一個(gè)定點(diǎn)定直線(xiàn)問(wèn)題的變式推廣

江蘇省啟東市匯龍中學(xué)(226200) 施華

一個(gè)定點(diǎn)定直線(xiàn)問(wèn)題的變式推廣

江蘇省啟東市匯龍中學(xué)(226200) 施華

(1)求橢圓的方程;

(2)求證:直線(xiàn)l2恒過(guò)一定點(diǎn).

圖1

(2)證明:由題意可得D(?2,?1),E(2,1),不妨設(shè)直線(xiàn)l1的方程為y+1=k(x+2).聯(lián)立

證明由題意可得D(?2,?1),E(2,1),不妨設(shè)直線(xiàn)l1的方程為y+1=k(x+2).聯(lián)立點(diǎn)D(x0,y0)是橢圓C上的一點(diǎn),點(diǎn)E是D點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),P是橢圓C上(除D、E)的另一個(gè)點(diǎn),直線(xiàn)DP與直線(xiàn)x=t的交點(diǎn)為Q,過(guò)Q點(diǎn)作直線(xiàn)EP的垂線(xiàn)l,求證:直線(xiàn)l恒過(guò)一定點(diǎn).

變式2的證明仿上述變式1,這里從略.

把特殊的橢圓推廣到一般的橢圓.

推廣1 已知橢圓C:

由于橢圓和雙曲線(xiàn)都是有心圓錐曲線(xiàn),所以結(jié)論可推廣到雙曲線(xiàn).

由推廣1,2得:

推廣3 已知曲線(xiàn)C:mx2+ny2=1(mn≠0),點(diǎn)D(x0,y0)是曲線(xiàn)C上的一點(diǎn),點(diǎn)E是D點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),P是曲線(xiàn)C上(除D、E)的另一個(gè)點(diǎn),直線(xiàn)DP與直線(xiàn)x=t的交點(diǎn)為Q,過(guò)Q點(diǎn)作直線(xiàn)EP的垂線(xiàn)l,求證:直線(xiàn)l恒過(guò)一定點(diǎn)

事實(shí)上,這里的關(guān)鍵是D,E是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的一對(duì)定點(diǎn),kPD·kPE是非零常數(shù).

推廣4 如圖2,在直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)D(x0,y0)是平面上除原點(diǎn)的一點(diǎn),點(diǎn)E是D點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),P是平面上(除D、E)的另一個(gè)點(diǎn),且滿(mǎn)足kPD·kPE=λ(λ≠0),直線(xiàn)DP與直線(xiàn)l1:x=t的交點(diǎn)為Q,過(guò)Q點(diǎn)作直線(xiàn)EP的垂線(xiàn)l,求證:直線(xiàn)l恒過(guò)一定點(diǎn).

圖2

證明:如圖2,過(guò)D作DM⊥l1于M,交PE于N,設(shè)∠QDM=α,∠PNM=β,則kPD=tanα,kPE=tanβ.設(shè)直線(xiàn)l交DM于R(x,y),則 ∠QRM=β ?90°,在Rt△QRM中,

所以t?x=?λ(t?x0),所以x=t+λ(t?x0)=(1+λ)t? λx0.所以R((1+λ)t? λx0,y0)是定點(diǎn).所以直線(xiàn)l恒過(guò)一定點(diǎn).