基于時(shí)間序列模型的股票價(jià)格波動(dòng)特性分析

張捷

(廣州大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 廣東 廣州, 510006)

基于時(shí)間序列模型的股票價(jià)格波動(dòng)特性分析

張捷

(廣州大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 廣東 廣州, 510006)

股票市場的波動(dòng)率問題一直是現(xiàn)代投資學(xué)研究的關(guān)鍵問題, 是國家監(jiān)管機(jī)構(gòu)最關(guān)注的風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)。選取股票交易系統(tǒng)中2015—2016年股票東阿阿膠(000423)日收盤價(jià)數(shù)據(jù), 分別從序列水平特征和波動(dòng)特性2個(gè)角度, 運(yùn)用ARIMA模型和GARCH模型, 進(jìn)行股票的短期預(yù)測和波動(dòng)性擬合。結(jié)果顯示: ARIMA模型對深交所股票東阿阿膠日收盤價(jià)的短期預(yù)測值與實(shí)際值相對誤差小, GARCH模型較好地?cái)M合了股票價(jià)格, 并估計(jì)出了風(fēng)險(xiǎn)區(qū)間, 能為短期投資者和股票決策者提供參考。

異方差時(shí)間序列分析; ARIMA模型; GARCH模型; 波動(dòng)性風(fēng)險(xiǎn)

時(shí)間序列的分析方法對于股票價(jià)格的預(yù)測在實(shí)際應(yīng)用中有很好的效果, 時(shí)間序列統(tǒng)計(jì)模型能夠綜合利用股票的歷史數(shù)據(jù)信息, 提高預(yù)測精度, 尤其在經(jīng)濟(jì)、管理和統(tǒng)計(jì)研究領(lǐng)域, 已成為改進(jìn)和提高預(yù)報(bào)精度的重要途徑。Engle首次提出自回歸條件異方差模型ARCH[1], 隨后, Bollerslew將ARCH推廣到廣義ARCH模型, 即GARMCH模型[2]。傳統(tǒng)的金融產(chǎn)品定價(jià)模型假定波動(dòng)性是不隨時(shí)間變化的常數(shù),但大量的實(shí)證研究表明, 金融產(chǎn)品價(jià)格的變動(dòng)呈現(xiàn)波動(dòng)性聚類現(xiàn)象[3–8]。所謂波動(dòng)性聚類是指價(jià)格的大幅波動(dòng)(或小幅波動(dòng))常常相伴出現(xiàn), 從而大幅度波動(dòng)聚集在某些時(shí)段。這一發(fā)現(xiàn)說明易變性是隨時(shí)間而變動(dòng)的。本文先從序列水平的角度, 應(yīng)用回歸移動(dòng)平均(Auto-Regressive Integrated Moving Average,ARIMA)模型, 進(jìn)行序列水平的擬合, 分析個(gè)股東阿阿膠(000423)的日收盤價(jià)的總體特征, 并作出其日收盤價(jià)的短期預(yù)測。再從序列波動(dòng)性的角度, 判斷其是否存在波動(dòng)聚集現(xiàn)象, 進(jìn)一步用GARCH模型擬合出序列的波動(dòng)特征。為了較全面分析給定的時(shí)間, 先給出了水平上序列值的預(yù)測, 再給出具有風(fēng)險(xiǎn)性判斷價(jià)值的股價(jià)波動(dòng)性的置信區(qū)間, 從水平和波動(dòng)2個(gè)角度分析股價(jià)的特性, 給投資者提供參考。

1 數(shù)據(jù)來源與方法

1.1 數(shù)據(jù)來源

在深交所上市交易的個(gè)股東阿阿膠(000423)2015年1月5日—2016年10月16日收盤價(jià)數(shù)據(jù)來源于雅虎金融官網(wǎng)(http://finance.yahoo.com/)。

1.2 ARIMA模型

對于時(shí)間序列{Xt, t∈T}, 記B為延遲算子xt=Bxt, xt-2=B2xt,…,xt-p=Bpxt。自ARIMA模型通常的結(jié)構(gòu)為其中: εt是隨機(jī)誤差項(xiàng); ?d=(1-B)d;Φ(B)=1-φ1B-φ2B2-…-φpBp為平穩(wěn)可逆ARMA(p, q)模型的自回歸系數(shù)多項(xiàng)式; Θ(B)=1-θ1B-θ2B2-…-θqBq為平穩(wěn)可逆ARMA(p, q)模型的移動(dòng)平均系數(shù)多項(xiàng)式[9–13]。

1.3 GARCH模型

如果序列{εt}的方差不恒定, 就用ARMA模型來估計(jì)方差持續(xù)變動(dòng)的趨勢。如果用表示模型的殘差估計(jì)值, 那么yt+1的條件方差為。假設(shè)條件方差不恒定, 一個(gè)簡單的解決方法是用殘差估計(jì)值的平方將條件方差建模為AR(q)過程

