小級數(shù)Ince-Gaussian光束光強模式分析

甄志強，馬海祥，李新忠，李賀賀，王靜鴿

(河南科技大學 物理工程學院，河南 洛陽 471023)

小級數(shù)Ince-Gaussian光束光強模式分析

甄志強，馬海祥，李新忠，李賀賀，王靜鴿

(河南科技大學 物理工程學院，河南 洛陽 471023)

研究了因斯-高斯(IG)光束級數(shù)m較小時，分立光瓣模式的光強分布。通過數(shù)值模擬，對IG奇偶模式以及奇偶模式線性疊加生成的PIG分立光瓣模式的光強進行了分析。分析結(jié)果表明：m較小時，PIG分立光瓣模式光瓣的空間位置介于奇偶模式之間，但是光瓣的光強分布變化較為明顯。同一模式光瓣角向橢圓變量越接近于橢圓長軸，其光強比重越大。在統(tǒng)一總光強后，相同階數(shù)與級數(shù)的不同模式光瓣總光強與角向橢圓變量差為一個三次函數(shù)的關(guān)系。對于偶模橢圓長軸上的光瓣，隨著該模式通過PIGπ/2模式轉(zhuǎn)化為奇模，該光瓣上的光強分布逐漸由彌散向著逆時針方向集中。

物理光學;因斯-高斯光束；模式分布；光場調(diào)控；微粒操縱；數(shù)值模擬;光強分析

0 引言

因斯-高斯(Ince-Gaussian，IG)模式[1]是空間近軸波動方程(paraxial wave equation,PWE)在橢圓坐標系上的準確正交解，是一種自然存在于穩(wěn)定諧振腔中的激光模式。其模式分為奇模和偶模，因其與厄米特-高斯(Hermite-Gaussian，HG)模式和拉蓋爾-高斯(Laguerre-Gaussian,LG)模式相比，具有更為豐富的模式分布，一直吸引著研究者的關(guān)注[2-13]。

2004年，文獻[1]首次推導(dǎo)出PWE在橢圓坐標系下的準確正交解，提出了IG模式分布，并發(fā)現(xiàn)它是LG和HG的過渡模式，為IG光束提供了理論基礎(chǔ)。同年，文獻[14]在理論上發(fā)現(xiàn)IG光束的奇模和偶模線性組合可以生成橢圓形的渦旋光束，稱為螺旋因斯-高斯(helical Ince-Gaussian，HIG)光束，豐富了渦旋光束的類型。文獻[15]首次在實驗上從穩(wěn)定諧振腔中直接產(chǎn)生了IG模式，為IG光束奠定了實驗基礎(chǔ)。文獻[16]使用液晶顯示器產(chǎn)生了IG模式和HIG模式，降低了IG光束研究的實驗成本。隨后，IG模式與HIG模式相繼在微操縱[7]、制備渦旋光束或渦旋陣列[3,17-18]等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用。最近，為了進一步擴充IG光束在精細操縱領(lǐng)域的應(yīng)用，基于IG光束的奇偶模式，文獻[19]提出了一種具有初始相位調(diào)控的IG模式分布(the Ince-Gaussian beam with initial phase difference，PIG)。該模式大大豐富了IG光束的模式分布，實現(xiàn)了IG光瓣在橢圓軌跡上的精確位移控制，為IG光束在微粒操縱及光束微雕刻等領(lǐng)域提供了額外的調(diào)控自由度。然而，文獻[19]僅研究了PIG模式光束級數(shù)m較大時的模式分布，而當m較小時，由于光瓣數(shù)量較少，光瓣上光強分布不均勻[1]，無法形成橢圓形的光瓣分布。此外，光強的分布直接影響微粒捕獲應(yīng)用中的光場梯度力的分布[20]，因此，對于IG模式光場分布的研究具有重要的意義。

PIG模式作為一種最近才提出的對精細操縱等領(lǐng)域具有潛在應(yīng)用價值的IG光束模式分布，其分立光瓣模式的光強分布介于IG光束奇偶模式之間，因此，對于m較小時PIG模式分布的研究有助于解析IG光束各種光瓣模式的光強分布，在微操縱領(lǐng)域具有重要的研究意義。針對該問題，本文研究了m取值較小時，PIGπ/2模式與PIG3π/2模式的光強分布，以及其與IG光束奇偶模式光強分布的關(guān)系，并進一步探討了IG光束各種光瓣模式的光強變化規(guī)律，為IG光束對微粒的精細操縱提供了理論依據(jù)。

