豎式是個“超級符號”

李俊

數(shù)學(xué)是一門基礎(chǔ)學(xué)科，計算又是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最重要的基礎(chǔ)，而筆算則是進行復(fù)雜計算的一種重要方法。豎式既是筆算的外在形式，也是筆算的有效載體。深刻挖掘豎式的內(nèi)涵，我們會發(fā)現(xiàn)豎式其實是一個“超級符號”。下面以人教版數(shù)學(xué)三年級下冊“兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進位）”試論之。

一、“可怕的”豎式

從兩位數(shù)乘兩位數(shù)開始，豎式變得“可怕了”。很多學(xué)生在初學(xué)該內(nèi)容的時候都會出現(xiàn)各式各樣的奇葩錯誤（如圖1～4）：

從學(xué)生的錯誤中不難看出，很多學(xué)生都依托多位數(shù)加減法或是多位數(shù)乘一位數(shù)的筆算方法進行“遷移”，但這些“遷移”都不靈了！這是怎么回事？

一時間，老師、學(xué)生仿佛都對豎式產(chǎn)生了深深的恐懼——豎式真可怕！

二、“簡潔的”豎式

豎式如此恐懼，為什么還要學(xué)習(xí)豎式呢？我們先來對比教材中口算與筆算的異同（如圖5）：

相同點：都是算出10個24的和與2個24的和，再相加。

不同點：一是口算一般從高位算起，筆算一般從低位算起；二是口算用了三道算式，而筆算只用了一道算式。

通過對比我們發(fā)現(xiàn)：豎式與口算過程的算理完全相同，但形式上更加簡潔。而簡潔美，正是數(shù)學(xué)的重要特征和需要追求的目標(biāo)嘛？

因此，豎式雖然“可怕”，但還非學(xué)不可！

三、“復(fù)雜的”豎式

以往很簡單的豎式，現(xiàn)在怎么變得這么難了？因為從兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進位）開始，進入小學(xué)階段豎式的一次大“升級”。

很多老師可能都有同感：這節(jié)課的教學(xué)中，由口算過程過渡到理解豎式算理并不難，似乎都是水到渠成之事。但明白了算理，怎么學(xué)生還是算錯了呢？原因就在于豎式的復(fù)雜性。具體體現(xiàn)在以下三個方面：

1.合并與拆分。

兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式其實可以看作是由三個豎式合并而成（如圖6）：

認(rèn)識到這一點，在進行豎式計算的時候首先就要做好“拆分工作”，但這種拆分又不能真的寫成兩道乘法算式，最后再相加（其實分開也無不可，這里說的“不能”僅僅指豎式的形式要求而言）。所以就要把一道乘法算式當(dāng)做兩道乘法來做（如圖7、圖8）：

大家不難發(fā)現(xiàn)：其中第一個因數(shù)（被乘數(shù)）用到了兩次，而第二個因數(shù)（乘數(shù)）被拆分成兩個“一位數(shù)”分別用到一次。這一點與口算過程完全相同，但形式更加“隱蔽”了。正是這種隱蔽性增加了兩位數(shù)乘兩位數(shù)豎式的難度，讓一些抽象思維能力弱的學(xué)生難以掌握。

2.計算與計數(shù)。

在進行兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算乘法第二步計算的時候，部分學(xué)生一開始會出現(xiàn)對位不正確的現(xiàn)象（如圖3）。原因是學(xué)生在這個豎式中，計算與計數(shù)的關(guān)系沒有理解好。在第二步計算的時候，口算過程中很明確是24×10=240，而豎式中多數(shù)時候我們卻把它當(dāng)作24×1了。而這個“1”代表的是1個十，所以得數(shù)是24個十，也就是240。當(dāng)我們簡寫為“24”的時候，末位上的“4”要對齊十位。這種用比擬的方式來簡化計算，又用真實的數(shù)值來計數(shù)，無疑是兩位數(shù)乘兩位數(shù)豎式的又一個難點。

3.遷移與變通。

明白了以上兩點，就不難理解為什么利用舊知識進行“遷移”會不靈了。因為在遷移過程中，學(xué)生忽視了兩個最重要的知識 “新接口”：一是豎式由“單式”升級為“復(fù)式”，需要三個“回合”才能完成一道兩位數(shù)乘兩位的計算；二是豎式中的計算與計數(shù)“真真假假”，在進行第二步計算的時候，為了簡便把它當(dāng)作兩位數(shù)乘一位數(shù)，但在書寫計算結(jié)果的時候又要還原為兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)。這就是學(xué)習(xí)本節(jié)課在遷移過程中需要注意的兩個變通之處。

至此，完全可以理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式是一個“超級符號”了——它用簡明的形式規(guī)定了復(fù)雜運算的程序、規(guī)則，使復(fù)雜的口算過程變得更加簡潔。

四、“深刻的”豎式

明白了豎式是一個“超級符號”，我們就更容易深刻理解計算教學(xué)的某些特性了：

1.計算依托于計數(shù)。

計算其實就是計數(shù)方法的應(yīng)用與簡化，它必須依托于計數(shù)。因此，豎式其實是在一個隱形的數(shù)位順序表中進行的（如圖9～12）。

可見，在計算教學(xué)中，需要教師培養(yǎng)學(xué)生時刻在頭腦中形成一個隱形數(shù)位順序表的習(xí)慣和能力。這在后續(xù)學(xué)習(xí)小數(shù)的意義和小數(shù)加減乘除法的筆算中也顯得格外重要。

2.算理外顯為算法。

算理與算法互為表里。算理為計算的“內(nèi)核”，它解決的是計算合理性的問題；而算法為計算的“外殼”，它解決的是計算程序性的問題。兩位數(shù)乘兩位數(shù)，在小學(xué)階段采用的算理是應(yīng)用乘法分配律（雖然三年級尚未學(xué)習(xí)，但結(jié)合具體的生活情境進行理解）將其拆分成兩道兩位數(shù)乘一位數(shù)的乘法進行計算，再求和。對應(yīng)豎式計算，就是兩個“回合”的乘法計算（如圖7、8），再求和。

如果用初中整式相乘的形式，24×12可表示為（20+4）×（10+2）=20×10+20×2+4×10+4×2。這樣的算理，則更利于對應(yīng)“格子算法”（圖13）。

利用矩形圖，也能更好地理解四個單項式的計算結(jié)果（如圖14）。

可見，不同的算法源自不同的算理。算法與算理相匹配，才能更有利于學(xué)生對計算知識和技能的理解掌握。

3.遷移需要變通。

遷移是學(xué)習(xí)的一種重要方法，但在遷移過程中很多時候需要加以變通。遷移解決的是新舊知識“銜接”的問題，變通則是解決新舊知識“分化”的問題。教會學(xué)生在遷移中變通，就能讓舊知識生成更多新知識。再把諸多新知識同化到“原認(rèn)知”結(jié)構(gòu)中，就能把知識“串點成線”“織線成網(wǎng)”，把零散的知識碎片整合為結(jié)構(gòu)合理的知識群，在解決實際問題中靈活應(yīng)用。

綜上所述，豎式是個“超級符號”。它蘊含著豐富而深刻的內(nèi)涵，值得我們深入挖掘，在小學(xué)數(shù)學(xué)計算教學(xué)中譜寫更美的華章。

◇責(zé)任編輯：徐新亮◇

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