其中νt是白噪聲過程。用式(1)把t + 1期的條件方差預(yù)測為。類似式(1)的方程被稱為自回歸條件異方差(ARCH))模型。

假定誤差過程為εt=σtνt, 其中, 且

由于{νt}是白噪聲過程, εt的條件和無條件均值都等于0。對εt取期望, 易證明Eεt=Eνt(ht)1/2=0。其中, εt的條件方差是由Et-1εt2=ht給出的, 因此, εt的條件方差就是式(2)中ht給出的ARMA過程。而這個(gè)擴(kuò)展的ARCH(p, q)模型被稱為GARCH(p, q)[11]。GARCH(p, q)模型一般形式為

其中: f(t, xt-1, xt-2,…)為序列{xt}的回歸函數(shù);(i.d.d表示獨(dú)立同分布), 系數(shù)λj為使用殘差平方序列的q階移動(dòng)平均擬合當(dāng)期異方差函數(shù)值所得系數(shù), 提取的是異方差函數(shù)短期自相關(guān)過程, 反映短期的波動(dòng)特征; ηj為擬合具有長期記憶性的異方差函數(shù)所得系數(shù)[3–4]。

2 計(jì)算過程與結(jié)果分析

2.1 序列預(yù)處理和模型識(shí)別與檢驗(yàn)

利用純隨機(jī)性檢驗(yàn), 判斷2015年1月5日—2016年10月16日的東阿阿膠序列是否存在有用信息值得提取。圖1(a)為日收盤價(jià)時(shí)序圖, 由圖1(a)可知, 收盤價(jià)在2015年5月股價(jià)發(fā)生大幅度波動(dòng), 那段時(shí)間正是上證指數(shù)從5 000的高點(diǎn)跌倒3 000的大盤下跌時(shí)期。由圖1(b)可知, 收盤價(jià)存在明顯的波動(dòng)特征, 存在非白噪聲波動(dòng)。經(jīng)白噪聲檢驗(yàn), LB統(tǒng)計(jì)量對應(yīng)的p值顯著趨于0(fd= 6時(shí), p = 3.691×10-4; fd=12時(shí), p = 1.912 × 10-5, fd代表延遲步數(shù)), 表明該序列可顯著拒絕純隨機(jī)的原假設(shè), 證實(shí)序列還有大量信息未被提取, 值得進(jìn)一步分析。

圖1 時(shí)序圖和差分后序列圖

對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)結(jié)果見圖2。由圖2可知, 自相關(guān)函數(shù)表現(xiàn)出長期記憶性質(zhì), 且序列有一定的長期趨勢, 故進(jìn)行普通一階差分, 試將其轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列。根據(jù)差分后的自相關(guān)(ACF)、偏自相關(guān)(PACF)圖顯示的拖尾性與截尾性, 對模型進(jìn)行初步識(shí)別和定階[14]。

圖2 差分前后的自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖

圖3 廣義方差檢驗(yàn)

由圖2可知, 差分后的ACF呈現(xiàn)平穩(wěn)性特征, 延遲4階后的相關(guān)系數(shù)基本都在2倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi),信息提取較充分, 綜合BIC最小信息量準(zhǔn)則, 選取ARIMA(3, 1, 2)模型進(jìn)行擬合。

為了檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷挠行? 對擬合的殘差進(jìn)行廣義方差檢驗(yàn)及Ljung-Box檢驗(yàn)。由圖3可知, 殘差自相關(guān)圖顯示相關(guān)系數(shù)幾乎都在2倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi), 殘差序列圖也呈現(xiàn)出白噪聲序列特征, 信息提取較充分。從殘差的2個(gè)混成檢驗(yàn)及ACF圖來看, 有個(gè)別p值較小。進(jìn)一步經(jīng)Ljung-Box檢驗(yàn)顯示p值顯著不為0(表1), 表明模型擬合的效果較好。

表1 殘差的白噪聲檢驗(yàn)

2.2 模型預(yù)測效果評估

用模型擬合2015年1月5日—2016年10月17日(移除節(jié)假日, 時(shí)間軸作等間距處理, 下文同), 深交所上市交易的個(gè)股東阿阿膠(000423)日收盤價(jià)。從圖4可以看出, 收益日的實(shí)際值與擬合值相差不大, 所用模型也能較好地?cái)M合東阿阿膠日收盤價(jià)的波動(dòng)狀況。經(jīng)歷2015年5月的股市大回落之后, 擁有業(yè)績支撐的東阿阿膠也慢慢回歸其應(yīng)有的價(jià)格。根據(jù)表2, 應(yīng)用模型所做的短期預(yù)測與實(shí)際值對比, 其相對誤差較小。

