平面體系機(jī)動(dòng)分析模式及其應(yīng)用

王建祥+胡景龍+陳國(guó)新

摘要：平面體系的機(jī)動(dòng)分析是結(jié)構(gòu)力學(xué)課程教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一，是學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)力學(xué)后續(xù)內(nèi)容的基礎(chǔ)和前提。針對(duì)機(jī)動(dòng)分析時(shí)學(xué)生遇到的實(shí)際問題，經(jīng)過對(duì)大量習(xí)題的分析、歸納和總結(jié)，提出平面體系“2+2+3+4”機(jī)動(dòng)分析模式，使平面體系機(jī)動(dòng)分析過程可以按照一定的模式和步驟進(jìn)行，讓看似無從下手的分析變得有章可循。針對(duì)三種不同機(jī)動(dòng)分析方法，分別輔以例題對(duì)分析步驟進(jìn)行詳細(xì)說明，為結(jié)構(gòu)力學(xué)平面體系機(jī)動(dòng)分析教學(xué)提供新的模式和參考。

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)力學(xué)；平面體系；自由度；機(jī)動(dòng)分析模式

中圖分類號(hào)：G642.0；TU311 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1005-2909（2017）03-0062-04

平面體系的機(jī)動(dòng)分析主要是確定結(jié)構(gòu)體系的幾何組成性質(zhì)，判斷體系是否幾何不變及其約束情況。體系只有在幾何不變的情況下，才能作為結(jié)構(gòu)使用 [1]。平面體系的機(jī)動(dòng)分析是結(jié)構(gòu)力學(xué)課程后續(xù)計(jì)算結(jié)構(gòu)內(nèi)力的基礎(chǔ)和前提，也是學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)力學(xué)課程的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一。判斷幾何不變體系只有兩剛片規(guī)則和三剛片規(guī)則，這兩個(gè)規(guī)則比較容易理解。但是，平面體系千變?nèi)f化，機(jī)動(dòng)分析中概念多，技巧性強(qiáng)[2-3]，對(duì)于剛接觸結(jié)構(gòu)力學(xué)課程學(xué)習(xí)的學(xué)生來說，往往覺得規(guī)則簡(jiǎn)單，但分析時(shí)卻又感到無從下手。本文針對(duì)平面體系機(jī)動(dòng)分析的特點(diǎn)，以及學(xué)生解題遇到的困難，經(jīng)過分析、歸納和總結(jié)，提出平面體系“2+2+3+4”機(jī)動(dòng)分析模式，使平面體系機(jī)動(dòng)分析過程可以按照一定的模式和步驟進(jìn)行，使看似無從下手的機(jī)動(dòng)分析能夠有章可循。

一、 “2+2+3+4”機(jī)動(dòng)分析模式

“2+2+3+4”機(jī)動(dòng)分析模式，包括：兩個(gè)機(jī)動(dòng)分析判斷準(zhǔn)則、兩種體系類型、三種機(jī)動(dòng)分析方法、四種結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化方法。“2+2+3+4”機(jī)動(dòng)分析模式將平面結(jié)構(gòu)體系的簡(jiǎn)化、機(jī)動(dòng)分析和判斷準(zhǔn)則結(jié)合起來，相互聯(lián)系，前后呼應(yīng)，共同組成了平面體系的機(jī)動(dòng)分析模式。

（一）兩個(gè)機(jī)動(dòng)分析判斷準(zhǔn)則

1.兩剛片規(guī)則

兩個(gè)剛片用一個(gè)鉸和一根不通過此鉸的鏈桿連接，為幾何不變體系，且無多余約束；若鏈桿延長(zhǎng)線通過此鉸，組成的體系則是瞬變體系。

2.三剛片規(guī)則

三個(gè)剛片用三個(gè)不共線的鉸兩兩相連，為幾何不變體系，且無多余約束；若三個(gè)單鉸在同一直線上， 組成的體系則為瞬變體系。

兩個(gè)判斷規(guī)則中連接的鉸，可以是實(shí)鉸，也可以為虛鉸。[4-5]

（二）兩種體系類型

根據(jù)體系與基礎(chǔ)連接鏈桿的個(gè)數(shù)，把體系分析為兩種類型。

第一種體系類型：體系與基礎(chǔ)連接大于三根鏈桿（r>3）；第二種體系類型：體系與基礎(chǔ)連接等于三根鏈桿（r=3）。如果體系與基礎(chǔ)連接小于三根鏈桿（r<3），則該體系為幾何常變體系，無需機(jī)動(dòng)分析。

