關(guān)于數(shù)學(xué)物理方程教學(xué)的一些體會

章海

【摘 要】數(shù)學(xué)物理方程是大學(xué)理工科中重要的基礎(chǔ)課。本文圍繞此課程教與學(xué)中的一些問題和困難，介紹了幾點(diǎn)個人的認(rèn)識和體會。教學(xué)中應(yīng)該選好教學(xué)方法、精選教學(xué)內(nèi)容，以適應(yīng)學(xué)生的理解能力和專業(yè)需求。要著重培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，并對一些教學(xué)手段和課程考核方法做出改革更新。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)物理方程；教學(xué)內(nèi)容；自主學(xué)習(xí)能力

在理工類專業(yè)中，數(shù)學(xué)物理方程是一門重要的基礎(chǔ)必修課。本課程主要講授三類典型的數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出、定解問題的求解以及解的性質(zhì)的探討。這門課程承上啟下，它既與更基礎(chǔ)的高等數(shù)學(xué)課程有直接的關(guān)系，又與很多專業(yè)的后續(xù)課程有著密切的聯(lián)系，為這些課程提供一些重要的概念、公式和計(jì)算方法。通過本課程的學(xué)習(xí)，既可以提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，又能增強(qiáng)他們的科學(xué)素養(yǎng)，從而為今后的專業(yè)發(fā)展奠定良好的理論基礎(chǔ)。

在該門課程的教學(xué)中，學(xué)生常常反映該課程難度較大，過于理論化，計(jì)算過程復(fù)雜，教師也普遍反映講授的知識內(nèi)容不好把握，總體上比較難教，教師的教和學(xué)生的學(xué)都遇到了很大的困難。這主要?dú)w因于以下一些方面：首先，該課程會用到很多的專業(yè)知識。主要涉及到的課程有數(shù)學(xué)分析、常微分方程、線性代數(shù)、復(fù)變函數(shù)以及一些物理課程。其次，該課程具有較高的理論性，運(yùn)算工作量很大。方程的主要的解法就有行波法、分離變量法、積分變換法（Fourier 變換、Laplace變換）、Green函數(shù)法等方法。在很多典型定解問題的解答過程中，計(jì)算推導(dǎo)過程往往復(fù)雜、冗長，學(xué)生容易在復(fù)雜漫長的板書之中迷失，容易產(chǎn)生畏懼情緒。再次，學(xué)生缺乏運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決應(yīng)用問題的經(jīng)驗(yàn)，這使得他們在做作業(yè)時會遇到很大的難度。針對以上現(xiàn)狀，筆者結(jié)合自身的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)剬@門課教學(xué)的一些理解和體會。

1 選好教學(xué)方法， 適應(yīng)學(xué)生的理解能力

本課程重點(diǎn)介紹了用分離變量法求解偏微分方程的定解問題。首先將偏微分方程的定解問題化為常微分方程的定解問題，這一步假設(shè)了方程的解具有乘性分離的形式，這正是分離變量法名稱的來源。然后確定出特征值和特征函數(shù)，這步主要是求解Sturm-Liouville問題。接下來再解其余的常微分方程，我們可以得到解的分立形式。最后為了使解滿足其余的定解條件，再把各分立解疊加成級數(shù)形式的一般解， 再借助于特征函數(shù)的正交性確定出級數(shù)中各分立解的系數(shù)。通過這種標(biāo)準(zhǔn)的求解過程的學(xué)習(xí)，可以使學(xué)生快速熟悉并掌握分離變量這一求解方程的重要方法。

再如，積分變換法是解數(shù)學(xué)物理方程的一種典型的方法。通常的教學(xué)講授順序是先講Fourier變換法，然后講Laplace變換法；最后當(dāng)課時足夠時，會介紹一般的積分變換，這樣前面的兩種方法就是一般情況的兩個特例了。利用泛函分析和算子理論等工具我們可以深入研究一般的變換法，這樣就可以用演繹法給出Fourier變換和Laplace變換的一些重要結(jié)論；不僅如此，還能定義其它的積分變換，如Hankel變換、Mellin變換、有限Fourier變換等。以上這些是普通教材的講授順序，我們可以對它做一些更改、調(diào)整。比如說，我們可以首先介紹一般的積分變換，推導(dǎo)其性質(zhì)定理，然后再用演繹法介紹Fourier變換和應(yīng)用，最后講授Laplace變換和應(yīng)用。這種教學(xué)方法把事物認(rèn)知過程中的歸納法變?yōu)檠堇[法，有助于學(xué)生更清楚的認(rèn)識到積分變換法的實(shí)質(zhì)和共性，這是教學(xué)改革中的一些有益的嘗試。