1 PIG光束的產(chǎn)生方法

考慮在橢圓參數(shù)為ε的橢圓坐標系下，IG光束奇偶模式的表達式[1,14]為：

(1)

(2)

具有初始相位差的IG光束的奇偶模式疊加，生成的PIG模式電場表達式[19]為：

(3)

2 結(jié)果與討論

PIG光束的產(chǎn)生采用數(shù)值模擬的方法，對PIG模式及其與IG奇偶模式的關(guān)系進行可視化研究。模擬中，選取參數(shù)λ=532nm，橢圓參數(shù)ε=2，傳播距離z=375mm，采樣間隔為0.05mm。

圖1為p=m=1時，PIG分立光瓣模式以及IG奇偶模式的歸一化光強分布圖。圖1中虛線為計算出的光瓣最亮點的連線；虛線旁邊的角度為虛線與水平線的夾角。由圖1可以看出：p=m=1時，這4種模式均為兩個光瓣對稱分布，光瓣上的光強分布十分穩(wěn)定，即4種模式的變化過程中，每個光瓣上的光強分布無變化。計算出的這4條連線夾角為45°，由此可知，該狀態(tài)下，PIG分立光瓣模式相當于IGe模式或IGo旋轉(zhuǎn)45°時對應(yīng)的模式光強分布，符合文獻[19]中提到的PIG模式光強分布規(guī)律，但是由于模式的光瓣數(shù)量較少，無法形成光瓣在橢圓軌跡上的精確位移調(diào)控。

圖1 p=m=1時，種模式光強分布圖

下面分析p=m≠1時的模式光強分布情況。圖2為p=m=2,3時，4種模式的光強分布圖。圖2a～圖2d依次為p=m=2時，IGe、PIGπ/2、IGo、PIG3π/24種模式的光強分布；圖2e～圖2h依次為p=m=3時，以上4種模式的光強分布。對比圖2a與 圖2c、圖2e與圖2g可以看出：IGe模式光瓣數(shù)比IGo模式減少了m-1個。觀察圖2a、圖2b、圖2e、圖2f可以發(fā)現(xiàn)：當IGe模式過渡到PIGπ/2時，光瓣繞中心逆時針旋轉(zhuǎn)了一定的角度，IGe中心的光瓣上下兩部分在這種運動趨勢中逐漸被分離。觀察圖2b、圖2c、圖2f、圖2g可以發(fā)現(xiàn)：最終過渡到IGo時，光瓣完全分離。因此，由PIG模式提供了IGe與IGo模式變化的中間狀態(tài)，證明了對于p和m相等且較小時，IGe模式中心光瓣其實是上下兩個光瓣連在一起形成的。另外，由圖2c、圖2d、圖2g和圖2h可以看出：IGo模式到PIG3π/2模式的變化為光瓣繼續(xù)逆時針旋轉(zhuǎn)，上下相互拉近的兩光瓣形成了連接的趨勢。從圖2a、圖2d、圖2e、圖2h中可以看出：最后重新過渡到IGe模式，相當于IGe到IGo模式之間的逆變換。不同的是兩個過程變換方向均為逆時針，使得PIGπ/2模式與PIG3π/2模式不同且相互對稱。另外，4種模式光瓣光強分布均滿足如下規(guī)律：光瓣越是靠近光強分布橢圓的長軸(簡稱橢圓長軸)，其總光強越大。該規(guī)律命名為光瓣間的光強分布規(guī)律。值得注意的是，這4種模式均為IG光束的模式，下面通過對p=m=3時，IG光束這4種模式光瓣光強的精確求解，來研究IG光瓣間光強分布的統(tǒng)一規(guī)律。

