《九章算術(shù)》應(yīng)用于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容選擇

周淑芬

[摘 要] 《九章算術(shù)》是古中國(guó)甚至整個(gè)東方最早的、最全面的數(shù)學(xué)著作，《九章算術(shù)》的完成標(biāo)志著具有中國(guó)特色的數(shù)學(xué)體系的建立，使古代東方數(shù)學(xué)達(dá)到了新的高度。在現(xiàn)行的小學(xué)數(shù)學(xué)教材中均有提及《九章算術(shù)》，因此，就其內(nèi)容與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的一致性出發(fā)，論述《九章算術(shù)》適用于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的相關(guān)內(nèi)容選擇。

[關(guān) 鍵 詞] 《九章算術(shù)》；小學(xué)數(shù)學(xué)；教學(xué)內(nèi)容

[中圖分類號(hào)] G623 [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] A [文章編號(hào)] 2096-0603（2017）32-0116-02

近年來(lái)，隨著人們對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科中人文價(jià)值的關(guān)注，數(shù)學(xué)歷史文化與數(shù)學(xué)教育的研究也越來(lái)越受重視。自數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)關(guān)系國(guó)際研究小組（即HPM）成立以來(lái)，如何在課堂中融入一定量的數(shù)學(xué)史內(nèi)容逐漸成為熱點(diǎn)課題。將數(shù)學(xué)史內(nèi)容融入課堂教學(xué)符合新課程理念要求，在《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2011）》實(shí)行建議中提出，作為義務(wù)教育教材的一部分，數(shù)學(xué)文化的教育應(yīng)在整套教材中有效滲透。為了實(shí)現(xiàn)此目標(biāo)，在教學(xué)過(guò)程中，為了使學(xué)生能夠更加了解數(shù)學(xué)在社會(huì)發(fā)展中的重要地位，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的激情，應(yīng)當(dāng)對(duì)相關(guān)背景、實(shí)際應(yīng)用方式、數(shù)學(xué)文化發(fā)展史予以介紹。本文主要探討《九章算術(shù)》適用于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容。

一、《九章算術(shù)》內(nèi)容編排

若把“原本”比“算術(shù)”，其中最重要的是《九章》。在世界范圍內(nèi)，數(shù)學(xué)可以被分解成為兩大類：第一類是歐幾里得在《幾何原本》所提出的邏輯演繹類，第二類是《九章算術(shù)》中所提出的機(jī)械算法體系?！毒耪滤阈g(shù)》被認(rèn)為是當(dāng)時(shí)最具有代表性的應(yīng)用數(shù)學(xué)，具有至高無(wú)上的社會(huì)地位，在唐朝被列為數(shù)學(xué)教科書(shū)，并尊為古代數(shù)學(xué)群經(jīng)之首，由此其歷史地位可見(jiàn)一斑。因此，本文認(rèn)為將《九章算術(shù)》融于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)在培養(yǎng)學(xué)生民族自豪感、激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和熱愛(ài)方面極具必要性。

第一章是方田，38題，闡述了平面圖形面積的計(jì)算方式，包括矩形、三角形、直角梯形、等腰梯形、圓形、扇形、弓形、圓環(huán)等八種圖形面積的計(jì)算方法，如求長(zhǎng)方形面積時(shí)，“術(shù)曰：廣從相乘得積步”?！皬V”即寬，“從”即長(zhǎng)，“積步”即邊長(zhǎng)以步為單位的面積的平方數(shù)；求三角形面積時(shí)，“半廣以乘正從”，“廣”即三角形底邊長(zhǎng)，“正從”指的是三角形的高。此外，還系統(tǒng)闡述了如何對(duì)分?jǐn)?shù)進(jìn)行四則運(yùn)算、如何求取分?jǐn)?shù)最大公約數(shù)的計(jì)算方法。當(dāng)分?jǐn)?shù)分子、分母同為偶數(shù)時(shí)，可以先分子、分母同時(shí)除以2，或者把分子與分母分開(kāi)，用較小的數(shù)減去較大的數(shù)后，輾轉(zhuǎn)做減法，求取最大公約數(shù)，再用求得的最大公約數(shù)與分子、分母做約分計(jì)算。

