約束Ham ilton系統(tǒng)的共形不變性和守恒量研究

鄭明亮

（浙江理工大學(xué)理學(xué)院，浙江杭州310018）

約束Ham ilton系統(tǒng)的共形不變性和守恒量研究

鄭明亮

（浙江理工大學(xué)理學(xué)院，浙江杭州310018）

對(duì)約束Ham ilton系統(tǒng)的共形不變性與新型守恒量進(jìn)行研究，提出了該系統(tǒng)共形不變性的概念。在無限小變換滿足Lie對(duì)稱性的基礎(chǔ)上，給出系統(tǒng)共形不變性的充要條件，并以此得到共形因子的解析式。利用規(guī)范函數(shù)滿足的Lie結(jié)構(gòu)方程，導(dǎo)出系統(tǒng)相應(yīng)的新型守恒量形式。

約束Ham ilton；共形不變性；Lie對(duì)稱；共形因子；守恒量

對(duì)稱性理論是理論物理、工程數(shù)學(xué)、現(xiàn)代力學(xué)等學(xué)科中更高層次的法則[1]8-10，對(duì)力學(xué)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程對(duì)稱性的研究有助于揭示力學(xué)系統(tǒng)的內(nèi)在特征和深層次規(guī)律。對(duì)稱性理論也是積分運(yùn)動(dòng)方程的一個(gè)有力工具，力學(xué)系統(tǒng)的對(duì)稱性和守恒量有著密切的關(guān)系。學(xué)界用對(duì)稱性尋求系統(tǒng)守恒量的方法主要有Noether對(duì)稱性[2]、Lie對(duì)稱性[3]和Mei對(duì)稱性[4]35-41。研究各種約束力學(xué)系統(tǒng)的對(duì)稱性和守恒量是近代分析力學(xué)的一個(gè)主要發(fā)展方向，在現(xiàn)代數(shù)理科學(xué)、機(jī)電系統(tǒng)和土木結(jié)構(gòu)工程中都具有重要的理論意義和實(shí)際價(jià)值。

在Legendre變換下，奇異Lagrange系統(tǒng)在過渡到相空間用Hamilton正則變量描述時(shí)，其正則變量之間存在固有約束，稱之為約束Hamilton系統(tǒng)[5]17-22。機(jī)械工程和數(shù)學(xué)物理上許多重要的動(dòng)力系統(tǒng)是奇異系統(tǒng)或約束Hamilton系統(tǒng)，例如，非樹形多體機(jī)器人系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型一般都可具有微分/代數(shù)方程組形式、光的橫移現(xiàn)象和量子電動(dòng)力學(xué)等。Dirac和Li研究了奇異系統(tǒng)Hamilton正則方程的Noether對(duì)稱性與守恒量及其眾多物理應(yīng)用[6]15-23，張毅、薛紜則研究了奇異系統(tǒng)Hamilton正則方程的Lie對(duì)稱性與守恒量[7]，羅紹凱研究了奇異系統(tǒng)Hamilton正則方程的Mei對(duì)稱性與守恒量，并說明了Mei對(duì)稱性與Noether對(duì)稱性、Lie對(duì)稱性之間的關(guān)系[8]。但是，關(guān)于約束Hamilton系統(tǒng)的共形不變性以及與其他各對(duì)稱性關(guān)系的研究尚未見報(bào)道，而作為一種新型對(duì)稱性[9-10]，對(duì)其進(jìn)行研究十分必要。

本文僅研究含第二類約束的約束Hamilton系統(tǒng)的共形不變性及其導(dǎo)致的新型守恒量，建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，給出約束Hamilton系統(tǒng)共形不變性的定義，推導(dǎo)時(shí)間、廣義坐標(biāo)和廣義動(dòng)量的無限小變換生成元滿足的確定方程和共形因子表達(dá)式，根據(jù)規(guī)范函數(shù)滿足的結(jié)構(gòu)方程,求出系統(tǒng)相應(yīng)的新型守恒量，并給出一個(gè)說明算例。

一、約束Ham ilton系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程

假設(shè)力學(xué)系統(tǒng)的位形由n個(gè)廣義坐標(biāo)qn（s=1，…，n）來確定，系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)為L（t，p，q），廣義動(dòng)量為

則約束Hamiltom系統(tǒng)的正則方程為[11]25-32

其中Qs=Qs（t，p，q）為非勢廣義力為約束乘子。

僅考慮約束（1）式為第二類約束，有

二、共形不變性的無限小變換和共形因子

為方便敘述，下文均采用Einstein求和約定，取無限小生成元向量和一次擴(kuò)展為

為了求得共形因子，需要先假設(shè)系統(tǒng)的微分方程在無限小變換下同時(shí)具有共形不變性和Lie對(duì)稱性。

命題1：對(duì)于約束Hamilton系統(tǒng)，該系統(tǒng)的共形不變性同時(shí)又是強(qiáng)Lie對(duì)稱性的充要條件是無限小變換生成元和共形因子滿足

