具有半正非線性項的一階離散分數(shù)階邊值問題的正解

程偉，徐家發(fā)

(重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶401331)

具有半正非線性項的一階離散分數(shù)階邊值問題的正解

程偉，徐家發(fā)

(重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶401331)

研究具有半正非線性項的一階離散分數(shù)階邊值問題。借助與格林函數(shù)相關(guān)的不等式，在非線性項超線性、次線性增長的條件下，運用不動點指數(shù)獲得該問題正解的存在性，推廣和完善了已有的一些結(jié)果。

離散分數(shù)階邊值問題；不動點指數(shù)；正解；半正非線性項

近年來分數(shù)階問題掀起了研究的熱潮。數(shù)學(xué)家們研究發(fā)現(xiàn)運用分數(shù)階模型能更精確地模擬現(xiàn)實問題，在分形和多孔介質(zhì)中的彌散、電容理論、電解化學(xué)、半導(dǎo)體物理、湍流、凝聚態(tài)物理、黏彈性理論、生物數(shù)學(xué)及統(tǒng)計力學(xué)中有廣泛應(yīng)用。然而我們注意到，目前所涉及到的問題幾乎都是微分方程，對于分數(shù)差分方程卻鮮有問津。鄭祖庥教授[1-2]指出：“對于分數(shù)微分方程來說，離散化或者問題提出時便是離散的分數(shù)差分方程是不可避免的。迄今只作為近似解計算的出發(fā)點，沒有對分數(shù)差分方程的專門研究，因此，無論從理論還是應(yīng)用的角度看，這都是極大的缺憾”。然而，近期已有許多學(xué)者致力于研究分數(shù)階差分方程[2-10]，程金發(fā)在其專著[2]中系統(tǒng)總結(jié)了該方向的相關(guān)成果，為后續(xù)研究奠定了基礎(chǔ)。

另一方面，運用微分方程刻畫和模擬現(xiàn)實世界中的諸多實際問題，需要考慮大量不確定的物理變量、參數(shù)以及擾動因素等的影響。例如荷蘭化學(xué)家Aris在研究化學(xué)反應(yīng)時，發(fā)現(xiàn)一些惰性材料、 催化劑等對整個反應(yīng)起到加速或抑制的作用，從而在所對應(yīng)的微分方程中自然含有某個擾動項，即非線性項具有形式f(t,x)≥-M,M>0,這就是數(shù)學(xué)模型中的半正問題。該類問題來源于現(xiàn)實生活，所以對這些具體或抽象的變號非線性微分方程及系統(tǒng)模型中的數(shù)學(xué)問題的研究無疑具有現(xiàn)實背景和應(yīng)用價值。

本文基于以上兩個方面，運用不動點指數(shù)研究如下具有半正非線性項的離散分數(shù)階邊值問題正解的存在性：

(1)

其中Δν是一離散分數(shù)階算子，0<ν<1,ν∈R,[0,T]Z=[0,T]∩Z且非線性項f滿足：

(H1)f∈C([ν-1,ν+T-1]Zν-1×R+,R)且存在一正數(shù)使得

f(t,y)≥-M,?(t,y)∈

[ν-1,ν+T-1]Zν-1×R+

其中Zν-1={ν-1,ν,…}。

1 基礎(chǔ)知識及主要結(jié)論

首先給出離散分數(shù)階計算的相關(guān)定義及基本知識，詳細內(nèi)容參見文獻[2-3]。

定義2 當(dāng)ν>0時，函數(shù)f的ν階和分定義為

并且當(dāng)ν>0時，定義f的ν階分數(shù)差分為

Δνf(t)=ΔNΔν-Nf(t)

其中t∈Na+ν,N是自然數(shù)且滿足0≤N-1<ν≤N。

以下研究問題(1)的格林函數(shù)及其性質(zhì)。定義G:[ν-1,ν+T-1]Zν-1×[0,T]Z→(0,+∞)如下：

G(t,s)=

(2)

φ(t+ν-1)·φ(s+ν-1)≤

φ(t+ν-1)·φ(s+ν-1)

(4)

為了方便，令

令E是從[ν-1,ν+T-1]Zν-1到實數(shù)集的全體映射構(gòu)成的集合，并在其上賦予通常的最大模范數(shù)則(E,‖·‖)是一Banach空間?？紤]定義其上的錐K?E為

以下證明存在足夠大的M1>0，當(dāng)y∈K,‖y‖≥M1時，有

(5)

其中w是以下輔助問題的解

(6)

根據(jù)文[4]的討論知，問題(6)的解可以表示為

(7)

從而可得

因此，若y∈K, 取

則對任意的[ν-1,ν+T-1]Zν-1, 當(dāng)‖y‖≥M1時，有

為了獲得問題(1)正解的存在性，需考慮如下

(8)

其中w由式(7)定義。容易證明：

(i) 若y和w分別是問題(8)和問題(6)的解，并且對任意的t∈[ν-1,ν+T-1]Zν-1，有(y-w)(t)≥0，則y(t)-w(t)是問題(1)的正解；

(ii) 若y是問題(1)的正解，則y(t)+w(t)是問題(8)的正解。因此，只需找尋問題(8)的且超過w的解。

定義算子A:E→E如下

max{y(s+ν-1)-w(s+ν-1),0})+M]

則根據(jù)Arzelà-Ascoli定理可得A是E上的一全連續(xù)算子，并且問題(8)解的存在性等價于算子A不動點的存在性。注意到式(3)，容易證明A(K)?K。

u≠Au+λu0,?u∈?Ω∩P,λ≥0

則i(A,Ω∩P,P)=0，其中i為錐P上的不動點指數(shù)。

u≠λAu,?u∈?Ω∩P,λ∈[0,1]