（三） 三種機(jī)動(dòng)分析方法

針對(duì)平面體系兩種類型，主要有三種機(jī)動(dòng)分析方法。

對(duì)于第一種體系類型，即體系與基礎(chǔ)連接大于三根鏈桿（r>3），機(jī)動(dòng)分析時(shí)，首先把基礎(chǔ)作為一個(gè)基本剛片，然后根據(jù)具體情況，又分為兩種分析方法。一是該結(jié)構(gòu)體系局部可以和基礎(chǔ)構(gòu)成幾何不變體系，基本剛片可以擴(kuò)大至局部幾何不變部分，然后依次將基本剛片由小到大、由下到上、由里向外一層層進(jìn)行分析，可以通過擴(kuò)大基本剛片到整體。二是該結(jié)構(gòu)體系局部不能和基礎(chǔ)構(gòu)成幾何不變體系，或者可以構(gòu)成幾何不變，但不能通過擴(kuò)大剛片至整體。這種情況為，基本剛片如果能擴(kuò)大應(yīng)先擴(kuò)大基本剛片，然后簡(jiǎn)化其余結(jié)構(gòu)為最多兩個(gè)剛片（或一個(gè)剛片），加上基礎(chǔ)剛片，應(yīng)用三剛片規(guī)則（或兩剛片規(guī)則）進(jìn)行分析判斷。這種情況關(guān)鍵在于簡(jiǎn)化體系。

對(duì)于第二種體系類型，即體系與基礎(chǔ)連接等于三根鏈桿（r=3），且滿足兩剛片規(guī)則（不滿足兩剛片規(guī)則時(shí)，為幾何常變體系，無需機(jī)動(dòng)分析），只需分析體系內(nèi)部幾何不變性即可。將體系內(nèi)部簡(jiǎn)化為最多三個(gè)剛片（或兩個(gè)剛片、一個(gè)剛片），然后根據(jù)三剛片（或兩剛片）規(guī)則分析幾何組成，判斷是否為幾何不變體系。

（四） 四種簡(jiǎn)化方法

（1）結(jié)構(gòu)體系內(nèi)部幾何不變部分可以簡(jiǎn)化為一個(gè)剛片。常見的如鉸結(jié)三角形可簡(jiǎn)化為一個(gè)剛片，在此基礎(chǔ)上，看能否增加二元體等，將剛片擴(kuò)大，直至該剛片不能再擴(kuò)大為止。

（2）只有兩端是鉸的折桿、曲桿等其它形狀的桿可以簡(jiǎn)化為一根鏈桿。

（3）連接兩個(gè)剛片的兩根鏈桿可以簡(jiǎn)化為一個(gè)虛鉸。

（4）可以拆除二元體，簡(jiǎn)化體系。

二、 機(jī)動(dòng)分析步驟

平面體系機(jī)動(dòng)分析的步驟及流程，如圖1所示。

（一）計(jì)算自由度

用以判斷體系屬于剛片體系還是鏈桿體系。剛片體系的自由度計(jì)算公式：w=3m-2h-r；鏈桿體系的自由度計(jì)算公式為：w=2j-b-r。采用自由度公式計(jì)算w，若w>0，體系一定幾何可變；若w≤0，滿足幾何不變的必要條件，則需要進(jìn)行機(jī)動(dòng)分析。

（二） 幾何組成分析

（1）簡(jiǎn)化體系。判斷體系是否有二元體，若有先拆除二元體；兩端是鉸的折桿、曲桿等，桿簡(jiǎn)化為一根鏈桿。

（2）判斷體系所屬類型。根據(jù)體系劃分標(biāo)準(zhǔn)，判斷該體系屬于第一還是第二種類型。

（3）選擇機(jī)動(dòng)分析方法。根據(jù)體系所屬的類型和三種分析方法的要求，選擇該體系的機(jī)動(dòng)分析方法。

（4）幾何組成分析過程。平面體系為第一種類型第一種分析方法的具體分析過程，見算例1。第二種分析方法的具體過程，見算例2。平面體系為第二種類型，應(yīng)采用第三種分析方法，具體分析過程見算例3。