證明：

式（8）的詳細(xì)證明參考李子平的研究[5]。

式（9）的證明如下

三、共形不變性導(dǎo)致的新型守恒量

由于約束Hamilton系統(tǒng)的共形不變性，可通過強(qiáng)Lie對(duì)稱性導(dǎo)出相應(yīng)的新型守恒量，有如下結(jié)論：

命題2：對(duì)于約束Hamilton系統(tǒng)，如果共形不變性的無限小生成元（t，p，q）（t，p，q）（t，p，q），以及規(guī)范函數(shù)G（t，p，q）滿足如下Lie對(duì)稱性的結(jié)構(gòu)方程

則約束Hamilton系統(tǒng)的共形不變性存在如下守恒量

由結(jié)構(gòu)方程式（12）帶入以及聯(lián)立式（3）可得

四、算例

設(shè)系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)為

試研究該系統(tǒng)的共形不變性和新型守恒量。

易驗(yàn)證這是約束Hamilton系統(tǒng)，系數(shù)矩陣的秩為r=0＜2，系統(tǒng)哈密頓函數(shù)和約束方程為

有約束相容條件易得到[11]25-32

由命題可得該約束Hamilton系統(tǒng)共形不變的共形因子和確定方程為

將無窮小生成元代入結(jié)構(gòu)方程（12）和（13）可得規(guī)范函數(shù)和守恒量為

由此可見，該系統(tǒng)生成元對(duì)應(yīng)的Lie對(duì)稱性同時(shí)又是共形不變性，也導(dǎo)致系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的守恒量。

五、結(jié)語

本文將由于Lagrange函數(shù)奇異性而存在的內(nèi)在固有限制方程看作是約束方程，建立了約束Hamilton系統(tǒng)的正則方程，給出了系統(tǒng)共形不變性定義、共形因子的求法以及導(dǎo)致的新型守恒量形式。文中內(nèi)容表明，Lie對(duì)稱性因?yàn)闊o限小生成元的多解，不一定完全能夠得到非奇異共形因子矩陣，基于Lie對(duì)稱的共形不變性也不一定總導(dǎo)致守恒量，還必須滿足條件結(jié)構(gòu)方程。約束Hamilton系統(tǒng)的新型對(duì)稱性與守恒量，在現(xiàn)代數(shù)理科學(xué)和工程技術(shù)中占有重要地位并廣為應(yīng)用，值得廣大科技工作者關(guān)注并深入研究。

[1]趙凱華,羅蔚菌.新概念物理教程：力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，1995.

[2]A E Noether.Invariant variations problem[J].Mathematisch-Physicalishe Klasse，1918（2）：235-257.

[3]M Lutzky.Remarks on a recent theorem about consserved quantities[J].J Phys.A：Math.Gen,1995(11)：637-638.

[4]梅鳳翔.李群和李代數(shù)對(duì)約束力學(xué)系統(tǒng)的應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，1999.

[5]李子平.約束哈密頓系統(tǒng)及其對(duì)稱性質(zhì)[M].北京：北京工業(yè)大學(xué)出版社，1999.

[6]Dirac P A M.Lecture on Quantum Mechanics[M].NewY-ork：Yeshi-va University Press，1964.

[7]張毅，薛紜.僅含第二類約束的約束Hamil ton系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性[J].物理學(xué)報(bào)，2001（5）：816-819.

[8]羅紹凱.奇異系統(tǒng)Hami l ton正則方程的Mei對(duì)稱性、Noether對(duì)稱性和Lie對(duì)稱性[J].物理學(xué)報(bào)，2004（1）：5-11.

[9]Gal iul l in A S，Gafarov G G，Malaishka R P，et al.Analytical dynamics of Helmhol tz Birkhof l f and Nambu systems[M].Moscow：UFN（in Russian）,1997.

[10]Robert M L,Mat thew P.Conformal Hami l tonian systems[J].Journal of Geometry and Physics，2001（39）：276-300.

[11]李子平.經(jīng)典和量子約束系統(tǒng)及其對(duì)稱性質(zhì)[M].北京：北京工業(yè)大學(xué)出版社，1993.

[12]李元成，張毅，梁景輝.一類非完整奇異系統(tǒng)的Lie對(duì)稱性與守恒量[J].物理學(xué)報(bào)，2002（10）：2186-2190.

Conformal Invariance and Conserved Quantity of Constraint Ham ilton System s

ZHENGMingliang
（School of Science，Zhejiang Sci-Tech University，Hangzhou 310018，China）

Based on the research on the constraint Hamilton system conformal invariance and conserved quantity，the concept of the conformal invariance is put forward under infinitesimal transformations.On the basis of satisfying Lie symmetry，it gives necessary and sufficient conditions for the conformal invariance of the system，and gets the analytical formula of conformal factor.Finally，by using the Lie structure equation satisfied by the canonical function，a new type of conserved quantity is derived.

constraint Hamilton；conformal invariance；Lie symmetry；conformal factor；conserved quantity

O175

A

1009-7740（2017）02-0105-04

2017-05-10

鄭明亮（1988－），男，安徽馬鞍山人，博士研究生，主要研究方向?yàn)榉治隽W(xué)。