答案?方法?應(yīng)用

杜永革

【摘要】數(shù)學(xué)思維題，答案能提高學(xué)生的興趣，方法是思維拓展的關(guān)鍵和難點，應(yīng)用則是思維訓(xùn)練的最終目的.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思維；答案；方法；應(yīng)用

“是什么、為什么、怎么樣”是數(shù)學(xué)的三種不同層次的要求及題型.筆者認為，小學(xué)數(shù)學(xué)思維拓展題，是什么（答案）能提高學(xué)生的思維興趣，為什么（方法）是思維拓展的關(guān)鍵和難點，怎么樣（應(yīng)用）是思維訓(xùn)練的最終目的.

一、答案

小學(xué)數(shù)學(xué)四年級有這樣一道思維拓展題及答案（如圖）：

“有A、B、C、D、E共5個隊采用單循環(huán)的形式比賽，共需進行10場比賽.請畫出示意圖.”

只有題目就算了，可它偏偏出現(xiàn)了答案！筆者“被答案”了，難免產(chǎn)生一些想法.

很明顯，題目本身很不錯，可“壞”就“壞”在它奉送的答案上.出現(xiàn)這樣的要求及其答案，容易讓教師引導(dǎo)學(xué)生先通過畫圖，再經(jīng)過數(shù)數(shù)來得出答案.這樣看似簡單，可意義不大！

面對思維拓展題，有人只知“得數(shù)”這個答案，根本不知解答的方法.這樣的思維拓展題按只講答案來要求學(xué)生，有何意義，最多能開闊學(xué)生的眼界，提高學(xué)生的一點點興趣，決不會培訓(xùn)和提升學(xué)生的思維能力.

二、方法

數(shù)學(xué)思維拓展題的主要目的是訓(xùn)練和拓展學(xué)生的思維，答案卻是其次.我們教師面對這樣的思維拓展題時，不僅要讓學(xué)生知道是什么（答案），還應(yīng)該讓他們知道為什么（方法），最后，還能得出怎么樣（應(yīng)用）.此題是不是只用畫圖來列舉才能知道怎么做？這里的畫圖就是畫“五星圖”嗎？

該題是屬于“排列、組合”問題，小學(xué)數(shù)學(xué)的“排列、組合”學(xué)習流程是：加法原理→乘法原理→排列→組合，這是一個完整的邏輯性強的數(shù)學(xué)知識體系.因此，該題可用加法原理、乘法原理和“排列、組合”三種方法來解答.畫圖（表）列舉法只是用來幫助學(xué)生理解加法原理和乘法原理而已.

方法一：因是單循環(huán)賽，所以他們5個隊比賽的場次只看圖的右上（或左下）部分就行了.完成比賽任務(wù)可按A、B、C、D、E分為5類，其中A類有4場、B類有3場、C類有2場、D類有1場、E類有0場.

根據(jù)加法原理有4+3+2+1+0=10（場）.

答：共需進行10場比賽.

方法二：我們先來看看雙循環(huán)賽（整圖）.每場比賽需兩隊，我們用主、客兩隊來表示.因此，所有的比賽分兩步完成：先確定主隊、再確定客隊.第一步在5個隊中選1個隊確定為主隊，有5種選法（5列）；第二步在除去自己隊而剩余的4個隊中選1個隊確定為客隊，有4種選法（每列剩下的4行）.而單循環(huán)賽場次恰好是雙循環(huán)賽的一半（如圖）.

所以根據(jù)乘法原理有5×（5-1）÷2=10（場）.

答：共需進行10場比賽.

方法三：單循環(huán)賽的場次就是從5個隊中，取2個隊的組合數(shù).

所以用“排列、組合”解答有：

C25=P251P22=（5×4）÷（2×1）=10（場）.

答：共需進行10場比賽.

題目要求用畫圖來表示，學(xué)生很難畫出和答案一樣的“五星圖”，而筆者的“比賽圖”因廣泛地用在實際的比賽計分中，所以學(xué)生更容易想到或理解.兩種圖有截然不同的作用與效果.編者的“五星圖”只是提供數(shù)數(shù)的依據(jù)，并不是解決該問題的方法，對學(xué)生的思維訓(xùn)練和拓展可能有阻礙的作用；而筆者的“比賽圖”，它能幫助學(xué)生正確地理解解決問題的方法，真正起到訓(xùn)練和拓展學(xué)生思維的作用.

三、應(yīng)用

試想，如果題目是：“有10個隊采用雙循環(huán)的形式比賽，共需進行（）場比賽.”能畫“十星圖”來列舉數(shù)出答案嗎？很明顯，列舉法只能適用于數(shù)量和答案數(shù)量比較小的題目.當題目數(shù)量比較大時，我們還得采用“排列、組合”法來解答：

10×（10-1）=90（場）或P210=10×9=90（場）.

答：共需進行90場比賽.

怎么樣？應(yīng)用“排列、組合”法能舉一反三地解答數(shù)學(xué)生活中類似的題目吧！因此，我們在選題和引導(dǎo)學(xué)生思考時，除了要考慮問題（是什么）的意義，還要體現(xiàn)出它的研究（為什么）和應(yīng)用（怎么樣）價值.