第二章是栗米，46題，主要講述了各種谷物的比率以及比例算法?，F(xiàn)今所講的四項(xiàng)比例算法在古代稱為“今有術(shù)”，其運(yùn)算法則“以所有數(shù)乘所求率為實(shí)，以所有率為法，實(shí)如法而一”，用公式表達(dá)為：所求數(shù)=所有數(shù)×所求率÷所有率。

第三章是衰分，20題，主要講述以分配問(wèn)題為中心的配分比例問(wèn)題，提出比例分配法則，稱“衰分術(shù)”，“曰：各置列衰，副并為法，以所分乘未并者各自為實(shí)，實(shí)如法而一。不滿法者，以法命之”，將所分配的比率按次序排列出來(lái)，另取眾比率之和作為除數(shù)，以所分的總數(shù)乘以各自分配比率，最后各自做被除數(shù)。以除數(shù)去除被除數(shù)，除之不盡，則得分?jǐn)?shù)。

第四章是少?gòu)V，24題，主要講述了包括已知正方形在內(nèi)矩形的面積，求一邊之長(zhǎng)等問(wèn)題，或者已知立方體的表面積求其邊長(zhǎng)的開(kāi)方法則。

第五章是商功，28題，講述了以立體問(wèn)題為主的各種形體體積的計(jì)算公式，包括正四棱柱、圓柱、圓臺(tái)、正圓錐等十種形體的體積計(jì)算公式。例如“城、垣、堤、溝、塹、渠（皆為等腰梯形的直棱柱），皆同術(shù)。術(shù)日：并上下廣而半之，以高若深乘之，又以袤乘之，即積尺”即梯形面積=（上廣+下廣）÷2×高，而等腰梯形的直棱柱的體積=梯形面積×袤（即縱長(zhǎng)）。

第六章是均輸，28題，主要講合理攤派賦稅和合理分配賦役的計(jì)算，其中今有術(shù)、衰分術(shù)及其應(yīng)用方法，構(gòu)成了包括今天正反比例、比例分配、復(fù)比例、連鎖比例在內(nèi)的整套比例理論，另外還提出了有關(guān)等差數(shù)列的問(wèn)題。

第七章是盈虧問(wèn)題，21題，講的是盈虧問(wèn)題中所對(duì)應(yīng)的三類不同的盈虧，此外，還講述了任何盈虧問(wèn)題均可以進(jìn)行兩次假設(shè)，假設(shè)后均可以轉(zhuǎn)化為盈不足這一類進(jìn)行解決。

第八章是方程，18題，主要闡述的是矩陣問(wèn)題。這章所利用的線性方程組的解法是世界上最早的解決線性方程組的解法，類似于現(xiàn)階段的對(duì)矩陣進(jìn)行初等變換，并提出了正負(fù)數(shù)的加減法則。

第九章是勾股問(wèn)題，25題，勾股定理與測(cè)繪有密不可分的關(guān)聯(lián)，勾股定理可以解決現(xiàn)實(shí)生活中的諸多問(wèn)題，勾股定理指的是在直角三角形中，兩直角邊平方的和等于第三邊長(zhǎng)度的平方，利用此定理能夠解決很多實(shí)際問(wèn)題。

二、《九章算術(shù)》于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的適用性

小學(xué)數(shù)學(xué)課堂可以對(duì)《九章算術(shù)》中的內(nèi)容進(jìn)行選擇性教學(xué)。以人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材為例，教材中引用《九章算術(shù)》的內(nèi)容如表1所示：

本文主要選取平面圖形面積、方程和負(fù)數(shù)三方面內(nèi)容進(jìn)行分析。

（一）平面圖形面積

在五年級(jí)上冊(cè)《三角形的面積》中，以“你知道嗎？”的卡片形式介紹了《九章算術(shù)》的相關(guān)內(nèi)容：

《九章》中“今有田廣十二步，從十四步。問(wèn)為田幾何？答曰：一百六十八步。方田術(shù)曰：廣從相乘得積步”，說(shuō)的就是長(zhǎng)方形的面積等于長(zhǎng)與寬的乘積。“又有圭田廣五步二分步之一，從八步三分步之二。問(wèn)為田幾何？答曰：二十三步六分步之五。術(shù)曰：半廣以乘正從”。此題將三角形面積求解與分?jǐn)?shù)的運(yùn)算相結(jié)合。在現(xiàn)行教材中，分?jǐn)?shù)的乘法將在六年級(jí)上冊(cè)進(jìn)行教學(xué)。因此，在教授長(zhǎng)方形面積時(shí)，可引入對(duì)《九章》的介紹并選取1～2題的原題進(jìn)行教學(xué)與講解，而三角形與梯形等其他圖形的面積教學(xué)則由于分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算還未進(jìn)行教學(xué)而不適宜被選取。

