把數(shù)學(xué)建模思想融入常微分方程課程中的探討

屈紅雁++杜潤梅++徐文達(dá)

【摘要】常微分方程在各學(xué)科、各領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用，為提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，我們探討了如何把數(shù)學(xué)建模思想融入常微分課程中來，并介紹了兩個(gè)應(yīng)用案例.

【關(guān)鍵詞】常微分方程；數(shù)學(xué)模型；建模

【基金項(xiàng)目】吉林省高教學(xué)會(huì)高教科研課題2016年度立項(xiàng)課題數(shù)學(xué)模型在大學(xué)數(shù)學(xué)教育中的應(yīng)用研究（課題編號(hào)：JGJX2016D71）.

大學(xué)數(shù)學(xué)課程主要培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力以及運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)計(jì)算和證明數(shù)學(xué)問題.可是大部分學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)在面對(duì)實(shí)際問題時(shí)，他們還是不知道怎樣利用數(shù)學(xué)知識(shí)去解決.同時(shí)，還會(huì)覺得數(shù)學(xué)知識(shí)枯燥乏味、高深難懂，逐漸就失去了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和鉆研精神.這是大學(xué)數(shù)學(xué)課程中普遍存在的問題，而且也是大學(xué)數(shù)學(xué)教師迫切需要解決的問題.

數(shù)學(xué)建模是一個(gè)創(chuàng)造性的思維鍛煉，它通過對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行分析，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，在一些必要的簡化假設(shè)下轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而通過數(shù)學(xué)方法來求解.把數(shù)學(xué)建模的思想融入大學(xué)數(shù)學(xué)課程中是一個(gè)行之有效的方法.一方面，通過數(shù)學(xué)建模能夠使學(xué)生認(rèn)識(shí)到實(shí)際問題和數(shù)學(xué)問題的聯(lián)系，增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的興趣；另一方面，在解決實(shí)際問題時(shí)，又必然要用到數(shù)學(xué)工具，從而增加學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的動(dòng)力.很多大學(xué)數(shù)學(xué)教師都在探索如何將數(shù)學(xué)建模的思想融入大學(xué)數(shù)學(xué)課程中，以此調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性.

常微分方程是大學(xué)數(shù)學(xué)課程中的一門與實(shí)際應(yīng)用緊密聯(lián)系的課程.常微分方程是由物理學(xué)、天文學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等眾多的自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域中的實(shí)際問題提出的，通過運(yùn)用微積分的理論及計(jì)算方法來研究常微分方程的解及解具有的性質(zhì).雖然常微分方程在實(shí)際生活中具有廣泛的應(yīng)用，但是很多學(xué)生并不知道或者知之甚少，從而缺乏學(xué)習(xí)的動(dòng)力和興趣.因此，在常微分方程課程中融入數(shù)學(xué)建模思想是必要的，也是可行的.若能把數(shù)學(xué)建模思想融入常微分方程的教學(xué)中，那么學(xué)生能夠深刻認(rèn)識(shí)到所學(xué)知識(shí)的用途，提高學(xué)習(xí)熱情，獲得良好的教學(xué)效果.

一、一階常微分方程的建模案例

程的解為

N（t）=N0ert，t>0.

值得注意的是這個(gè)模型有一定的局限性，即隨著t的增加，人口數(shù)將以指數(shù)級(jí)增加，這是不現(xiàn)實(shí)的.出現(xiàn)這樣的情況是因?yàn)闆]有考慮到環(huán)境容許的最大容量.但是這個(gè)模型可以描述某個(gè)地區(qū)短期的人口數(shù)量.事實(shí)上，這個(gè)模型與19世紀(jì)以前歐洲某些地區(qū)人口和遷往加拿大的歐洲移民人口都大致吻合.

二、常微分方程穩(wěn)定性理論的應(yīng)用舉例

在某些實(shí)際問題中，若關(guān)注的焦點(diǎn)不是每一時(shí)刻的狀態(tài)，而是當(dāng)時(shí)間充分長以后的狀態(tài)時(shí)，我們不需要求解問題，而可以利用常微分方程穩(wěn)定性理論，直接研究解在很長時(shí)間以后的狀態(tài)的穩(wěn)定性即可.

漁業(yè)是可再生資源，漁場主應(yīng)當(dāng)在持續(xù)穩(wěn)產(chǎn)的前提下追求最大效益，這就需要控制捕撈量.捕撈量過大，魚量將持續(xù)減少，不利于長期發(fā)展；捕撈量過少，漁場主的效益不好，甚至虧本.因此，我們需要通過建立模型確定合適的捕撈量.

常微分方程在很多問題上都有重要的應(yīng)用，但是在課堂上選取案例的時(shí)候，還應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)：1.所選案例不能過于復(fù)雜，只要學(xué)生能體會(huì)到常微分方程的應(yīng)用即可，否則容易喧賓奪主，影響正常的教學(xué)進(jìn)度；2.所選案例要有實(shí)際應(yīng)用的背景，貼近生活，通過模型假設(shè)和分析將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為常微分方程問題，將常微分方程與實(shí)際生活緊密聯(lián)系起來，能夠增加學(xué)生學(xué)習(xí)常微分方程課程的興趣；3.在講解案例時(shí)，可以適當(dāng)應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件和畫圖軟件，使學(xué)生對(duì)微分方程的理論有更直觀的認(rèn)識(shí)，加深學(xué)生對(duì)常微分方程知識(shí)的理解.