微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

張一敏

【摘要】微分方程建模是解決實際問題的一個非常有效的方法，微分方程數(shù)學(xué)模型在實際生活中的應(yīng)用非常廣泛.本文通過減肥模型分析了微分方程建模在實際生活中的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】微分方程；減肥模型；應(yīng)用

一、引言

微分方程是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要分支，是研究函數(shù)變化規(guī)律的有力工具，它在科技、工程、經(jīng)濟管理、生態(tài)、環(huán)境、人口、交通等各個領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用.在實際生活中，事物的變化本身具有某種內(nèi)在規(guī)律，這些規(guī)律即是量與量之間的依賴關(guān)系.微分方程可以通過對事物進(jìn)行機理分析，找出量與量的變化關(guān)系.實際生活中涉及變化率、邊際、數(shù)量規(guī)律等問題可以通過求解微分方程去預(yù)測其內(nèi)在變化規(guī)律.

數(shù)學(xué)模型是現(xiàn)實世界的本質(zhì)反映和科學(xué)抽象，它用數(shù)學(xué)語言描述研究對象的固有特性和有關(guān)因素之間的互相關(guān)系.在客觀世界中，為了對某一事物或過程進(jìn)行定量的研究，常常通過建立數(shù)學(xué)模型來表征這個事物或過程的本質(zhì).一個好的數(shù)學(xué)模型不僅客觀地反映了實際，而且又易于處理.通過對數(shù)學(xué)模型的求解或分析來解釋客觀現(xiàn)象，預(yù)測事物發(fā)展，以及進(jìn)行系統(tǒng)決策，這種解決問題的方法在生產(chǎn)技術(shù)、科學(xué)技術(shù)和經(jīng)濟金融等眾多領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用，成為人們研究客觀世界的有力工具.

應(yīng)用微分方程理論在實際解決問題的過程中建立的數(shù)學(xué)模型，一般是動態(tài)數(shù)學(xué)模型，其結(jié)果極其簡明，但整個推導(dǎo)過程卻有點繁雜，不過還是能給人們以合理的解釋.由此我們認(rèn)為有機地將數(shù)學(xué)建模與微分方程結(jié)合，必定能使微分方程在實際應(yīng)用過程中發(fā)揮更多更好的作用，以便能解決更多的實際問題，產(chǎn)生更好的效益.

二、微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

在碰到實際問題時，應(yīng)建立研究對象的數(shù)學(xué)模型.建立數(shù)學(xué)模型首先應(yīng)具體問題具體分析，對建立數(shù)學(xué)模型的目的應(yīng)做相應(yīng)的假設(shè)和簡化，而后依照其內(nèi)在規(guī)律羅列出這種微分方程，求出其方程的解，并將其結(jié)果進(jìn)行描述、分析、預(yù)測或控制，最后回到實際對象中應(yīng)用.下面介紹微分方程建模的例子.

問題描述：某人每天由飯食獲取2 500卡熱量，其中1 200卡用于新陳代謝，此外每千克體重需支付16卡熱量作為運動消耗，其余熱量則轉(zhuǎn)化為脂肪，已知以脂肪形式貯存的熱量利用率為100%，每千克脂肪含熱量10 000卡，問此人的體重如何隨時間而變化？

解析設(shè)人的體重為m（t），假設(shè)體重隨時間是連續(xù)變化的，即m（t）是連續(xù)函數(shù)且充分光滑，故我們認(rèn)為能量的攝取和消耗是隨時發(fā)生的.這里我們以“天”為時間單位，在任何一個時間段內(nèi)考慮能量的攝入和消耗所引起的體重的變化.根據(jù)能量的平衡原理，任何時間段內(nèi)由于體重的改變所引起的人體內(nèi)能量的變化應(yīng)該等于這段時間內(nèi)攝入的能量與消耗的能量的差.

我們發(fā)現(xiàn)從理論上來說，只要適當(dāng)調(diào)節(jié)A和B，C（不變），即控制飲食和增加活動量，減肥就能達(dá)到好的效果.

三、總結(jié)

目前，數(shù)學(xué)模型已經(jīng)廣泛應(yīng)用于社會的各個領(lǐng)域，人們追求定量分析和優(yōu)化決策，這都離不開數(shù)學(xué)模型.數(shù)學(xué)模型是為了解決現(xiàn)實問題而建立起來的，它能夠反映現(xiàn)實，即能夠反映現(xiàn)實的內(nèi)在規(guī)律和數(shù)量關(guān)系.數(shù)學(xué)模型作為一種模型，必須對現(xiàn)象做出一些必要的簡化和假設(shè).首先，要忽略現(xiàn)實問題中許多與數(shù)量無關(guān)的因素，例如，本例中我們忽略了個體的年齡、性別、健康狀況等.其次，還要忽略一些次要的數(shù)量因素，從而在本質(zhì)上更能集中反映現(xiàn)實問題的數(shù)量規(guī)律.本文所做的分析只是眾多應(yīng)用中的一個方面，隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展，有理由相信基于微分方程的數(shù)學(xué)建模有著更加廣闊的前景.另外，目前隨著人們生活水平的不斷提高，肥胖逐漸呈現(xiàn)出低齡化，尤其是兒童肥胖應(yīng)該引起我們的重視.

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