張孟++吳常虹
摘要:本文結(jié)合例題總結(jié)不定積分計(jì)算換元積分法的幾種常見(jiàn)的技巧,幫助學(xué)生理清解題思路,提高解題能力。
不定積分的計(jì)算是高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn),不定積分的計(jì)算方法多,題型靈活;在教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)許多的同學(xué)很難熟練靈活地運(yùn)用所學(xué)方法進(jìn)行解題,一方面是由于練習(xí)不夠,另一方面是由于同學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中對(duì)每種方法的解題原理、適用范圍以及處理辦法和技巧并不了解,因此本人結(jié)合多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)地介紹不定積分計(jì)算換元積分法的常見(jiàn)方法與技巧。
一、第一類(lèi)換元積分法(湊微分法)
定理 若 , 可導(dǎo),則
適用題型:第一類(lèi)換元積分法主要是用來(lái)解決復(fù)合函數(shù)的積分問(wèn)題;
處理方法與技巧:
把被積函數(shù)寫(xiě)成兩個(gè)函數(shù)的乘積 ;
(1)選擇相對(duì)復(fù)雜函數(shù)(比如 ),對(duì)其求導(dǎo)(或?qū)ζ渲饕糠智髮?dǎo));
(2)若求導(dǎo)后得到的是簡(jiǎn)單函數(shù)( )的倍數(shù),此時(shí)表示湊微分成功。
①常數(shù)倍
②函數(shù)倍 在這種情形下可以考慮將被積函數(shù)的分子分母同時(shí)乘以某個(gè)函數(shù)倍因子。
[例]求不定積分
分析:
=
的主要部分求導(dǎo)后剛好等于 ,湊微分成功
解:原式= = =
[例]計(jì)算不定積分
[分析]由于 ,所以考慮將分子分母同時(shí)乘以函數(shù)
解:原式
二、第二類(lèi)換元積分法
定理 設(shè) 單調(diào)、可導(dǎo),并且 ,又設(shè) 具有原函數(shù),則
在第二類(lèi)換元積分法中,關(guān)鍵在于如何找到合適的變換 ,常見(jiàn)的情形有
(1)被積函數(shù)含有二次根號(hào)式 , , , 利用三角代換
令
令
令
令
注意:在利用三角代換解題時(shí),進(jìn)行變量回代,要用構(gòu)造三角形法。
[例]求
[分析]被積函數(shù)中含有二次根式 ,因此采用三角代換
解: ,則
原式
(2)如果被積函數(shù)含有 , ,
令整個(gè)根式
如果同時(shí)含有 , ,設(shè) ,令
[例]計(jì)算
[分析]被積函數(shù)含有一次根式 ,因此采用整體代換去除一次根式
解:令 ,
原式
[例]計(jì)算
[分析]同時(shí)含有 , ,令
解:令 ,
原式
(3)當(dāng)分母的冪次比分子的冪次至少高一次時(shí)用倒代換
[例]計(jì)算 ( )
[分析]被積函數(shù)中分母的冪次比分子的冪次高三次,因此采用倒代換
解:令 ,
原式=
=
參考文獻(xiàn):
[1]李永樂(lè).2014年數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全書(shū).北京:中國(guó)政法大學(xué)出版社,2013
[2]陳文燈 黃先開(kāi).考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南。北京:世界圖書(shū)出版公司北京公司,2008
通訊作者:吳常虹