一類非線性泛函微分方程多個正周期解的存在性

白星華

(陽泉師范高等專科學(xué)校 數(shù)學(xué)系, 山西 陽泉, 045200)

一類非線性泛函微分方程多個正周期解的存在性

白星華

(陽泉師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)學(xué)系, 山西 陽泉, 045200)

用A Very-Henderson不動點定理考慮一類帶有時滯的泛函微分方程多個正周期解的存在性問題, 得到此類方程存在多個正周期解的充分條件, 并獲得了這些正周期解的一些性質(zhì)。在現(xiàn)有研究的基礎(chǔ)上, 推廣了此類泛函微分方程的形式, 放寬了存在多個正周期解這一結(jié)論成立的條件, 擴(kuò)大了正周期解存在性證明的適用范圍。

泛函微分方程; 正周期解; 不動點定理

泛函微分方程又稱時滯微分方程, 一般形如x'(t)=f(x(t),x(t-θ),t ), 其中θ∈(0,r)表示時滯。泛函微分方程中時滯變量的引入使此類模型所反應(yīng)的問題更為真確, 接近現(xiàn)實, 因此其已經(jīng)廣泛應(yīng)用到經(jīng)濟(jì)學(xué)、生態(tài)學(xué)、病理學(xué)、氣象學(xué)、電子學(xué)等學(xué)科中[1]。近年來, 人們用Mawhin重合度理論延拓定理[2]、指數(shù)二分性理論以及Krasnosel’skii不動點定理等不同辦法研究泛函方程周期解的存在性問題[3–4]。文獻(xiàn)[5–6]利用Krasnosel’skii不動點定理, 考慮了x'(t)=-a(t) x(t)+λb(t) f(x(t-σ(t )))的正周期解。結(jié)合不動點定理, 文獻(xiàn)[7]針對方程x'(t)=-a(t) g(x(t)) x(t)+λb(t) f(x(t-σ(t )))做了研究, 得到存在多個正周期解的充分條件。以上結(jié)果都對f0與f∞做了限制, 其中。然而, 關(guān)于這2個方程周期解的存在性問題, 與f0或者f∞無關(guān)的結(jié)果并不多見。文獻(xiàn)[8]研究了x'(t)=-a(t) g(t, x(t))?x(t)+λb(t) f(x(t-σ(t)))正周期解的存在性, 并且研究結(jié)果不依賴f0與f∞。

本文將研究更一般的非線性泛函微分方程

正周期解的存在性。

對于方程(1), 給出下列條件:

(H1) a∈C(R,[0,+∞))與σ∈C(R, R)都是ω-周期函數(shù),;

(H2) f∈C(R×[0,∞),[0,∞)), 且f關(guān)于第一個變量t是ω-周期函數(shù)。g∈C(R×[0,∞),[0,∞)), 且0＜l≤g(t, u)≤L＜∞, g(t+ω，u)=g(t, u), t∈R, u≥0,其中l(wèi), L為兩個常數(shù)。記, 對0≤α≤β, 記。

另外, 設(shè)X是一個實Banach空間, P?X是一個錐, φ是P上的一個非負(fù)連續(xù)的遞增函數(shù), d＞0,記P(φ,d)={x∈P:φ(x)＜d }, ?P(φ,d)={x∈P:φ(x)=d },。

1 引理及證明

引理1(A very-Henderson 不動點定理[9]) 設(shè)X是一個實Banach空間, P?X是一個錐[10], φ, v是P上的2個連續(xù)函數(shù), 而且在P上非負(fù)、遞增。θ是P上連續(xù)的非負(fù)函數(shù), θ(0) = 0, 且存在常數(shù)m＞0,M＞0,使得ν(x)≤θ(x)≤φ(x),。若存在全連續(xù)算子及0＜h＜k＜m, 使得θ(px)≤pθ(x ),0＜p＜1,x∈?P(θ,k )且(i) v(Tx)＞m,?x∈?P(v, m); (ii) θ(Tx)＜k,?x∈?P(θ,k); (iii) φ(Tx)＞h, 且P（φ,h)≠Φ,?x∈?P(φ,h), 則至少存在2個不動點,滿足h＜φ(x1),θ(x1)＜k＜θ(x2),v(x2)＜m 。令Banach空間X={x∈C(R, R):x(t+ω)=x(t), t∈[0,w]},其范數(shù)為。 定義X上的錐, 其中β=(σl-1)/[σL(σL-1)]。易知, β∈(0,1)。定義X上的算子, 其中, s∈[t, t+ω]。由于x是ω-周期函數(shù), Gx(t+ω,s+ω)=Gx(t, s),且1/(σL-1)≤Gx(t, s)≤σL/(σL-1),t≤s≤t+。若x是Tλ在P上的一個非零不動點, 則對任意的t∈[0,ω], 有x(t)-λf(t, x(t-σ(t ))), 則x是方程(5)的正ω-周期解。

引理2 若(H1)、(H2)成立, 則Tλ： P→P全連續(xù)。

2 主要結(jié)果

定理設(shè)(H1)、(H2)成立, 若存在正數(shù)h, k, m滿足h＜k＜βm, 且, 則方程(1)至少有2個正ω-周期解,使得。

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(責(zé)任編校: 劉剛毅)

Multiple positive periodic solutions for a class of nonlinear functional differential equations

Bai Xinghua
(Mathematics Department, Yangquan Teachers College, Yangquan 045200, China)

The existence of multiple positive periodic of a class of functional differential equation is explored with delay pan by using the A very-Henderson fixed point theorem. Sufficient conditions for the existence of multiple positive periodic solutions and some properties of these periodic solutions are obtained. On the basis of existing research, the functional differential equation of the form is generalized, and the establishment condition of the multiple positive periodic is relaxed, which expands the scope of the proof of the existence of the positive periodic solution.

functional differential equation; positive periodic solutions; fixed point theorem

O 175

: A

1672–6146(2017)03–0001–03

10.3969/j.issn.1672–6146.2017.03.001

白星華, 19751266@qq.com。

: 2017–05–19