形?

    生1:點(diǎn)P的軌跡方程:■+■=1,點(diǎn)M的軌跡是長軸長、短軸長、焦距分別為8、4■、4的橢圓。

    問題2:請學(xué)生找出例題6與習(xí)題有哪些共同點(diǎn)?

    生2:題目模式一樣,都是動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離比為常數(shù)。

    生3:結(jié)論均為橢圓。

    問題3:請同學(xué)們仔細(xì)觀察兩定點(diǎn)有什么共同點(diǎn)?

    生4:例題與習(xí)題中的定點(diǎn)即為橢圓的焦點(diǎn)。

    問題4:請同學(xué)們再次仔細(xì)觀察兩個(gè)題目中的定直線有什么共同點(diǎn)?

    生5:例題中l(wèi):x=■=■,習(xí)題中l(wèi):x=8=■=■

    問題5:兩題中“常數(shù)”有什么相同點(diǎn)?

    生6:例題中常數(shù)為■<1,且■=■;習(xí)題中常數(shù)為■<1,且■=■。

    歸納概括特點(diǎn):題目中的定點(diǎn)為F(c,0),定直線為l:x=■,常數(shù)為■。

    得到拓展:點(diǎn)M(x,y)與定點(diǎn)F(c,0)的距離和它到直線l:x=■(a>c)的距離的比是常數(shù)■,求點(diǎn)M的軌跡。

    解答由學(xué)生獨(dú)立完成,兩位學(xué)生板演。得到點(diǎn)M的軌跡方程為■+■=1(b2=a2-c2),點(diǎn)M的軌跡為橢圓。

    (二)類比橢圓的定義,得到橢圓第二定義,即若點(diǎn)M(x,y)與定點(diǎn)F(c,0)的距離和它到直線l:x=■的距離的比是常數(shù)■(a>c>0),則點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)橢圓(如圖1)。定點(diǎn)F(c,0)是橢圓的焦點(diǎn),直線l:x=■稱為相應(yīng)于焦點(diǎn)F的準(zhǔn)線。由橢圓的對稱性,相應(yīng)于焦點(diǎn)F'(-c,0)的橢圓的準(zhǔn)線l':x=-■。

    (三)信息技術(shù)應(yīng)用加強(qiáng)橢圓第二定義的直觀性

    教材43頁,信息技術(shù)應(yīng)用;用幾何畫板探究點(diǎn)M的軌跡(如圖2)。

    圖1 圖2

    (四)第二定義的應(yīng)用

    (1)由橢圓的第二定義得到橢圓的焦半徑公式

    若點(diǎn)M(x0,y0)為橢圓■+■=1上一點(diǎn),則|MF1|=a+ex0,|MF2|=a-ex0

    證明:∵■=■,∴|MF1|=■|x0-■|=|ex0-a|=a-ex0同理|MF2|=a+ex0

    (2)由焦半徑公式得|MF1|max=a+c,|MF1|min=a-c。由焦半徑公式不難得|MF1|max=a+c,|MF1|min=a-c。這一性質(zhì)在應(yīng)用“到定點(diǎn)距離之和為常數(shù)”的“拉線法”作橢圓的演示時(shí)已經(jīng)觀察得出。這里通過焦半徑公式推導(dǎo),完成實(shí)踐——理論的升華。

    (3)設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F,AB為橢圓中過點(diǎn)F的弦,試判斷以AB為直徑的圓與左準(zhǔn)線的位置關(guān)系。

    解:設(shè)M為弦AB的中點(diǎn)(即圓心),A,B,M在準(zhǔn)線l:x=-■上的攝影分別是A',B',M'。由橢圓的第二定義得|AB|=|AF|+|BF|,∴|AB|=e(|AA'|+|BB'|)而0

    (4)已知A(-2,■),F(xiàn)是■+■=1的右焦點(diǎn),點(diǎn)M為橢圓的動點(diǎn),求|MA|+2|MF|的最小值,并求此時(shí)M的坐標(biāo)。

    分析:此題主要在于2|MF|的轉(zhuǎn)化,由第二定義:■=e=■,可得出2|MF|=d,即為M到l(右準(zhǔn)線)的距離,再求最小值可較快的求出。

    解:過M作MN⊥l于N,l為右準(zhǔn)線:x=8,由第二定義得■=e=■,∴2|MF|=d=|MN|,∵|MA|+2|MF|=|MA|+|MN|,要使|MA|+2|MF|為最小值,即|MF|+|MA|為最小,由圖知當(dāng)A,M,N共線,即AM⊥l時(shí),|MA|+2|MF|為最小,且最小值為A到l的距離為10,此時(shí),可設(shè)M(x0,■),代入橢圓方程中,解得:x0=2■,故當(dāng)M(2■,■)時(shí),|MA|+2|MF|為最小,且最小值為10。

    由此可見,橢圓第二定義的巧用,可使題目變?yōu)楹唵?。一般地,遇到一定點(diǎn)到定直線問題若想到第二定義,在解題是可達(dá)到事半功倍的效果。

    三、教學(xué)反思

    橢圓、雙曲線的第二定義,教材都以例題、習(xí)題的形式呈現(xiàn)出來,教師應(yīng)該認(rèn)真深入研究教材,把握教材編寫思路,領(lǐng)會編寫意圖,把握例題、習(xí)題的教學(xué)目標(biāo)。處理好橢圓第二定義的探究學(xué)習(xí),雙曲線的第二定義的類比學(xué)習(xí),以及拋物線定義的學(xué)習(xí),得到圓錐曲線的統(tǒng)一定義,將圓錐曲線有機(jī)聯(lián)系起來,揭示了圓錐曲線內(nèi)在聯(lián)系,與教材開頭語前后呼應(yīng),將這一章內(nèi)容畫了完美的“句號”。

    參考文獻(xiàn):

    [1]中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心 編著.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(A版)數(shù)學(xué)(選修1-1)[M].北京:人民教育出版社,2007:40.

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