（5）判斷體系是否幾何不變。根據(jù)兩剛片規(guī)則或者三剛片規(guī)則判斷該體系的幾何不變性。

三、 算例分析

（一）算例1

對(duì)圖2所示體系進(jìn)行機(jī)動(dòng)分析。

解：（1）計(jì)算自由度

該體系屬于剛片體系，計(jì)算自由度：w=3m-2h-r=3×3-2×2-5=0。

（2）幾何組成分析

該體系用五根鏈桿與基礎(chǔ)連接，屬于第一種類型。首先把基礎(chǔ)作為剛片Ⅰ，從剛片Ⅰ開始， 增加二元體1-2，擴(kuò)大剛片Ⅰ，剛片Ⅰ與剛片Ⅱ之間用一個(gè)單鉸和一個(gè)不通過此鉸的鏈桿3相連（圖3）。根據(jù)兩剛片規(guī)則，剛片Ⅰ與剛片Ⅱ組成幾何不變部分，即體系局部可以與基礎(chǔ)構(gòu)成幾何不變，應(yīng)采用第一種分析方法，分析過程如圖3所示。由地基（剛片Ⅰ）開始，它與剛片Ⅱ看作一個(gè)剛片，即將剛片Ⅰ擴(kuò)大至剛片Ⅱ；該剛片與剛片Ⅲ之間又由不交于一點(diǎn)的鏈桿4、5、6相連，組成幾何不變的部分，繼續(xù)擴(kuò)大剛片Ⅰ至剛片Ⅲ；它與剛片Ⅳ之間由鉸A和不通過鉸A的鏈桿7相連，組成幾何不變部分；最終，剛片Ⅰ擴(kuò)大至整個(gè)體系。所以，該體系為幾何不變，且無多余約束。

（二）算例2

對(duì)圖4所示體系進(jìn)行機(jī)動(dòng)分析。

解：（1）計(jì)算自由度

該體系屬于鏈桿體系，計(jì)算自由度：W=2j-b-r=2×8-12-4=0。

（2）幾何組成分析

該體系用四根鏈桿與基礎(chǔ)連接，屬于第一種類型。首先把基礎(chǔ)作為剛片Ⅰ，簡(jiǎn)化體系，并拆除二元體11-12。從剛片Ⅰ開始，先擴(kuò)大剛片Ⅰ，依次增加二元體7-8、9-10、5-6，至此剛片Ⅰ不能再擴(kuò)大，也無法擴(kuò)大至整體。因此，該體系機(jī)動(dòng)分析應(yīng)采用第二種分析方法。然后，將其余結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化為一個(gè)或兩個(gè)剛片。將鉸接三角形作為剛片Ⅱ，剛片Ⅱ也無法再擴(kuò)大，此時(shí)由分析可知，不滿足兩剛片規(guī)則要求，且有多余的鏈桿。因此，需要再選擇鏈桿13為剛片Ⅲ。此時(shí)， 剛片Ⅱ、Ⅲ之間由鏈桿1、2組成的虛鉸O1相連。剛片Ⅰ、Ⅱ之間由鉸O3相連，剛片Ⅰ、Ⅲ之間由鏈桿3、4組成的虛鉸O2相連，O1、O2、O3三鉸不在一直線上。所以，該體系幾何不變，且無多余約束（圖5）。

（三）算例3

對(duì)圖6所示體系進(jìn)行機(jī)動(dòng)分析。

解：（1）計(jì)算自由度

該體系屬于剛片體系，計(jì)算自由度：W=3m-2h-r=3×5-2×6-3=0。

（2）幾何組成分析

該體系與基礎(chǔ)用三根鏈桿連接，且滿足兩剛片規(guī)則，屬于第二種類型。因此，應(yīng)采用第三種分析方法，只需要分析體系內(nèi)部（圖7）幾何不變性，即把體系內(nèi)部簡(jiǎn)化為最多三個(gè)剛片。首先選擇3、4、5、6作為一個(gè)剛片，且該剛片可以擴(kuò)大，依次增加二元體14-13、21-23，最后體系內(nèi)部擴(kuò)大為一個(gè)剛片。所以，該體系幾何不變，無多余約束。

四、 結(jié) 語

根據(jù)學(xué)生在學(xué)習(xí)平面體系機(jī)動(dòng)分析中遇到的問題，歸納和總結(jié)教學(xué)方法和技巧，提出平面體系“2+2+3+4”機(jī)動(dòng)分析模式，較好地解決了學(xué)生初學(xué)時(shí)感到無從下手的難題，使平面體系機(jī)動(dòng)分析過程可以按照一定的模式和步驟進(jìn)行。按照“2+2+3+4”機(jī)動(dòng)分析模式，通過教師的課堂講解和課后一些題目的練習(xí)，學(xué)生反映該模式解題和分析效果較好。

參考文獻(xiàn)：

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