數(shù)形結(jié)合在新課標導(dǎo)數(shù)與函數(shù)中的滲透

廣東省珠海市實驗中學(xué)(519090) 周玲玲

數(shù)形結(jié)合在新課標導(dǎo)數(shù)與函數(shù)中的滲透

廣東省珠海市實驗中學(xué)(519090) 周玲玲

“數(shù)與形本是兩依倚,焉能分作兩邊飛,數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微.”在這首詩中華羅庚先生指出了數(shù)與形相互之間的關(guān)系,揭示了數(shù)形結(jié)合思想方法的本質(zhì)和重要性.數(shù)形結(jié)合思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中七個常用基本思想方法之一.

在高考數(shù)學(xué)試題中,數(shù)形結(jié)合思想滲透方方面面.題目主要出現(xiàn)在函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、解析幾何等題目上,把圖象作為工具、載體,不僅可以直觀,而且易于尋找解題的途徑和突破口,以此尋求解題思路或制定解題方案.從近年高考課標卷來看,對數(shù)形結(jié)合等思想方法的考查,是對數(shù)學(xué)知識在更高層次的抽象和概括能力的考查,是對學(xué)生思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)技能的考查,是課標課程高考明確的一個命題方向.本文從以下幾個方面結(jié)合相關(guān)高考試題談?wù)剶?shù)形結(jié)合思想方法在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的滲透.

滲透一由恒成立問題求參數(shù)取值范圍問題

例1(2015課標全國I,理12).設(shè)函數(shù)f(x)=ex(2x-1)-ax-a,其中a＜ 1,若存在唯一的整數(shù)x0,使得f(x0)＜0,則a的取值范圍是( )

圖1

[解析]令g(x)=ex(2x-1),則g′(x)=ex(2x+1),由g(x) ＞ 0得x＞-,由 g′(x)＜ 0得 x ＜故函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào) 遞 增. 又 函 數(shù) g(x)在 x ＜時,g(x)＜0,在x＞時,g(x)＞0,所以其大致圖像如圖1.直線y=ax-a過點(1,0).若a≤0,則f(x)＜0的整數(shù)解有無窮多個,因此只能a＞0.結(jié)合函數(shù)圖像可知,存在唯一的整數(shù)x0,使得f(x0)＜0,即存在唯一的整數(shù)x0,使得點(x0,ax0-a)在點(x0,g(x0))的上方,則x0只能是0,故實數(shù)a應(yīng)滿足即解得≤a＜1.故實數(shù)a的取值范圍

點評:本題通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法.數(shù)形結(jié)合思想通過“以形助數(shù),以數(shù)解形”,使復(fù)雜問題簡單化,抽象問題具體化,能夠變抽象思維為形象思維,有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì),它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機結(jié)合.

滲透二確定零點的個數(shù)(方程根的個數(shù)或圖象的交點個數(shù)

圖2

例2 (2016課標全國卷I,理21(1))已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點,求a的取值范圍;

[解析]依題意得 f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2=0時有兩個根,因為x=1不是根,從而方程有兩個根,令則因為(x-2)2+1＞0,ex＞0,當x＜1時, g′(x) ＜ 0, g(x) 在 (1,+∞) 上單調(diào)遞增,且過點(0,2);當x＞ 1時,g′(x)＜ 0,g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減,且過點(2,0)根據(jù)g(x)的解析式可以看出它有一條漸近線x=1,g(x)的大致圖像如圖2.由圖易知a=h(x)有兩根時,a的取值范圍為(0,+∞).

點評:本題本質(zhì)上是把方程實根的個數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象交點個數(shù),體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想,從而分離參數(shù)a,利用導(dǎo)數(shù)可以模擬g(x)的大致圖像,一般從“形”入手更為直觀,利用其圖象特征,就可以找到解題思路,利用圖象進行分析.當然還需相應(yīng)的數(shù)學(xué)具體變形與運算,這樣才體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合,爭取做到胸中有圖,見數(shù)想圖,以開拓自己的思維視野.

滲透三證明不等式

例3(2007全國卷II)函數(shù)f(x)=x3-x.設(shè)a＞0,如果過點(a,b)可作曲線y=f(x)的三條切線,證明-a＜b＜f(a).

圖3

[解析]可設(shè)其中一條切線的切點為p(t,t3-t),則切線為y-(t3-t)=(3t2-1)(x-t)由切線過(a,b)得,b=(3t2-1)a-2t3,即2t3-3at2+a+b=0有三個相異實數(shù)根.令g(t)=2t3-3at2+a+b則有三個相異實數(shù)根,g′(t)=6t2-6at=6t(t-a).如圖可知:即

數(shù)形結(jié)合包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面,其應(yīng)用大致可以分為兩種情形:一是借助形的生動性和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系,即以形作為手段,數(shù)作為目的,比如應(yīng)用函數(shù)的圖象來直觀地說明函數(shù)的性質(zhì);二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性,即以數(shù)作為手段,形作為目的.數(shù)形結(jié)合的思想,其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖象結(jié)合起來,關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化,它可以使代數(shù)問題幾何化,幾何問題代數(shù)化.總而言之,數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用是有條件的,若問題所涉及的“數(shù)”具有“形”的特征,或“形”具有“數(shù)或式”的特征,則可以應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解之,當然這種特征要依賴于基本的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)概念,依賴于良好的思維品質(zhì)和一定想像力這一前提.

《考綱》指出“數(shù)學(xué)科的命題,在考查基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上,注重對數(shù)學(xué)思想思想方法的考查,注重對數(shù)學(xué)能力的考查”,數(shù)形結(jié)合的思想方法在高考中占有非常重要的地位,靈活運用數(shù)形結(jié)合的思想方法,可以有效提升思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)技能.從目前高考“重視思想方法,注重通法,淡化技巧”的命題原則來看,我們在教學(xué)上要更加重視學(xué)生在數(shù)形結(jié)合的思想方法上的訓(xùn)練.