再如，目前國內(nèi)外大部分教材中，球內(nèi)、外的三維Laplace方程和Poisson方程的Neumann函數(shù)都是用曲面積分與Fourier-Legendre級數(shù)導(dǎo)出的。但是，若學(xué)生尚未學(xué)習(xí)特殊函數(shù)的知識，這樣講述他們接受就有困難。于是，我們轉(zhuǎn)而采用定積分的辦法來構(gòu)造Neumann函數(shù)。例如，對于球內(nèi)的Laplace方程的Neumann問題

2 結(jié)合專業(yè)需求，精選教學(xué)內(nèi)容

數(shù)學(xué)物理方程課程首先介紹一些常見和通用的基本概念和原理，比如通解、特解、線性疊加原理、齊次化原理等。然后重點(diǎn)闡述解方程的分離變量法，在此基礎(chǔ)上，引申介紹了常見的特殊函數(shù)及應(yīng)用。接下來又講授求解方程的其它方法，即積分變換法、Green函數(shù)法和處理泛函極值的變分法。有些教材還會介紹偏微分方程的一些較為現(xiàn)代的知識和工具，如極值原理、上下解方法等。

在本課程的教學(xué)中，我們應(yīng)該做到主次分明、突出重點(diǎn)。數(shù)學(xué)物理方程在第一章或?qū)д摬糠忠话銜榻B一階線性偏微分方程的概念和解法，主要涉及的是線性和擬線性微分方程的特征線解法。課程的后面部分才詳細(xì)介紹二階線性偏微分方程的相關(guān)性質(zhì)與解法。在教學(xué)過程中，應(yīng)當(dāng)強(qiáng)化重點(diǎn)，以講述二階方程為主，不講或少講一階線性方程的知識。另一方面，二階和高階偏微分方程有很多種解法，我們教學(xué)時應(yīng)以分離變量法為主，簡要介紹其它一些解法，如積分變換法、變分法等。

本課程中有些常見的問題非常重要，比如一維弦振動問題。在教學(xué)中為促進(jìn)學(xué)生的理解我們可以多講透一些例題。例如考慮一維弦的如下自由振動問題。

在研究解的性質(zhì)時，我們難以想象出此問題解的形狀，即解函數(shù)的圖形。這時候可以借助于計(jì)算機(jī)輔助技術(shù)，用數(shù)學(xué)軟件繪制出解的圖形，從而加深學(xué)生對達(dá)朗貝爾公式和波動現(xiàn)象的規(guī)律的理解。

3 盡力培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力

與中學(xué)教學(xué)相比，大學(xué)階段的學(xué)習(xí)在方法上有一個質(zhì)的飛躍，主要體現(xiàn)在自主和獨(dú)立學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)與提高。啟發(fā)式教學(xué)是教學(xué)工作中的一項(xiàng)重要原則。教學(xué)過程中，應(yīng)該把學(xué)生當(dāng)作主體，采用引導(dǎo)的方法，啟發(fā)他們自己思考，讓他們重現(xiàn)發(fā)現(xiàn)知識的過程。因此，教師需要在問題的引入、語言的選用和講解的順序等多個方面認(rèn)真組織安排，構(gòu)造問題情境。比如在講授完Laplace方程的解，即調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)之后，要啟發(fā)學(xué)生思考：波動方程、熱傳導(dǎo)方程又有什么樣的性質(zhì)，這些不同類型方程的解在性質(zhì)上差別有多大，這些差別的來源是什么？同時也可以誘導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到，調(diào)和函數(shù)的優(yōu)良性質(zhì)不是Laplace方程特有的，實(shí)際上它是所有二階橢圓型方程共有的性質(zhì)。關(guān)于橢圓型方程和橢圓算子等知識和背景，可以鼓勵有興趣的學(xué)生查閱專業(yè)文獻(xiàn)來做些初步了解。

培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力，要重點(diǎn)做到以下方面：以教材為中心，指定參考書，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中，開闊眼界，從多個角度加深理解概念；根據(jù)教學(xué)進(jìn)度，出預(yù)習(xí)思考題，使學(xué)生在學(xué)習(xí)新內(nèi)容之前知道關(guān)鍵問題，在聽課時抓住重點(diǎn)；安排一定的教學(xué)內(nèi)容讓學(xué)生自學(xué)， 數(shù)學(xué)物理方程是數(shù)學(xué)類課程中內(nèi)容比較多的一門課，某些章節(jié)或例題可以留給學(xué)生自學(xué)。

