數(shù)列部分的　高考復(fù)習(xí)策略

遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)　成建卓

近幾年，《普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱的說(shuō)明》中對(duì)數(shù)列部分的考試內(nèi)容和要求具有嚴(yán)格的連續(xù)性，基本沒(méi)有變化，且文科的要求和理科的要求完全一致。高考試題所涉及的數(shù)列問(wèn)題完全符合《考試說(shuō)明》中的考試內(nèi)容和要求，題型新穎，難度適中。

《考試說(shuō)明》中對(duì)數(shù)列部分的考試內(nèi)容和要求是：

1.數(shù)列的概念和簡(jiǎn)單表示法

（1）了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法（列表、圖像、通項(xiàng)公式）.

（2）了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù).

2.等差數(shù)列、等比數(shù)列

（1）理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念.

（2）掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.

（3）能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用等差數(shù)列、等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相關(guān)的問(wèn)題.

（4）了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.

從考試內(nèi)容和要求中可以看出，在數(shù)列部分的復(fù)習(xí)中，重點(diǎn)是等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和、數(shù)列的求和方法，難點(diǎn)是在具體問(wèn)題中識(shí)別數(shù)列的等差或等比關(guān)系，并能用等差數(shù)列或等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相關(guān)問(wèn)題.

一、等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)及基本運(yùn)算

不論是等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式還是前 n 項(xiàng)和，都離不開(kāi) n、an、Sn、a1、d（q）這 5 個(gè)數(shù)學(xué)量的基本運(yùn)算。

例1（2016年北京卷）已知an｛｝為等差數(shù)列，Sn為其前 n 項(xiàng)和，若 a1=6，a3+a5=0，則 S6=_____.

【解析】這個(gè)問(wèn)題為簡(jiǎn)單問(wèn)題，考查了等差中項(xiàng)的概念，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式.

易知 a4=0，從而 d=-2，S6=6.

例2（2016年全國(guó)Ⅰ卷）設(shè)等比數(shù)列an｛｝滿足a1+a3=10，a2+a4=5，則 a1a2…an的最大值為 _____.

【解析】這個(gè)問(wèn)題具有綜合性，為中等難度的問(wèn)題，考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、簡(jiǎn)單的二次函數(shù)最值問(wèn)題.

故a1a2…an的最大值為64.

對(duì)于等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，復(fù)習(xí)的重點(diǎn)是等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng).

例3（2014年廣東卷）若等比數(shù)列an｛｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a10a11+a9a12=2e5，則lna1+lna2+…+lna20=_____.

【解析】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算，為中等難度問(wèn)題.

二、數(shù)列的求和方法

數(shù)列的求和方法一般可分為四種，即運(yùn)用等差、等比數(shù)列的公式求和，倒序相加的方法，裂項(xiàng)法求和及錯(cuò)項(xiàng)相減的方法.

倒序相加的方法源自于教材中等差數(shù)列前n項(xiàng)和的推導(dǎo)，這個(gè)方法充分結(jié)合了等差數(shù)列的性質(zhì)：若m+n=p+q則am+an=ap+aq.

例4已知一個(gè)項(xiàng)數(shù)為n的等差數(shù)列的前4項(xiàng)和為7，末4項(xiàng)和為33，這n項(xiàng)的和為100，求項(xiàng)數(shù)n.

【解析】由已知得

以上兩式相加并根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得：

需要注意的是，末4項(xiàng)的和的倒序與前4項(xiàng)和的正序是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

對(duì)于裂項(xiàng)法求和，現(xiàn)在高考的重點(diǎn)主要針對(duì)由等差數(shù)列構(gòu)成的數(shù)列，即一類通項(xiàng)為分式，分母為一個(gè)等差數(shù)列相鄰2項(xiàng)（或3項(xiàng)）的積，分子為常數(shù)的數(shù)列.

例5（2016年天津卷）已知｛an｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為d，對(duì)任意的n∈N*，bn是an和an+1的等比中項(xiàng).

求證：

所以｛cn｝為等差數(shù)列.

