一個(gè)具有Logistic增長(zhǎng)和CTL免疫反應(yīng)的乙肝病毒感染模型

陳志偉 代安華

重慶輕工職業(yè)學(xué)院

一個(gè)具有Logistic增長(zhǎng)和CTL免疫反應(yīng)的乙肝病毒感染模型

陳志偉 代安華

重慶輕工職業(yè)學(xué)院

本文建立了一個(gè)考慮Logistic增長(zhǎng)和CTL免疫反應(yīng)的乙肝病毒感染模型. 模型有三個(gè)平衡點(diǎn). 由 Routh-Hurwitz判據(jù)分別得到無(wú)感染平衡點(diǎn)，無(wú)免疫平衡點(diǎn)和正平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性. 用數(shù)學(xué)分析以及比較原理證明無(wú)病平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性。

Logistic增長(zhǎng) CTL免疫反應(yīng) 穩(wěn)定性

1996年，Nowak等[1]借鑒倉(cāng)室模型的建模思想提出一個(gè)三維乙肝病毒感染模型：

2008年，閔樂(lè)泉等[2]將標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率代替簡(jiǎn)單質(zhì)量作用律發(fā)生率：

2010年，Hews等[3]假設(shè)未感染細(xì)胞繁殖遵循Logistic 生長(zhǎng)規(guī)律，建立了帶標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率的乙肝病毒感染模型：

本文在文獻(xiàn)[3]基礎(chǔ)上加入CTL免疫反應(yīng)，建立以下乙肝病毒感染模型：

其中：x 是未感染細(xì)胞數(shù)量，y是感染細(xì)胞的數(shù)量，v 是自由病毒數(shù)量，表示免疫細(xì)胞的數(shù)量，T 是指細(xì)胞的最大承載量，是未感染細(xì)胞的內(nèi)稟增長(zhǎng)率，是標(biāo)準(zhǔn)發(fā)生率，ay 是感染細(xì)胞的死亡速率，ky是病毒的產(chǎn)生速率，uv 是病毒的死亡速率，pyz 表示免疫機(jī)制引起的感染細(xì)胞的死亡率，cyz 是免疫細(xì)胞產(chǎn)生速率，bz是免疫細(xì)胞的死亡率。

一、平衡點(diǎn)和基本再生數(shù)

系統(tǒng)(4)總是存在一個(gè)無(wú)感染平衡點(diǎn)：

系統(tǒng)(4)的病毒基本再生數(shù)定義為：

定義兩個(gè)新的閾值：

當(dāng)R1＞R0＞1時(shí)，存在一個(gè)無(wú)免疫平衡點(diǎn):

二、穩(wěn)定性分析

證明 由系統(tǒng)(4)易知

定理3 令

三、結(jié)論

本文研究了一個(gè)具有Logistic增長(zhǎng)項(xiàng)和CTL免疫反應(yīng)的乙肝病毒感染模型. 模型有三個(gè)平衡點(diǎn)：無(wú)感染平衡點(diǎn)，無(wú)免疫平衡點(diǎn)和正平衡點(diǎn). 根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)得到了三個(gè)平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性的條件. 根據(jù)比較原理得到了無(wú)感染平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性. 免疫反應(yīng)分兩類，除了CTL免疫還有抗體免疫，因此可以在系統(tǒng)(4)上再加一項(xiàng)進(jìn)行研究，這將是我們今后的工作.

[1] Nowak M A, Bonhoeffer S, Hill A M,et al. Viral dynamics in hepatitis B virus infection[J]. Proceedings of the National Academy of Science of the Uinited States of America, 1996, 93: 4398-4402.

[2]Min L Q, Su Y M, Kuang Y.Mathematical analysis of a basic virus infection model with application to HBV infection[J]. Rocky Mountain Journal of Mathematics, 2008, 38(5): 1573-1585.

[3] Hews S, Eikenberry S, Nagy J D, et al. Rich dynamics of a hepatitis B viral infection model with logistic hepatocyte growth [J]. Journal of Mathematical Biology, 2010, 60(4): 573-590.