圖4 模型擬合

表2 預(yù)測值的相對誤差

2.3 考慮殘差異方差的情況

由于大量的金融數(shù)據(jù)存在異方差性, 而對東阿阿膠日收盤價(jià)建立的ARIMA模型的理論基礎(chǔ)是方差齊性, 需要考慮整個(gè)序列的方差, 即存在異方差的情形。由圖1可知, 價(jià)格的大幅波動(dòng)(或小幅波動(dòng))常常相伴出現(xiàn), 從而大幅度波動(dòng)聚集在某些時(shí)段, 具有典型“集聚效應(yīng)”。如果殘差序列方差非齊, 那么殘差平方序列通常具有自相關(guān)性。因此, 方差非齊檢驗(yàn)可以轉(zhuǎn)化為殘差平方序列的自相關(guān)性檢驗(yàn)。故將Portmanteau Q檢驗(yàn)用于檢驗(yàn)殘差平方序列的自相關(guān)性。由表3可知, Q檢驗(yàn)顯示殘差序列拒絕方差齊性假定, 殘差平方序列具有顯著的相關(guān)性。

表3 Portmanteau Q檢驗(yàn)

進(jìn)一步對殘差序列的波動(dòng)性建模, 提取殘差序列中存在的波動(dòng)相關(guān)信息。其中,模型參數(shù)的估計(jì)值及模型檢驗(yàn)結(jié)果見表4。根據(jù)式(2), α0(omega)的估計(jì)值為0.064 ,α0(alpha1)的估計(jì)值為0.099, β0的估計(jì)值為0.861, 且參數(shù)均通過t檢驗(yàn)。根據(jù)表5，方程也顯著性通過Box-Ljung檢驗(yàn), 殘差信息提取較完全, 波動(dòng)性擬合較好。

表4 GARCH模型的參數(shù)估計(jì)與模型檢驗(yàn)

表5 模型顯著性檢驗(yàn)

圖5中給出了條件異方差模型擬合的95%置信區(qū)間的范圍?？紤]到原序列的波動(dòng)特征, 顯然條件異方差模型的置信區(qū)間比無條件方差兩條平行線給出的95%的置信區(qū)間更加符合原序列的真實(shí)波動(dòng)情況, 這說明條件異方差模型對序列波動(dòng)的預(yù)測將會(huì)更加準(zhǔn)確。圖6為整體的擬合效果。

圖6 擬合效果圖

由圖5和圖6的綜合情況, 可以看出: 受2015年股災(zāi)的影響, 東阿阿膠個(gè)股也在那段時(shí)間內(nèi)有大幅度的波動(dòng), 但由于本身公司的基本面情況并未惡化, 在市場回溫后, 2016年之后股價(jià)的波動(dòng)性較為平穩(wěn), 建議投資者在這段時(shí)間可以做短期波動(dòng)操作降低持有成本。綜合以上考慮, 可以得出最后的模型為

3 結(jié)論

時(shí)間序列模型能較有效提取金融序列中的信息, 在假定殘差序列方差齊性條件下, 以序列的水平為關(guān)注重點(diǎn)的ARIMA模型對深交所股票東阿阿膠日收盤價(jià)的短期預(yù)測值與實(shí)際值相對誤差小, 說明未來5 d股價(jià)很大概率以小于1元的波動(dòng)范圍在58元左右變化, 變化趨勢較穩(wěn)定, 投資者可暫時(shí)觀望、減少操作為宜。條件異方差條件下擬合的GARCH模型反映出股價(jià)的波動(dòng)區(qū)間, 它比無條件方差更及時(shí)地反映了序列即期波動(dòng)的特征。在2015年4月和7月有較大的波動(dòng), 此階段正受大盤影響而持續(xù)下跌,但自2015年8月后價(jià)格波動(dòng)區(qū)間逐步縮小, 股價(jià)得到一定的回歸, 說明個(gè)股東阿阿膠良好的基本面情況能較好地體現(xiàn)在股價(jià)變化中, 該股票有一定的抗風(fēng)險(xiǎn)能力。通過提取序列的水平相關(guān)信息, 分析殘差序列中蘊(yùn)含的波動(dòng)相關(guān)信息, 將這2方面的信息綜合起來, 對股票風(fēng)險(xiǎn)給出比較完整和精確的分析結(jié)果,這種方法可以推廣到其他個(gè)股的分析比較當(dāng)中, 有很好的實(shí)用性。

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(責(zé)任編校: 劉剛毅)

Analysis of volatility of stick price based on GARCH model

Zhang Jie
(School of Mathematics and Information Sciences, Guangzhou University, Guangzhou 510006, China)

The research of the stock market’s return volatility, the most concerned measure of the National Regulatory Authorities, is one key issue in the field of modern investment all the while. The reported closing price of DEEJ(000423) cases are collected from 2015 to 2016 in stock trading system. From angles of sequence value and volatility, using ARIMA model and GARCH model respectively, a short-term prediction of the time series is used to simulate the volatility feature of the price. The result shows that the predictions of ARIMA model almost approach the truth. Through the establishment of the GARCH model, reflecting the confidence bounds around risk of the price,which can provide helpful references for the decision-maker or people who care about the change of short-term financial yield.

0-1 test; ARIMA model; GARCH model; volatility risk

O 213

: A

1672–6146(2017)03–0004–05

10.3969/j.issn.1672–6146.2017.03.002

張捷, 763150765@qq.com。

: 2017–03–02