需要注意的是，裂項(xiàng)法求和所適用的數(shù)列不僅局限于通項(xiàng)公式是分母為一個(gè)等差數(shù)列相鄰2項(xiàng)（或3項(xiàng)）的積，分子為常數(shù)的數(shù)列.在具體問(wèn)題中，只要對(duì)通項(xiàng)可以進(jìn)行裂項(xiàng)，且求和時(shí)可以逐項(xiàng)消去即可.比如例6.

例6數(shù)列｛an｝中，，則S=na1+a2+…+an=_____.

【解析】這個(gè)數(shù)列與等差數(shù)列并沒(méi)有關(guān)系，但分母作積的兩項(xiàng)之差剛好是分子，這是可以實(shí)施裂項(xiàng)的關(guān)鍵.

于是Sn=a1+a2+…+an

錯(cuò)項(xiàng)相減的方法源自于教材中等比數(shù)列前n項(xiàng)和的推導(dǎo)，這樣數(shù)列的特征為通項(xiàng)是一個(gè)等差數(shù)列第n項(xiàng)和一個(gè)等比數(shù)列第n項(xiàng)的積.

例7（2016年山東卷）已知數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn=3n2+8n，｛bn｝是等差數(shù)列，且an=bn+bn+1.

（Ⅰ）求數(shù)列｛bn｝的通項(xiàng)公式；

【解析】（Ⅰ）由題意知當(dāng)n≥2時(shí)，

an=Sn-Sn-1=6n+5，

當(dāng) n=1時(shí)，a1=S1=11，

所以an=6n+5.

設(shè)數(shù)列｛bn｝的公差為d.

可解得b1=4，d=3.

所以bn=3n+1.

又Tn=c1+c2+…+cn，

得 Tn=3× ［2×22+3×23+…+（n+1）×2n+1］，

2Tn=3× ［2×23+3×24+…+（n+1）×2n+2］，

兩式作差，得

三、運(yùn)用數(shù)列的知識(shí)解決相關(guān)問(wèn)題

例8（2016年上海卷）無(wú)窮數(shù)列｛an｝由k個(gè)不同的數(shù)組成，Sn為an｛｝的前n項(xiàng)和.若對(duì)任意n∈N*，Sn∈2，3｛｝，則k的最大值為_(kāi)____.

【解析】這是一個(gè)以數(shù)列為背景的考查數(shù)列的概念和數(shù)學(xué)思維能力的問(wèn)題，屬于中等難度的問(wèn)題.

注意到題目的已知條件：若對(duì)任意n∈N*，Sn∈2，3｛｝，其中，“若對(duì)任意的n∈N*”為本題的關(guān)鍵詞.

n=1時(shí)，a1=2或 3；

n=2時(shí)，可構(gòu)造數(shù)列 2，0或 3，0或 2，1等；

n=3 時(shí)，可構(gòu)造數(shù)列 2，1，0 或 2，1，-1 等；

n≥4時(shí)，由Sn=2或 3，得Sn-1=2或 3，其中 n≥2，于是 an=0.

故存在m∈N*，當(dāng)n=m時(shí)，am=0，

即該數(shù)列從第4項(xiàng)開(kāi)始均為0，可由n=3的情況構(gòu)造數(shù)列，如

2，1，0，……或 2，1，-1，0……等均滿足情況，所以k的最大值為4.

例9（2016年浙江卷）設(shè)數(shù)列an｛｝的前n項(xiàng)和為 Sn.若 S2=4，an+1=2Sn+1，n∈N*，則 a1=_____，S5=_____.

【解析】本題考查在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差或等比關(guān)系，并能用等差數(shù)列或等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相關(guān)問(wèn)題，屬于中等難度的問(wèn)題.

由已知，a2=2a1+1，a1+a2=4，可解得 a1=1，a2=3.

又an+1=2Sn+1，

故有 an=2Sn-1+1（n≥2），

上述兩式相減得an+1=3an

故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，易得S5=121.

在數(shù)列部分的復(fù)習(xí)中，要嚴(yán)格依據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》和《考試說(shuō)明》，對(duì)于數(shù)列的遞推關(guān)系，教材中為選學(xué)內(nèi)容，《考試說(shuō)明》中要求較低.故對(duì)于數(shù)列的遞推關(guān)系的復(fù)習(xí)要控制難度.