例如在講授Fourier變換時，應(yīng)該適時的介紹一些Fourier分析在信息科學(xué)與技術(shù)中的應(yīng)用，然后教師介紹和推薦一些參考資料，讓學(xué)生課后去查找、去歸納，他們會獨(dú)立的去鉆研，這便于不斷地提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。

課程介紹了調(diào)和函數(shù)的基本性質(zhì)。利用Green函數(shù)和偏微分方程的基本解的基本概念，用初等方法給出了某些規(guī)則區(qū)域，如球、半空間和第一卦限等的Green函數(shù)，這些知識后來被用于推導(dǎo)調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)。通過這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)，可以讓學(xué)生了解到泛函分析這一現(xiàn)代數(shù)學(xué)工具在偏微分方程理論研究中的應(yīng)用，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

4 改革教學(xué)手段和課程考核方法

隨著科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步，逐漸出現(xiàn)了一些現(xiàn)代教學(xué)手段。多媒體教學(xué)是一種常用的現(xiàn)代教學(xué)方法。利用計(jì)算機(jī)輔助設(shè)備進(jìn)行多媒體教學(xué)，可以大大節(jié)省教師書寫概念、定理和例題的時間，從而減輕了教師的工作強(qiáng)度，這不僅為老師講課提供了充裕的時間，也為學(xué)生留出獨(dú)立思考和課堂練習(xí)的時間，教師可適當(dāng)調(diào)整課程內(nèi)容，豐富教學(xué)內(nèi)容，提高課時利用率，教學(xué)效率也相應(yīng)提高了。另外數(shù)學(xué)物理方程內(nèi)容比較抽象，用傳統(tǒng)的教學(xué)方法學(xué)生不但不好理解而且感到枯燥無味，有了多媒體的運(yùn)用，教學(xué)內(nèi)容更直觀更生動了，從理論到公式的推導(dǎo)演算都通過多媒體演示出來，把理論和實(shí)踐緊密的聯(lián)系起來，把各種內(nèi)容有機(jī)地融合起來。多媒體還可以模擬一些實(shí)際問題，這可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，從學(xué)生被動的學(xué)轉(zhuǎn)化為主動的思考，體現(xiàn)出教與學(xué)的過程中學(xué)生所處的主導(dǎo)地位。

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方法也可以應(yīng)用到課程的講授中。教學(xué)中，應(yīng)把數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)提到一定的高度，這對培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識、分析解決實(shí)際問題的意識、興趣和能力有很大的促進(jìn)作用，也是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)必不可少的一種有效手段。對每一個概念、定理、方法都應(yīng)讓學(xué)生從實(shí)際問題中建立模型，再通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)來完成，在完成過程中要有完整的實(shí)驗(yàn)報(bào)告，由教師在講授過程中按不同章節(jié)根據(jù)需要安排。

在實(shí)踐中，課程的考核方法也需要改革。除以基本要求為主的期末考試外，鼓勵學(xué)生寫小論文，或總結(jié)學(xué)習(xí)成果，或利用已學(xué)到知識自己提出問題、解決問題。我們已在部分教學(xué)班中試行每次都有一些好的作品。同時，知識的傳授方式要由填鴨式改為討論式。在無小班習(xí)題課的條件下，在上大課時盡量采用與學(xué)生一起提出問題解決問題的方式，這種做法常常收到較好的實(shí)際效果。在講授課程內(nèi)容的過程中，應(yīng)突出講授其中蘊(yùn)含的最基本的數(shù)學(xué)思想。增加平時成績的考核比例，立足于課堂，并貫穿于整個教學(xué)過程，把教學(xué)目的和考查結(jié)果有機(jī)的結(jié)合起來。課堂隨時提問，回答表現(xiàn)良好的記上適當(dāng)?shù)姆謹(jǐn)?shù)。課堂上不定期的做一些練習(xí)，促使學(xué)生在課堂上積極思考，力求聽懂學(xué)會，每次課堂練習(xí)都記入平時成績，做的好的分?jǐn)?shù)高。習(xí)題課也可以作為平時考核的一個環(huán)節(jié)，作業(yè)要注意避免學(xué)生抄襲。這些教學(xué)實(shí)踐中的措施有助于提高課堂學(xué)習(xí)的效率，讓學(xué)生自己思考和總結(jié)課程中的基本內(nèi)容、重難點(diǎn)和方法技巧，能有效地提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和學(xué)習(xí)效果，幫助他們掌握重要的基本知識和技能，為進(jìn)一步的學(xué)習(xí)和工作打下堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。

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[責(zé)任編輯：田吉捷]