初中生數學思維發(fā)散障礙的呈現與突破

張誠

摘 要 中學數學學習需要思維的發(fā)散，但在學習中許多學生的數學思維是發(fā)而不散，導致數學解題的頻繁失誤。教師在日常教學中應當多用“變式”來破除“定式”，衰減“思維慣性”。本文通過對一道中考試題的“典型失誤”的統(tǒng)計和分析，提出了突破學生數學思維發(fā)散障礙的教學和命題建議。

關鍵詞 思維慣性 發(fā)散性思維 圖形表達 具體化

數學學習中學生的思維不能很好地發(fā)散的原因是多方面的。通過一道試題“典型失誤”的統(tǒng)計分析發(fā)現，數學問題解決的發(fā)散性思維主要發(fā)生在問題具體化的過程中。就命題的角度而言，應當特別注意圖形表達的具體化特征，避免具體圖形給學生的發(fā)散性思維帶來不必要的干擾。

二、一個“典型失誤”及其中隱含的問題

本題第（2）小題和第（3）小題都需要分兩種情形解答。其中，第（2）小題需要分別考慮P點在y軸左側與右側的情形；第（3）小題需要分別考慮P點在x軸上方和下方的情形。然而，閱卷過程中發(fā)現學生在本題最為典型的解題失誤就是在這兩小題中只針對一種情形作答。

隨著閱卷數量的增加，筆者發(fā)現上述“典型失誤”還呈現出兩個明顯的特點。一是“只針對一種情形作答”的考生在第（2）小題集中于“P在y軸右側”這種情形，在第（3）小題集中于“P在x軸下方”的情形。二是考生的上述失誤現象在第（2）小題上表現得比第（3）小題要嚴重很多。筆者對此作了粗略統(tǒng)計，在第（3）小題有所得分的學生中，約有35%的學生想到了P在x軸上方的情形。而在第（2）小題中，只有約10%的學生想到圓心P在y軸左側的情形。

分析本題的第（2）和第（3）小題容易發(fā)現，兩個小題雖然考查的知識點不同，但是對思維的發(fā)散性要求并無區(qū)別。如果學生在第（2）小題中“想不到兩種情形”，那么在第（3）小題中也會有同樣表現。但事實表明，學生在兩小題上的發(fā)散性思維存在著較大的差別。為什么學生只想到一種情形，并且集中于某一種情形？為什么學生在（2）、（3）兩小題上的發(fā)散性思維表現出明顯的差異？

三、原因分析

統(tǒng)計結果表明，在第（2）小題，學生的認知局限于“P在y軸右側”這一情形。一個重要的原因是這一情形相對于另外一種情形（“P在y軸左側”情形）更契合學生的一個“思維慣性”。這個“思維慣性”就是我們對“P是直線AB上一動點”這一條件作內部具象化表征時，往往習慣于將點P置于A、B兩點中間。更為重要的原因是，試題在條件陳述之外提供了“圖1”，而從圖1中可以發(fā)現，其中⊙P的位置（點P位于A、B兩點中間）恰好又契合了上述“思維慣性”，這就有意無意地將“思維慣性”作了一次強化。觀察圖1還發(fā)現，其中⊙P的位置非常接近于第（2）小題“⊙P過點B”這一題設條件。在學生對第（2）小題的題設條件進行感知時，圖1幾乎可以直接成為問題的具體化表征。這就使得學生在問題感知之后，完全跳過了對“題設條件作發(fā)散性思考”這一步，直接進入到具體問題的分析階段。也就是說，學生在第（2）小題中“一邊倒”式地定式于“P在y軸右側”這一情形，有主觀上的“思維慣性”作用，更有試題表述所帶來的慣性強化與問題表征的“導向”作用。

到第（3）小題，主觀上的那個“思維慣性”以及圖1的慣性強化作用依然是存在的，所以很多學生只針對“P在x軸下方”這一情形作答。但是，與第（2）小題不同的是，圖1中P點所處的位置與第（3）小題中“⊙P與x軸相切”這一題設條件相去甚遠，學生在第（3）小題的問題感知之后，需要根據題設條件自主建構問題的具體化表征。在學生“自主建構具體化的問題表征”時，“對條件作發(fā)散性思考”這一智力動作就有可能發(fā)生，從而使得部分學生意識到“兩種情形”的存在。也就是說，在第（3）小題中，圖1所起到的思維干擾與誤導作用要比第（2）小題小很多。這就是學生在兩小題上的發(fā)散性思維表現出較大的差別的主要原因。