（二）方程

以《九章算術(shù)》卷八方程章第一題為例，闡述其方程解法。“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗。問(wèn)上、中、下禾實(shí)一秉各幾何？”求解此題，《九章》中未設(shè)未知數(shù)，而以“遍乘直除法”解決?！爸背奔催B續(xù)相減，“直除法”即“加減消元法”，是我國(guó)解方程組最早的方法?！爸蒙虾倘泻潭?，下禾一秉，實(shí)三十九斗，于右方。中、左禾列如右方”（見(jiàn)表2）。

“以右行上禾遍乘中行，而以直除”，以右行上方的3遍乘中行各項(xiàng)，有中行所得新數(shù)減去右行各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的若干倍數(shù)，直到中行頭位數(shù)為0。再利用相同的方式乘以左邊一列所有數(shù)，去掉左邊一行的第一位數(shù)，再用中間一行乘以左邊一行而以直除，消除左行中位，以求下禾之實(shí)。現(xiàn)今我們求解此題，常以設(shè)x、y、z列舉三元一次方程組：

3x+2y+z=39

2x+3y+z=34

x+2y+3z=26

小學(xué)主要是學(xué)習(xí)簡(jiǎn)易方程，即一元一次方程，且是以利用等式的性質(zhì)來(lái)求解方程。如在解“x+3=9”時(shí)，解法為“x+3-3=9-3”，繼而解得“x=6”。顯然，《九章》的方程解法并不適用于中小學(xué)教學(xué)。

（三）負(fù)數(shù)

在第八章講述方程的過(guò)程中，對(duì)負(fù)數(shù)的概念是：減法，遇到符號(hào)相同的數(shù)字那么就與其數(shù)值做減法，遇到符號(hào)不同的數(shù)字那么就做加法，與正數(shù)的差是負(fù)數(shù)，與負(fù)數(shù)的差是正數(shù)。“正無(wú)入負(fù)之”的意思是，零與一個(gè)正數(shù)的差是這個(gè)正數(shù)的相反數(shù)，“負(fù)無(wú)入正之”的意思是零與一個(gè)負(fù)數(shù)的差是這個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值，“正無(wú)入正之”的意思是零與一個(gè)正數(shù)的和是這個(gè)正數(shù)本身，“負(fù)無(wú)入負(fù)之”的意思是零與一個(gè)負(fù)數(shù)的和是這個(gè)負(fù)數(shù)本身。由此可以看出，《九章算術(shù)》一書(shū)中不僅對(duì)負(fù)數(shù)這個(gè)概念進(jìn)行了詳細(xì)的描述，同時(shí)也對(duì)負(fù)數(shù)的運(yùn)算法則加以描述。針對(duì)小學(xué)生數(shù)學(xué)教育，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》的實(shí)施建議中指出，在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)當(dāng)把抽象概念具體化、情景化，并能夠認(rèn)識(shí)上萬(wàn)的數(shù)字；應(yīng)使學(xué)生理解什么是分?jǐn)?shù)、什么是小數(shù)、什么是百分?jǐn)?shù)、什么是負(fù)數(shù)，并在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生理解各個(gè)概念的意義，培養(yǎng)學(xué)生日常生活中利用這些概念解決問(wèn)題的能力。由此可以看出，如何對(duì)負(fù)數(shù)進(jìn)行加減運(yùn)算，課標(biāo)并未作出具體要求。《九章算術(shù)》能夠較早認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)，并對(duì)其做了詳細(xì)解釋，而婆羅摩笈多直到7世紀(jì)才對(duì)負(fù)數(shù)有了一定的理解，由此可以看出，《九章算術(shù)》確實(shí)是一項(xiàng)具有歷史性意義的偉大著作。雖然課標(biāo)沒(méi)有要求學(xué)生對(duì)負(fù)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算，但是在教學(xué)過(guò)程中，仍然可以通過(guò)《九章》使學(xué)生更加深刻地了解負(fù)數(shù)、理解負(fù)數(shù)、掌握負(fù)數(shù)。

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