M矩陣Fan乘積行列式下界估計(jì)

仲從磊，李靈曉

(河南科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 洛陽 471023)

M矩陣Fan乘積行列式下界估計(jì)

仲從磊，李靈曉

(河南科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 洛陽 471023)

針對(duì)M矩陣Fan乘積行列式的計(jì)算問題，結(jié)合M矩陣Hadamard乘積行列式的估計(jì)式，給出了M矩陣Fan乘積行列式下界的幾個(gè)估計(jì)。對(duì)這些結(jié)果進(jìn)行了比較和推廣，并給出了相應(yīng)的算例。研究結(jié)果表明：采用矩陣的順序主子式替代矩陣元素后行列式多一正項(xiàng)，下界變大，結(jié)論更精確，有利于M矩陣Fan乘積行列式的計(jì)算。

M矩陣;Hadamard乘積;Fan 乘積;行列式;下界

0 引言

矩陣的Fan乘積是一種特殊的矩陣乘積，廣泛應(yīng)用于特征函數(shù)以及偏微分方程[1-4]的弱極小原理等方面的研究中。M矩陣是計(jì)算數(shù)學(xué)中重要的特殊矩陣類[5]，有著廣泛的應(yīng)用。生物、物理和社會(huì)科學(xué)中的諸多問題都與M矩陣有著密不可分的聯(lián)系。因此，M矩陣Fan乘積行列式的計(jì)算和估計(jì)[6]成為特殊矩陣論研究的主要內(nèi)容之一。其中，關(guān)于M矩陣Fan乘積行列式下界的估計(jì)是近幾年的研究熱點(diǎn)，并得到了一系列結(jié)論。但這些結(jié)論中的估計(jì)式需要借助于矩陣的所有元素進(jìn)行計(jì)算，所需計(jì)算量較大且所得下界的誤差較大。

本文結(jié)合M矩陣Hadamard乘積行列式的估計(jì)給出M矩陣Fan乘積的一些估計(jì)式，并對(duì)這些估計(jì)式做了比較。對(duì)于M矩陣Fan乘積的計(jì)算和特征值界的估計(jì)問題[6-7]，以及相關(guān)的偏微分方程數(shù)值解等有一定參考價(jià)值。

1 矩陣Fan 乘積定義

設(shè)Rm×n為全體m×n實(shí)矩陣的集合，矩陣A=(aij)∈Rm×n，矩陣B=(bij)∈Rm×n,其Hadamard乘積定義為一個(gè)m×n矩陣A°B，其中(A°B)ij=aijbij。A和B的Fan乘積定義為一個(gè)m×n矩陣A*B，其中：

如果aij≥bij對(duì)所有的i,j成立，則稱A≥B。矩陣A∈Rn×n，如果A=sI-B且s>0,B≥0，s>ρ(B),其中,s為某一實(shí)數(shù)，I為n階單位矩陣，ρ(B)為B的譜半徑；稱A為非奇異M矩陣，記Mn為全體n×n非奇異M矩陣的集合。 矩陣A∈Rn×n的比較矩陣定義為一個(gè)n×n矩陣μ(A)=(mij)，其中:

矩陣A∈Rn×n的全體k×k順序主子矩陣記為Ak。

文獻(xiàn)[6-10]給出了一些關(guān)于兩個(gè)M矩陣Hadamard乘積行列式下界的估計(jì)不等式，經(jīng)典的結(jié)果是：

定理1[6]若A=(aij)∈Mn,B=(bij)∈Mn,則

(1)

本文將上述結(jié)論推廣到兩個(gè)M矩陣Fan乘積上,并利用文獻(xiàn)[5]的相關(guān)結(jié)論對(duì)其改進(jìn)。

2 幾個(gè)引理

引理1[9]如果A∈Mn,那么Ak∈Mk。

引理2[9]如果A=(aij)∈Mn,那么

det (Ak)≥0,k=1,…,n。

(2)

引理3[10]如果A∈Mn，B∈Mn，那么

(3)

證明 根據(jù)引理1,

因此,

diag(a11,a22,…,ak-1,k-1)≥Ak-1；

并且

從而,

沖砂系統(tǒng)的開挖與常規(guī)的地下隧洞開挖有區(qū)別的，坡積體段管棚灌漿處理形成了封閉裂隙，加強(qiáng)基巖的完整性，達(dá)到提高巖體強(qiáng)度和剛度的。在開挖過程中明顯出現(xiàn)砂礫石形成整體現(xiàn)象，加上臨時(shí)支護(hù)及時(shí)，未出現(xiàn)大量塌方現(xiàn)象，說明該隧洞的坡積體段施工方法可靠。

(4)

(5)

由式(2)、式(4)和式(5),可得：

引理4[10]若A=(aij)∈Mn,B=(bij)∈Mn,則

3 主要結(jié)論

本部分將給出兩個(gè)M矩陣A和B的det(A*B)界的估計(jì)不等式。

定理2 設(shè)A=(aij)∈Mn,B=(bij)∈Mn, 那么

A*B=μ(A°B)。

證明 因?yàn)锳∈Mn、B∈Mn,易知aii>0,bii>0且aij≤0,bij≤0(i≠j)，從而

故

A*B=μ(A°B)。

根據(jù)定理2和式(1)可得：

定理4 設(shè)A=(aij)∈Mn、B=(bij)∈Mn,那么

證明 由引理4可得：

根據(jù)引理3和定理2,易得：

det (A*B) =det [μ(A°B)] ≥

以上結(jié)論通過算例加以驗(yàn)證。

算例：

易知A和B都是M矩陣，且

det(A*B)=1 120；

顯然

det (A*B)= det [μ(A°B) ] ≥

上述算例表明定理4的結(jié)論比定理3的結(jié)論更加精確。

需要注意的是，矩陣的階數(shù)每提高一階，行列式的順序余子式的個(gè)數(shù)會(huì)增加一個(gè)，估計(jì)算法計(jì)算量也會(huì)相應(yīng)地增加，這個(gè)問題可以借助于計(jì)算機(jī)得到快速解決。對(duì)于偏微分方程數(shù)值解等問題中產(chǎn)生的稀疏矩陣，如果滿足M矩陣的條件，尤其是對(duì)角占優(yōu)矩陣，本文中的估計(jì)不等式也是成立的。文中的推導(dǎo)方法依據(jù)M矩陣Hadamard 乘積行列式的相關(guān)結(jié)論得出，今后也會(huì)有更加精確的估計(jì)式產(chǎn)生，同時(shí)也可以把相關(guān)的結(jié)論推廣到兩個(gè)H矩陣[11]的Fan乘積問題上。

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國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11301152)；河南省教育廳自然科學(xué)基金項(xiàng)目(13B110999)

仲從磊(1979-)，男，山東濟(jì)寧人，助教，碩士，主要研究方向?yàn)閿?shù)值代數(shù)與特殊矩陣論.

2017-01-06

1672-6871(2017)06-0082-04

10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2017.06.016

O241.6

A