帶有脈沖的二階多點(diǎn)微分方程的邊值問題

李海艷, 郭宇恒, 李利玫

(1. 四川大學(xué)錦城學(xué)院 數(shù)學(xué)教研室， 四川 成都 611731； 2. 電子科技大學(xué) 通信學(xué)院, 四川 成都 611731； 3. 四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件學(xué)院, 四川 成都 610068)

帶有脈沖的二階多點(diǎn)微分方程的邊值問題

李海艷1, 郭宇恒2, 李利玫3

(1. 四川大學(xué)錦城學(xué)院 數(shù)學(xué)教研室， 四川 成都 611731； 2. 電子科技大學(xué) 通信學(xué)院, 四川 成都 611731； 3. 四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件學(xué)院, 四川 成都 610068)

研究了一類帶有脈沖的二階多點(diǎn)微分方程的邊值問題, 將以往所研究的方程的脈沖項(xiàng)和邊界條件做了推廣, 對其限制條件進(jìn)行了修改, 并且在脈沖項(xiàng)都含有一階導(dǎo)數(shù)的情形下運(yùn)用Leray-Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理探討了該類問題解的存在性. 對非線性項(xiàng)和脈沖項(xiàng)做了一些假設(shè), 證明了方程的解集有一個(gè)不依賴于參數(shù)λ的先驗(yàn)界, 進(jìn)而得到結(jié)論: 方程至少有一個(gè)解. 最后通過一個(gè)實(shí)例說明了結(jié)論的應(yīng)用.

脈沖微分方程; Leray-Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理; 多點(diǎn)邊值問題

0 引 言

微分方程邊值問題是一個(gè)具有持久生命力的課題. 近年來, 隨著微分方程理論的發(fā)展, 多點(diǎn)邊值問題的研究日益活躍[1-12], 特別是對于含有脈沖項(xiàng)的微分方程的多點(diǎn)邊值問題的可解性得到了廣泛的關(guān)注[8-17]. 但是, 對于非線性項(xiàng)、 脈沖項(xiàng)都含有一階導(dǎo)數(shù)的多點(diǎn)邊值問題的解的存在性的研究卻不多見[11-14].

文獻(xiàn)[1]利用五泛函不動(dòng)點(diǎn)定理討論了如下m點(diǎn)邊值問題多個(gè)正解的存在性：

其中,ki>0(i=1,2,…,m-2),0<ξ1<ξ2<…<ξm-2<1.

對于脈沖微分方程, 文獻(xiàn)[9]研究了含有導(dǎo)數(shù)脈沖的三點(diǎn)邊值問題：

其中,f∈C(J×R2,R),Ik∈C(R,R),Jk∈C(R×R,R),T∈R,Z∈(0,1), 0

受文獻(xiàn)[1，8]的啟發(fā),本文討論了如下的二階脈沖微分方程的m-點(diǎn)邊值問題(BVP)：

文中對文獻(xiàn)[8]所研究的方程的脈沖項(xiàng)和邊界條件做了推廣, 對其限制條件進(jìn)行了修改, 并且在脈沖項(xiàng)都含有一階導(dǎo)數(shù)的情形下運(yùn)用Leray-Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理獲得了該類問題解的存在性定理.

1 主要引理及其證明

引入以下空間:

引理 1[18]集合H?PC1(J,R)是相對緊集的充分必要條件為H中的諸函數(shù)x(t)及其導(dǎo)函數(shù)x′(t)都在J上一致有界且在每個(gè)Jk(k=1,2,…,m)上等度連續(xù).

引理 2 若x∈PC1(J,R)∩C2(J′,R) 是BVP(1) 的解, 當(dāng)且僅當(dāng)x∈PC1(J,R)是下面的脈沖積分方程的解.

式中：x′(0)由式(6)給出.

證明 設(shè)x是BVP(1)的解, 對式(1)兩端積分, 得

對式(4)再次積分, 得

x(t)=

在式(4)中分別令t=1,t=ξi, 有

結(jié)合邊界條件, 有

即

因此， 由式(4)， 式(6)可得式(2).

反過來, 假定x∈PC1[J,R] 是脈沖微分方程(2)的解, 易知x(0)=0, △x|t=tk=Ik(x(tk)).