圖2 p=m=2,3時，PIG模式與模式光強分布圖

為了表示光瓣與圖片左右兩邊的距離，定義橢圓角向變量差△η為光瓣光強分布極大值的角向橢圓變量與0或π(橢圓長軸的角向橢圓變量)差值的最小值。另外，模擬求解中，選取最大光強的1/5作為光瓣范圍的閾值。為了使該研究具有現(xiàn)實意義，假設(shè)4種模式在同一個光路中產(chǎn)生，且產(chǎn)生4種模式的衍射效率一樣，即4種模式分布的總光強一樣。在以上假設(shè)下，以p=m=3為例，繪制了IG模式光瓣總光強Iall與光瓣橢圓角向變量差△η的關(guān)系圖，如圖3所示。使用多項式擬合的方法，求解出光瓣總光強與光瓣橢圓角向變量差的關(guān)系為Iall=8 225△η3-17 296△η2+3 974△η+7 671，其擬合度R2=0.985 97≈1，說明計算出的參數(shù)與方程擬合得非常好，驗證了該方程的準確性。光強分布決定著光場梯度力的大小，該研究有助于預(yù)測IG的4種模式變換時力場分布的變化，對微粒操縱具有指導(dǎo)意義。

圖3 IG模式光瓣總光強與光瓣橢圓角向變量差的關(guān)系

針對p≠m時的情況進行研究。圖4以p=4，m=2為例，展示了IGe、PIGπ/2、IGo、PIG3π/24種模式的光強分布圖，依次對應(yīng)于圖4a～圖4d。此時，光瓣的空間位置為內(nèi)外兩環(huán)的分布狀態(tài)[1]。對于內(nèi)環(huán)光瓣，其變化趨勢與圖2中p=m時的情況相似，不再做重復(fù)分析。對于外環(huán)，由于光瓣數(shù)量較少，使得IGe模式在橢圓長軸上的光瓣分布范圍較大，光強較為彌散。由圖4a和圖4b可以看出：當過渡到PIGπ/2模式時，光瓣逆時針運動，同時，長軸上光瓣的光強分布向著逆時針的方向集中。對比圖4b和圖4c可以看出：過渡到IGo時，兩光瓣光強完全流入其中一端，形成一個光強較為集中的光瓣。該光強變化規(guī)律命名為光瓣內(nèi)部的光強變化規(guī)律。對于其他光瓣，由于光瓣本身光強分布集中，因此光強變化忽略不計。而原先偶模時在橢圓短軸上的光瓣，在該變化中光強逐漸變大，其規(guī)律等同于p=m時光瓣間的光強變化規(guī)律。

圖4 p=4，m=2時，PIG模式與模式光強分布圖

圖5 橢圓節(jié)點線上最左端光瓣光強分布

為了了解光瓣上力場的變化，定量研究PIGπ/2模式與IGe、IGo模式光瓣上的光強分布。選取IGe橢圓長軸的一個光瓣為研究對象，將圖4中最左端光瓣在其所在的橢圓節(jié)點線[19]上的光強分布取出，繪制圖5。圖5中，橫坐標為選取的光瓣樣本初始點定為0點的橢圓角向變量。由圖5中可以看出：3種模式中IGe模式的光強峰值最小，光強分布范圍最大。IGo模式光強峰值最大，光強分布范圍最小。驗證了3種模式變化過程中，光強分布在逐漸地集中。另外，對于IGe模式，其彌散的光強分布使得光瓣上形成了兩個光強峰值。變化過程中，左邊峰值消失。該現(xiàn)象在雙微粒的聚集調(diào)控中有潛在應(yīng)用價值。

3 結(jié)論

使用數(shù)值模擬的方法研究了光束級數(shù)m較小時，PIG分立光瓣模式與IG奇偶模式的光強分布。4種模式的切換規(guī)律與文獻[19]相符，即PIG分立光瓣模式為奇偶模式的中間狀態(tài)。另外，得到IG光束同一模式中光瓣間的光強變化規(guī)律，即光瓣越是靠近橢圓長軸，其總光強越大。在統(tǒng)一各模式總光強后，所有模式光瓣光強分布與定義的光瓣橢圓角向變量差為三次函數(shù)的關(guān)系。此外，光瓣內(nèi)部的光強變化規(guī)律為：由IGe模式通過PIGπ/2模式到IGo模式的變化過程中，IGe模式橢圓長軸光瓣逐漸由彌散的光強分布向逆時針方向集中。

[1]BANDRESMA,GUTIERREZ-VEGAJC.Ince-Gaussianbeams[J].Opticsletters,2004,29(2):144-146.

[2]BANDRESMA,GUTIERREZ-VEGAJC.Ellipticalbeams[J].Opticsexpress,2008,16(25):21087-21092.

[3]CHUSC,YANGCS,OTSUKAK.VortexarraylaserbeamgenerationfromaDoveprism-embeddedunbalancedMach-Zehnderinterferometer[J].Opticsexpress,2008,16(24):19934-19949.