總結以上分析，筆者認為學生在本題表現出的“思維不發(fā)散”，主要是兩個方面的原因。一是主觀上的“思維慣性”作用；二是試題提供的配圖在客觀上起到了“慣性強化”作用。如果本題不提供配圖，而完全采取文字描述的方式，反而更有助于學生的發(fā)散性思維，并且這種發(fā)散性思維在第（2）和第（3）小題上也就不會表現出太大的差別。

四、啟示

1.在問題解決的過程中保持批判意識，有助于突破思維囿限

通過對“典型失誤”的分析，筆者認為，對一個數學命題的發(fā)散性思維主要發(fā)生在命題感知之后的具體化過程中。通常情況下，一個數學命題需要經歷“命題感知（理解題意）——具體化（構建抽象命題的具體對象）——具體問題解決——反思與總結（基于具體對象的概括，回到抽象）”的過程。在這個過程中，“具體化”就是指將抽象的試題陳述對應為具體的圖形表達或符號表達。也就是說，從抽象對象到具體對象轉換的時候，最需要發(fā)散性思維的介入。一旦具體化過程結束，進入到具體問題解決階段，個體的思維就會集中于具體情形的分析，從而很難跳出具體情形的思維囿限。能否突破這個囿限，很大程上取決于個體思維的批判性。由此帶來的啟示就是在問題解決的全過程中，不斷提醒自己：我是否忽略了什么？當前的情形是否具有一般性？是否還存在著另一種情形或另一個方面？……這種批判意識的保持，能促進我們及時回顧與反思，進而使“丟失的一般性”有可能被意識到。

2.日常教學中應當多用“變式”來破除“定式”，衰減“思維慣性”

所謂“思維慣性”，也就是認知心理學上所說的“思維定勢”和“功能固著”。它產生的一個重要的原因就是過往的學習中知識的非本質屬性被泛化。比如，在“三角形”這一概念的學習中，我們總是習慣于畫出一個銳角三角形，這就使“銳角”這一非本質屬性被泛化了，從而學生對“三角形”這一概念的內部和外部表征都定式于“銳角三角形”。在上述試題中，學生對“P是直線AB上一點”這個題設條件產生的“思維慣性”，原因就在于在日常教學中，也是習慣于將“P置于A、B兩點之間”的。也就是說，“學”的慣性與“教”的慣性是“一脈相承”的。要想學生“學”得發(fā)散，教師首先要做到“教”得發(fā)散。因此，教師在日常教學中應當特別注意運用“變式”。所謂“變式”就是指保持對象的本質屬性不變，而將其非本質屬性作盡可能的變化。這樣既能防止非本質屬性的泛化，又有助于本質屬性的凸顯。更為重要的是，變式的過程其實也就是發(fā)散思維的過程，它能有效地通過教師“發(fā)散性地教”促進學生思維的廣闊性，使學生習慣于全面地、多角度地看待問題。

3.命題時應注意圖形表述的“具體化”特點

學生在上述試題的第（2）和第（3）小題中表現出明顯的發(fā)散性思維差異，一個重要的原因是“圖1”的“思維導向”作用?？梢钥隙ǖ氖?，命題者在試題文字表述之外提供“圖1”的初衷，是為了讓學生更好地理解題意。但是，命題者在提供圖1的同時卻沒有意識到圖1又在無意中“框”住了學生的發(fā)散性思維。我們對照試題的文字表述與圖形表述會發(fā)現，文字表達是通過文字或符號的指代意義來間接地表達數學關系結構，這一特點使它具有抽象的表達效果，而圖形表達是對關系結構的直接描述，它必然是具體的。因此，我們在命題的過程中如果要用圖形來表達題意的話，就要特別注意圖形表達的“具體化”特點。如果一個試題打算將學生的思維發(fā)散性作為一個考查指向的話，那么，試題在表述中就要特別注意對“配圖”的使用，防止其帶來的不必要的思維干擾。事實上，如果命題者有意將“思維的發(fā)散性”作為能力考查的一個指向，上述題目完全可以不配圖，將“具體化”的過程完全留給學生。

【責任編輯 郭振玲】endprint