當(dāng)t≠tk時(shí), 直接對式(2)求導(dǎo), 可得

對式(7)兩邊再求導(dǎo)， 得

[-x″(t)=f(s,x(s),x′(s)),t≠tk,

定義算子A:PC1[J,R]→PC1[J,R]時(shí)，

由引理1和引理2容易驗(yàn)證, 算子A是從PC1(J,R)到PC1(J,R)的全連續(xù)算子.

引理 3[18](Leray-Schauder定理) 設(shè)X為實(shí)Banach空間, 算子A∶X→X為全連續(xù)算子, 若集合{‖x‖|x∈X,x=λAx,0<λ<1}是有界的, 則方程x=Ax至少有一個(gè)解.

2 主要結(jié)論及證明

定理 1 假設(shè)H1)和H2)及下列條件成立:

C1) 存在有界函數(shù)α(t),β(t),γ(t), 使得

|f(t,x,y)|≤α(t)‖x‖+β(t)‖y‖+γ(t).

C2) 存在非負(fù)常數(shù)nk,mk,lk, 使得

C3) 存在常數(shù)ak> 0, 使得

k=1,2,…,n.

那么BVP(1.1) 至少有一個(gè)解.

證明 由引理3可知, 只需要證明方程

的解集在PC1(J,R)∩C2(J′)中有一個(gè)不依賴于λ∈(0,1)的先驗(yàn)界.

可得

則

由此可知, 只需驗(yàn)證‖x′‖有界即可.

為了方便, 令x(t)=λ[x0(t)+I0(t)], 其中

當(dāng)0≤t≤ξ1時(shí),

當(dāng)ξr-1≤t≤ξr,2≤r≤m-2時(shí),

當(dāng)ξm-2≤t≤1時(shí),

由以上結(jié)論可知, 當(dāng)0≤t≤1,ξr-1≤s≤min{ξr,t}時(shí),

x0(t)=

當(dāng)0≤t≤1,max{ξr-1,t}≤s≤ξr時(shí),

綜上可知,

當(dāng)ξr-1≤s≤min{ξr,t}時(shí),

由H1)可得,

當(dāng)max{ξr-1,t}≤s≤ξr時(shí),

同理, 由H1)可得,

又因?yàn)?/p>

故對?t,s∈[0,1],

即

由C3)知， 存在Nk>0, k=1,2,…,n, 有

?t∈J, ‖x‖+‖y‖≥Nk.

從而

?x,y∈(R×R).

其中

所以, 結(jié)合條件C1), 可得

‖x′‖≤

記

由以上分析, 可得對于?0<λ<1, 都有

因此, ‖x′‖有界, 從而‖x‖也有界. 由引理3, 故BVP(1)至少有一個(gè)解.定理得證.

3 應(yīng)用舉例

考察如下二階脈沖微分方程

易驗(yàn)證BVP(9)滿足定理1的所有條件, 因此BVP(9)至少存在一個(gè)解.

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聲 明

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Boundary Value Problems for Second Order Multi-Point Difference Equations with Impulses

LI Hai-yan1, GUO Yu-heng2, LI Li-mei3

(1. Dept. of Mathematics, Jincheng College of Sichuan University, Chengdu 611731, China； 2. University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu 611731, China； 3. College of Math and Software Science, Sichuan Normal University, Chengdu 610068， China)

The existence of solutions for multi-point boundary value problem of second-order impulsive differential equations was investigated. The boundary value conditions and impulsive term were extended. In the case of the impulsive term with the first derivative, the new conclusions about the existence of the solution are obtained via Leray-Schauder fixed-point theorem. It is proved that when the nonlinear term and impulsive term with some assumptions, a priori bounds for the solutions set of the differential equation doesn't depend on the parametersλ. It draws the conclusion that the differential equation has one solution at least. At last, the material example shows the application of the results.

impulsive differential equation; Leray-Schauder fixed point theorem; multi-point boundary value problem

1673-3193(2017)04-0425-08

2016-11-23

四川省教育廳青年基金資助項(xiàng)目(12ZB108)

李海艷(1983-)， 女， 講師， 碩士， 主要從事非線性泛函分析研究.

O175.8

A

10.3969/j.issn.1673-3193.2017.04.006