[4]GUTIERREZ-VEGAJC.Characterizationofellipticdarkhollowopticalbeams[C]//DigestoftheLeosSummerTopicalMeetings.2008:7-8.

[5]ALPMANNC,WOERDEMANNM,DENZC.Tailoredlightfields:InceGaussianbeamsoffernovelopportunitiesinopticalmicromanipulation[C]//ConferenceonLasers&Electro-OpticsEurope,IEEE.2011.

[6]BAIZY,DENGDM,GUOQ.ElegantInce-Gaussianbeamsinaquadratic-indexmedium[J].Chinesephysicsb,2011,20(9):094202.

[7]WOERDEMANNM,ALPMANNC,DENZC.OpticalassemblyofmicroparticlesintohighlyorderedstructuresusingInce-Gaussianbeams[J].Appliedphysicsletters,2011,98(11):111101.

[8]PARRA-HINOJOSAA,GUTIERREZ-VEGAJC.FractionalInceequationwithaRiemann-Liouvillefractionalderivative[J].Appliedmathematicsandcomputation,2013,219(22):10695-10705.

[9]LEIJ,HUA,WANGY,etal.AmethodforselectiveexcitationofInce-Gaussianmodesinanend-pumpedsolid-statelaser[J].Appliedphysicsb(lasersandoptics),2014,117(4):1129-1134.

[10]FORBESA,LIZOTTETE,MELLADO-VILLASENORG,etal.ExperimentalgenerationofHermite-GaussandInce-Gaussbeamsthroughkinoformphaseholograms[C]//SPIEOpticalEngineeringApplications,InternationalSocietyforOpticalEngineering.2015.

[11]HANS,LIUY,ZHANGF,etal.DirectgenerationofsubnanosecondInce-Gaussianmodesinmicrochiplaser[J].LEEEphotonicsjournal,2015,7(1):4500206.

[12]RENYX,FANGZX,GONGL,etal.DynamicgenerationofInce-Gaussianmodeswithadigitalmicromirrordevice[J].Journalofappliedphysics,2015,117(13):133106.

[13]PENGY,CHENB,PENGX,etal.Self-acceleratingAiry-Ince-GaussianandAiry-helical-Ince-Gaussianlightbulletsinfreespace[J].Opticsexpress,2016,24(17):18973-18985.

[14]BANDRESMA,GUTIERREZ-VEGAJC.Ince-Gaussianmodesoftheparaxialwaveequationandstableresonators[J].Journaloftheopticalsocietyofamericaa,2004,21(5):873-880.

[15]SCHWARZUT,BANDRESMA,GUTIERREZ-VEGAJC.ObservationofInce-Gaussianmodesinstableresonators[J].Opticsletters,2004,29(16):1870-1872.

[16]BENTLEYJB,DAVISJA,BANDRESMA,etal.GenerationofhelicalInce-Gaussianbeamswithaliquid-crystaldisplay[J].Opticsletters,2006,31(5):649-651.

[17]KENJUO,SHU-CHUNC.Generationofvortexarraybeamsfromathin-slicesolid-statelaserwithshapedwide-aperturelaser-diodepumping[J].Opticsletters,2009,34(1):10-12.

[18]CHUN-FUK,SHU-CHUNC.Numericalstudyofthepropertiesofopticalvortexarraylasertweezers[J].Opticsexpress,2013,21(22):281-288.

[19] 馬海祥，李新忠，李賀賀，等.相位差因子調(diào)控的Ince-Gaussian光束空間模式分布研究[J].光學學報,2017,37(6):0626002.

[20]WOERDEMANNM,ALPMANNC,ESSELINGM,etal.Advancedopticaltrappingbycomplexbeamshaping[J].Laser&photonicsreviews,2013,7(6):839-854.

國家自然科學基金項目(61205086,11504091)；瞬態(tài)光學與光子技術(shù)國家重點實驗室開放基金項目(SKLST201203)；河南省高等學校青年骨干教師資助計劃基金項目(2013071)

甄志強(1978-)，男，河南林州人，實驗師，主要從事光場調(diào)控及散斑測量技術(shù)方面的研究.

2017-02-18

1672-6871(2017)06-0086-05

10.15926/j.cnki.issn1672-6871.2017.06.017

O436；O438.1

A