則i(A,Ω∩P,P)=1。

最后，列出本文使用的假設(shè)條件和主要結(jié)論。

(H3) 對任意的(t,y)∈[ν-1,ν+T-1]Zν-1×[0,M1],有

(H5) 對任意的(t,y)∈[ν-1,ν+T-1]Zν-1×[0,M1],有

其中,f*(t,y)=f(t+ν-1,max{y(t+ν-1)-w(t+ν-1),0})+M。

定理1 若條件(H1)-(H3)滿足，則問題(1)至少有一個正解。

定理2 若條件(H1), (H4), (H5)滿足，則問題(1)至少有一個正解。

2 主要結(jié)論的證明

令

Bρ={y∈E:‖y‖<ρ,ρ>0}

定理1的證明 根據(jù)第一部分的論述，僅需找尋范數(shù)超過M1的算子A的不動點。

第1步： 證明存在足夠大的R>M1使得

y≠Ay+λy0,?y∈?BR∩K,λ≥0

(9)

其中y0∈K是一給定元素。事實上，若式(9)不成立，則存在y∈?BR∩K,λ0≥0使得

y=Ay+λ0y0

由(H2)可知存在ε1>0,c1>0使得

?(t,y)∈[ν-1,ν+T-1]Zν-1×R+

結(jié)合上述兩式可得

在上式兩端乘以φ*(t)，并在ν-1到ν+T-1上求和，注意到式(4)，有

從而由上式解得

另一方面，注意到y(tǒng)∈K，有

‖y‖φ(t+ν-1)≤

從而

所以當(dāng)R>max{M1,M2}時，式(9)成立, 從而根據(jù)引理1知

i(A,BR∩K,K)=0

(10)

第2步：證明

y≠λAy,?y∈?BM1∩K,λ∈[0,1]

(11)

若上式不成立，則存在y∈?BM1∩K,λ0∈[0,1]使得y=λ0Ay，從而‖y‖≤‖Ay‖。 然而根據(jù)條件(H3)，有

這表明‖Ay‖<‖y‖=M1,y∈?BM1∩K矛盾。從而式(11)成立。再由引理2知

i(A,BM1∩K,K)=1

(12)

結(jié)合式(10)和式(12)，有

定理2的證明

第1步： 證明存在足夠大的R>M1，使得

y≠λAy,?y∈?BR∩K,λ∈[0,1]

(13)

否則的話，則存在y∈?BR∩K,λ0∈[0,1]使得

y=λ0Ay

根據(jù)條件(H4)，存在ε2>0,c2>0使得

?(t,y)∈[ν-1,ν+T-1]Zν-1×R+

綜上兩式可得

[y(s+ν-1)-w(s+ν-1)]+c2]≤

在上式兩端乘以φ*(t)，并在ν-1到ν+T-1上求和，并運用式(4)，有

從而解得

另一方面，注意到y(tǒng)∈K,有

‖y‖φ(t+ν-1)≤

從而

所以當(dāng)R>max{M1,M3}時，式(13)成立, 從而根據(jù)引理2知

i(A,BR∩K,K)=1

(14)

第2步：證明

y≠Ay+λy0,?y∈?BM1∩K,λ≥0

(15)

其中y0∈K是一給定元素。若上式不成立，則存在y∈?BM1∩K,λ0≥0使得y=Ay+λ0y0，從而‖y‖=‖Ay+λ0y0‖≥‖Ay‖ 然而由條件(H6)知

這表明‖Ay‖>‖y‖=M1,y∈?BM1∩K矛盾。從而式(15)成立。再由引理1知

i(A,BM1∩K,K)=0

(16)

結(jié)合式(14)和式(16),有

i(A,BR∩K,K)-i(A,BM1∩K,K)=

1-0=1≠0

[1] 鄭祖庥. 分數(shù)微分方程的發(fā)展和應(yīng)用[J]. 徐州師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版), 2008, 26(2): 1-10.ZHENGZX.Onthedevelopmentsandapplicationsoffractionaldifferentialequations[J].JournalofXuzhouNormalUniversity(NaturalScienceEdition), 2008,26(2):1-10.

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Positivesolutionsforafirst-orderdiscretefractionalboundaryvalueproblemwithsemipositonenonlinearity

CHENGWei,XUJiafa

(SchoolofMathematicalSciences,ChongqingNormalUniversity,Chongqing401331,China)

A first-order discrete fractional boundary value problem with semipositone nonlinearity is studied. By virtue of some inequalities associated with Green function, and using the fixed point index, the existence of positive solutions is obtained for the problem, with the nonlinearity grows both superlinearly and sublinearly. The results extend known results.

discrete fractional boundary value problem；fixed point index；positive solution；semipositone nonlinearity

10.13471/j.cnki.acta.snus.2017.04.005

2016-12-16 基金項目：國家自然科學(xué)基金(11601048)；重慶市基礎(chǔ)與前沿研究計劃資助項目(cstc2016jcyjA0181)；重慶市教委科學(xué)技術(shù)研究項目(KJ1703050)；重慶師范大學(xué)項目(15XLB011,16XYY24)

程偉(1985年生)，男；研究方向：微分方程、拓撲動力系統(tǒng)；E-mail: 1375415619@qq.com

徐家發(fā)(1986年生)，男；研究方向：微分方程、非線性泛函分析；E-mail：xujiafa292@sina.com

O

A

0529-6579(2017)04-0023-05